三維投影變換的MATLAB實現

唐飛　楊偉　查長禮

摘要：三維圖形變換需要對形體頂點的齊次坐標矩陣進行復合計算，計算繁瑣且變換過程晦澀抽象，使用傳統的程序設計語言實現圖形變換的可視化非常困難。因為在三維圖形變換中引入MATLAB工具，利用其強大的矩陣運算能力和豐富的圖形處理能力，能夠快速準確地計算矩陣和輸出圖形，清晰直觀地展現圖形變換的方法和過程。

關鍵詞：三維圖形變換；矩陣；MATLAB；投影；計算機圖形學

中圖分類號：TH126.2文獻標志碼：A

文章編號：1672-1098（2016）02-0036-04

Abstract：A very complex calculation of homogeneous coordinate vertex matrix is needed in 3D graphic transformations. The process of calculation is complicated and obscure. It is very difficult to realize 3D visualization by using the traditional programming language. MATLAB is introduced into 3D graphic transformations. By using its ability of powerful matrix operation and rich graphic processing， we can calculate matrix and output graphic rapidly， and show the method and process of graphic transformation clearly and intuitively.

Key words：3D graphics transformation； matrix； MATLAB； projection； computer graphics

幾何圖形是CAD系統中的基本元素，無論以何種方式建立的模型，最終都需要轉換為幾何圖形進行顯示和輸出。幾何圖形由頂點坐標、頂點間的拓撲關系和組成圖形的線面模型共同決定[1]。圖形變換是計算機圖形處理的基礎，是計算機圖形學的重要組成部分，圖形的處理、顯示和形體構造等都需要使用到圖形變換。圖形變換的實質是對圖形頂點的坐標進行變換，這種變換不改變圖形各元素的屬性和它們之間的拓撲關系，僅改變各點的坐標。

三維圖形變換包括比例變換、對稱變換、錯切變換、平移變換、旋轉變換、投影變換和透視變換等基本變換，更復雜的變換可以通過基本變換組合而成。每一個變換都可以表示為矩陣計算的形式，通過矩陣的相乘構造更復雜的變換[2]。在圖形變換中需要進行大量的矩陣運算，計算繁瑣且變換過程晦澀抽象，使用C語言等傳統的計算機語言實現可視化程序設計十分困難。因此在圖形

變換中使用MATLAB軟件，利用其強大的矩陣運算能力和豐富的圖形處理能力，快速準確地進行矩陣計算和圖形輸出，直觀地展現圖形變換的方法和過程。

1三維圖形變換矩陣

三維空間的點具有三個坐標，可以用矩陣的行向量[x y z]或列向量[x y z]T來表示，稱為點的位置向量，點的位置向量的集合構成位置矩陣。矩陣記錄了三維空間的形體的頂點坐標信息，可以由此構建三維形體的數學模型。

為了對三維形體進行圖形變換，需要引入齊次坐標的概念。將n維空間的點用n+1維坐標表示，即為該點的齊次坐標。例如將點的三維坐標（x， y， z）表示為四維坐標（H×x， H×y， H×z， H），當H=1時為齊次坐標的規格化表示形式[3]。齊次坐標為圖形變換提供統一的矩陣運算基礎，同時也可以方便地表示無窮遠點等通常難以處理的信息。

空間點的三維坐標（x， y， z）使用齊次坐標的規格化表示為（x， y， z， 1）。坐標變換可以對點的齊次坐標集合構成的矩陣進行乘法運算來實現，形如[x， y， z， 1] = [x， y， z， 1]×T，T為變換矩陣，得到變換后的坐標矩陣。三維圖形變換就是對圖形頂點的坐標進行矩陣變換，變換矩陣T是一個4×4的矩陣，形如abcp

2投影變換的MATLAB實現

在CAD系統的圖形顯示和輸出中，三維形體需要投影到二維平面上，才能將圖形在屏幕上顯示和打印輸出。“投影”是三維形體的二維表示方法，投影變換能夠將三維形體投射到平面上，生成二維平面圖形。通常使用的投影圖主要有三視圖、類似“三維”性質的軸測圖和立體感強的透視圖[4]。通過MATLAB軟件進行矩陣運算和圖形顯示，可以形象直觀地展現出變換的過程和最終結果。

2.1正投影變換

在工程制圖中需要采用國家標準規定的三視圖來表達形體。利用垂直于坐標平面的投射線將三維形體分別投射到三個坐標平面，即為正投影變換，得到形體的主視圖、俯視圖和左視圖。

已知三維棱臺的各頂點坐標，使用MATLAB建立頂點的齊次坐標矩陣M，創建棱臺的線框模型，根據坐標矩陣M繪制棱臺的線框模型，如圖1所示。

對棱臺的三維模型進行正投影變換得到三視圖，主視圖坐標變換矩陣為M×TV，俯視圖坐標變換矩陣為M×TH，左視圖坐標變換矩陣為M×TW。根據圖形的大小和位置選擇其中l、m、n的數值，在MATLAB中使用變換后的矩陣繪制正投影圖，如圖2所示。

2.2軸測投影變換

將三維形體連同直角坐標系沿不平行于坐標平面的方向，用平行投影法投射到投影面上所得的圖形，就是軸測投影圖。軸測圖在一個投影面上同時反映出物體三個坐標面的信息，更接近于人的視覺觀察習慣，所得圖形形象、逼真，富有立體感，在工程設計和生產中常用作輔助圖樣，用來彌補正投影視圖的不足。

正軸測投影變換：以正平面作為投影平面，先將形體繞Z軸逆時針旋轉γ角，再繞X軸順時針旋轉α角，然后向V面投影，得到正軸測投影圖。其變換矩陣為旋轉、投影變換組成的復合矩陣TZ=T旋轉×T旋轉×T投影：

對棱臺的三維模型進行軸測投影變換，得到軸測投影圖，正等軸測圖坐標變換矩陣為M×TZ，斜二軸測圖坐標變換矩陣為M×TX。選擇合適的α和γ角度，以及d和f的數值，在MATLAB中使用變換后的矩陣繪制軸測投影圖，如圖3和圖4所示。

2.3透視變換

透視變換產生三維形體在不同視點位置和視線方向下的投影圖。透視圖從一個視點透過一個平面觀察物體，其視線不平行，給人產生一種漸遠漸小的深度感。透視圖采用中心投影法繪制，將投射的視線與投影平面相截交即得到透視圖[5]。通過投影中心將三維形體投影到平面上的變換稱為透視變換。為了使透視圖立體感強、圖像逼真，要先對形體進行平移、旋轉等操作，然后進行中心投影，得到逼真的透視投影圖。

將形體繞Z軸旋轉γ角，再相對X、Y、Z三個坐標軸平移l、m、n距離，然后使用兩點透視矩陣進行坐標變換，最后將向V面作正投影，得到棱臺的透視圖。其變換矩陣為旋轉、平移、透視、投影變換組成的復合矩陣TT=T旋轉×T平移×T透視×T投影，該矩陣還需正常化后得到透視投影的變換矩陣。

對棱臺的三維模型進行透視變換，得到透視投影圖，坐標變換矩陣為M×TT。選擇合適的γ值以及p、q、r的數值，在MATLAB中使用變換后的矩陣繪制透視投影圖，如圖5所示。

3總結

三維圖形變換包括了幾何變換和投影變換等，是計算機圖形處理領域中的重要內容，矩陣運算是進行多種圖形變換的統一方法。圖形變換時需要對三維形體頂點的齊次坐標矩陣進行復合運算，計算過程繁瑣且變換過程晦澀抽象，使用傳統的程序設計語言實現變換過程的三維可視化非常困難。在計算機圖形變換中引入MATLAB工具，利用其強大的矩陣運算能力和豐富的圖形處理能力，快速準確地進行矩陣計算和圖形輸出，清晰直觀地展現出圖形變換的方法和過程，降低了學習的難度，增強了對圖形變換方法的深層次理解，并將研究的重心轉移到概念的理解和原理的運用上，有效地提高了系統開發的效率。

參考文獻：

[1]王隆太，朱燈林，戴國洪.機械CAD/CAM技術[M].第3版.北京：機械工業出版社，2013：8-200.

[2]劉極峰.計算機輔助設計與制造[M].北京：高等教育出版社，2011：5-150.

[3]姚英學，蔡穎.計算機輔助設計與制造[M].北京：高等教育出版社，2011：10-50.

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[5]何援軍.透視和透視投影變換——論圖形變換和投影的若干問題之三[J].計算機輔助設計與圖形學學報，2005，17（4）：734-739.

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[8]馬麗麗，張光輝，李杏粉.矩陣在計算機三維圖形變換中的應用[J].石家莊鐵路職業技術學院學報，2008，7（3）：42-47.

（責任編輯：李麗范君）