靜摩擦力在曲面上的累積效應

梁玉娟 左倩 賴華碧 鄭惠敏

(河池學院 物理與機電工程學院， 廣西 宜州 546300)

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靜摩擦力在曲面上的累積效應

梁玉娟 左倩 賴華碧 鄭惠敏

(河池學院 物理與機電工程學院， 廣西 宜州 546300)

在不考慮摩擦情況下的一段輕繩，繩中各處的張力是相等的，但在考慮繩索的質量、摩擦力的情況下，繩索中各處的張力并不相等。利用微元法對纏繞在木樁上的繩索進行受力平衡研究，計算結果表明：隨著靜摩擦力在曲面上的不斷積累，繩索兩端的張力將變得很懸殊，兩端張力之比按包角(繩長)呈指數關系變化。因此，有效利用靜摩擦力的累積效應將可以省力，以很小的力就可以抵制很大的外力。

繩索；張力； 靜摩擦力；曲面；累積效應

0 引言

同一根繩索中的張力處處相等，這是中學物理中解題要用到的重要關系之一，這是為了簡化問題而建立的理想模型，它的前提條件是不考慮繩索的質量，且繩索不可伸長，與其它物體接觸時不考慮摩擦力。漆安慎、杜嬋英的力學教材第三版的選讀材料“[選讀7.2]滑輪受力分析”中指出：定滑輪兩側繩索所受拉力差與繩和滑輪的質量、滑輪的半徑、軸摩擦力矩以及滑輪角加速度有關；只有當繩索和滑輪的質量極小、軸摩擦力極小的極限條件下，滑輪兩側繩內的張力趨于相等[1]。真實的情況下，繩是有質量的，在與其它物體接觸并有運動趨勢時是存在摩擦力的，下面將用數學、物理、計算機相結合的研究方法，探索存在靜摩擦力的情況下，繩中張力與靜摩擦力之間的定量關系。

1 繩索中的張力

圖1 繩索中的張力

繩索受到拉伸時內部出現的力稱為張力。如圖1所示，在F和F′作用下繩索保持平衡，此時繩索是張緊的，在繩索上的某個位置p作與繩垂直的假想截面，將繩分成兩側，這兩側的相互作用力FT即是該處繩的張力，其方向與繩子在該點的切線方向平行，其產生的原因是繩拉伸變形而產生的，但形變量與繩原長相比很小，在簡化處理問題時常不計繩索的伸長。這里不計繩索伸長，卻又考慮因繩索伸長而導致的張力顯然是矛盾的，但這是物理學上常用的研究方法，為了突出主要因素，忽略次要因素而建立的理想模型，它不影響問題的最后研究結果。

2 靜摩檫力在曲面上的積累效果

在農村我們經?？吹酱迕駥⒗K索在樹干或木樁上繞幾圈就可以將牛牢牢的拴住了，而在河邊將繩索在樹干或大石頭上繞幾圈就可以將船只固定住，任憑大風吹船只都跑不掉，如圖2、圖3所示。那么，將繩索在木樁上繞幾圈就能使繩的另一端受到極大的拉力，原因在哪里呢？這是一個物體在相互作用力下的平衡問題，由于木樁圓柱面對繩有摩擦力，所以繩中各處的張力就不同。采用微元法[1-3]，將繩索想象地分割成很多小段，圖2、圖3的側面圖如圖4所示，對任一小段繩索AB進行受力分析并建立與相鄰繩段之間相互作用的微分方程，再通過積分運算求得繩索兩端的作用力。AB弧段所張的圓心角為dθ；分別以A和B為作用點，T和T+dT分別代表兩邊的繩對AB段的張力，方向都是沿著圓周的切線方向；N是圓柱面對AB段的壓力，方向沿半徑向外；T0是繩抵抗物體的外力，TL是拉力，f是圓柱面對AB段的靜摩檫力，靜摩檫力的方向與假想靜摩擦力消失后AB繩段的運動方向相反，由于T0>TL，一旦靜摩擦力消失，AB繩段將沿θ角減小的方向運動，所以靜摩檫力f沿θ角增大的方向。由于壓力N和靜摩檫力f都是圓柱面對AB繩段的平均作用力，所以將AB繩段視為質點C，在C點表達壓力和靜摩檫力，但表達張力時，AB繩段就不能視為質點，要考慮張力在A端和B端的差別。張力T是角度θ的函數，而B點對應的角度比A點對應的角度大，因此，把作用在B點的張力寫成T+dT。

圖2 栓牛示意圖

圖3 栓船示意圖

C點為AB弧段的中點，由幾何關系可得T和T+dT的方向與過C點的切線的夾角為dθ/2，設繩與圓柱形木樁間的靜摩擦系數為μ0，對AB繩段應用牛頓第二定律，得各小段繩索之間的相互作用關系為[3]：

(1)

(2)

dT+f=0

(3)

N=Tdθ

(4)

靜摩檫力與正壓力的關系為f≤μ0N，在臨界條件下有f=μ0N，由(3)、(4)式得[3]

(5)

對(5)式積分，當θ=0時T=T0，θ=Θ時T=TL，有[3]

(6)

其中Θ=L/R，Θ代表繩長為L所對應的總圓心角，對(6)式積分得繩另一端的拉力為[3]

(7)

(8)

由作用力與反作用力可得繩索兩端張力之比與(8)式是一樣的，即在有摩擦力的情況下，繩中各處的張力不相等，兩端張力之比按包角Θ(或繩長L)呈負指數關系變化。顯然，靜摩擦系數μ0越大，繞在圓柱上的繩越長，繩另一端的拉力就越小。

現取T0=2 000N，μ0=0.5，Θ=0～10π，求得繩另一端拉力TL如表1所示，若要抵抗2 000N的力，只要將繩索在木樁上繞3圈半(7π)以上就可達到目的了。拉力隨包角的變化關系如圖5所示，繩端的拉力TL隨包角Θ的增大而急速衰減。

表1 拉力T隨包角Θ的變化關系 (T0=2 000N，μ0=0.5)

Θ(rad)01π2π3π4π5π6π7π8π9π10πTL(N)2000415759864281796737350776016100340007000100003

圖5 拉力TL隨包角Θ的變化關系

圖6 不同摩擦系數下，拉力TL隨包角Θ的變化關系

麻繩與木材之間的摩擦系數范圍約是0.4～0.8[4]，用于栓牛、栓船的繩索通常是尼龍繩，摩擦系數應小一些，現取不同摩擦系數進行數值模擬，模擬結果如圖6所示：對應不同的摩擦系數，拉力隨包角的增大衰減的速度不同，摩擦系數越大，衰減越迅速，對應的曲線越陡峭，但不同曲線之間區分不是很大，在繩索繞木樁3圈以上，所有曲線都重合在一起，拉力幾乎是零?？梢姡谟心Σ亮Φ那闆r下，繩中各處的張力不同，繩兩端的張力相差很大。此例中，繩一端的張力是2 000 N，而另一端的張力幾乎為零。由此可見，靜摩檫力是可以沿曲面積累的，隨著包角的增大，靜摩擦力將會很大，可以抵抗很大的阻力，從而使得繩的另一端的張力趨于零。巧妙地利用靜摩擦力的積累，可以省力，為我們的生活帶來很大方便。

3 結論

由上述理論分析及計算機數值模擬結果表明：①在考慮繩索的質量及摩擦力的情況下，繩索中各處的張力并不相等，甚至相差很大；②繩索與曲面之間的靜摩檫力是可以積累的，隨著接觸面積的增大而迅速增大，體現在繩索中的張力隨著包角(或繩長)的增大而呈負指數關系衰減，因而繩端的張力可以變得很小，甚至趨于零；③利用靜摩擦力的累積效應，可以通過繩索以很小的力抵抗很大的外力，從而達到省力效果。

[1]漆安慎,杜嬋英.普通物理學教程·力學[M].3版，北京:高等教育出版社,2012:74-85,261.

[2]張漢壯,王文全.力學[M].3版，北京:高等教育出版社,2015:55-57.

[3]陳信義.大學物理教程[M].2版，北京:清華大學出版社,2008:13-14.

[4]常用材料間摩擦系數匯總[DS/OL].[2016-05-01]http://www.cnctechnet.com/post/1627.html.

[責任編輯 劉景平]

The Cumulative Effect of Static Friction on the Surface

>LIANG Yujuan,ZUO Qian,LAI Huabi,ZHENG Huimin

(School of Physics and Mechanical & Electrical Engineering, Hechi University, Yizhou, Guangxi 546300, China)

Without regard to friction, the tensions throughout a rope are equal. However, under the consideration of the quality and friction of a rope, its tensions everywhere are unequal. In this paper, the differential element method is adopted to research the force balance of a rope winded round a wooden stake. The result indicates that with the static friction on the surface continuous accumulating, the tensions in both ends will become quite unequal, and the ratio of the tensions in both ends is an exponential relation with the length of ropes. Thus, if we effectively use the cumulative effect of static friction, we could save effort because we can use small force to resist very large external force.

rope; tension; static friction; surface; cumulative effect

O314

A

1672-9021(2016)05-0109-04

梁玉娟(1968-)，女(仫佬族)，廣西羅城人，河池學院物理與機電工程學院教授，主要研究方向：物理教學。

廣西高校科學技術研究基金重點資助項目(2013ZD059)；廣西區級大學生創新創業訓練計劃項目(201610605013，201610605016，201610605068)。

2016-08-28