從確定的數到抽象的字母

田載今

人們?yōu)槭裁匆米帜副硎緮担渴裁词钦剑繑档倪\算和整式的運算有哪些相似之處？請大家認真聽田老師講一講吧。

數的產生既來源于實際生產和生活的需要，又來源于研究數學問題的需要，例如，為區(qū)別收入1元和支出1元，可以將它們分別記為1元和-1元，而有了-1，像1-2這類“小減大”的數學問題也得以解決。

每個數都是一個具體確定的值，由數組成的算式的運算結果也是確定的值，例如，1+2表示l和2這兩個大小確定的值相加，所得結果3也是一個確定的值，正因為數具有確定性，所以人們研究確定的量時離不開數，

數的確定性雖然使數能精確地表示量的大小，但是又使數的使用受到限制，研究一股性問題時，只有具體的數就不夠了，例如，要用式子表示加法交換律，就不能用l+2：2+l，也不能用2+3=3+2，因為這樣的式子都只能表示“某兩個具體的數相加時，交換加數的位置，和不變”，而加法交換律是一般運算律，它適用于任意兩個加數，不能用某兩個具體的數來表示，研究含有未知數的數量關系時，同樣不能只用具體的數，例如，要用式子表示“某個數的3倍比另一個數的2倍大1”，就要注意這里的“某個數”和“”一個數”都是未知數，雖然用具體的數可列出3×5=2x7+l，3x7=2x10+1，3x9=2x13+1等一系列式子，但是滿足這一數量關系的“某個數”和“另一個數”有無窮多組，用有限多個式子無法完全表示它們。

隨著數學的發(fā)展，人們越來越關注一般性問題，含有未知數的數量關系成為人們經常研究的內容，這促使數學語言也要與時俱進，突破只能使用具體的數的限制，為此，人們逐漸想到用抽象的符號代替具體的數，而字母就是一種使用起來很方便的符號，例如，用式子a+b=6+a表示加法交換律，這里的字母a和b沒有確定的值，它們可以表示任意兩個數，于是這個式子就有了一般性，義如，用式子3x=2y+1表示“某個數的3倍比另一個數的2倍大l”，這里的字母x和y沒有確定的值，它們可以表示滿足這一關系的任意兩個數，包括“x=5，y=7”“x=7，y=10”“x=9 y=13”等無窮多種情形。

代數學是數學的一個重要分支，清代學者華蘅芳在他和英國人傅蘭雅合譯的西方數學著作《代數學》的卷首寫道：“代數之法，無論何數，皆可以任何記號代之，”這顯示出代數的基本方法起源于用符號表樂數，

1591年，法國數學家韋達（1540-1603）最先在數學著作中系統(tǒng)地用字母表示數，韋達認為：用字母表示數，可使一般性問題成為研究對象，讓數學從傳統(tǒng)的側重于數的運算的算術中得到發(fā)展，韋達的創(chuàng)舉促進了代數學的誕生，因此他被后人稱為“代數學之父”。

有了用字母表示數的創(chuàng)舉，式子中便可以出現字母（字母還可以表示未知數），這樣的式子更適合用來研究一般性問題，所以這種由數與字母組成的式子成為代數研究的基本內容。

人教版初中數學教科書的第二章是“整式的加減”，整式是一種最簡單的代數式，加減法是最基本的整式運算，運算的主要方法是合并同類項，這一章是代數式內容的入門章，也是大家后續(xù)學習的重要基礎。

在代數式中，字母的地位比數要高，式子的分類，一般以其中字母的情況為標準，例如，區(qū)分整式與分式的方法是看分母中是否含有字母，整式中可以有分母，但分母中不能有字母，例如，a/2的分母中沒有字母，它屬于整式：2/a的分母中有字母，它不屬于整式，

因為整式中的字母是用來表示數的，所以它們可以像數一樣進行運算，數的運算法則和規(guī)律對整式的運算仍然適用，整式也有加減乘除四則運算，人教版教科書中分兩次安排了這些內容，第二章只討論整式的加減運算，乘除運算到八年級再討論，通過第一章的學習，我們已經知道，在有理數的運算中，減法可以轉化為加法，減去數a就等于加上它的相反數-a，這樣加減法就可以統(tǒng)一了，因此，整式的加減法也可以統(tǒng)一起來認識，都看作求代數和的加法。

電子計算機的發(fā)明是20世紀人類最偉大的成就之一，在它的發(fā)明和應用過程中，用字母表示數的方法發(fā)揮了重要作用，下面是一個簡單的例子：要給計算機編制一個程序，求l+2+3+…+19999+20000的和，圖1是對應的程序框圖，這是一個循環(huán)結構的計算過程，其中的字母i表示一個取值從1開始，逐次加1，直至20001為止的變量：字母S表示隨著加數不斷增加而逐漸增大的和，計算機開始運行程序后，字母i作為加數按1，2，3，…，20000的順序逐次加到5中：字母5作為和按O，0+l，0+l+2，0+1+2+3，…，0+1+2+3+…+19999+20000的順序增大，當i=20 001時，計算結束，輸出最終結果200010000，可以看出。字母i和S在程序中有非常重要的作用。

從確定的數到抽象的字母，研究對象的發(fā)展是數學前進的一座里程碑，正如數學家華羅庚所說：“數學的特點是抽象，正因如此，用符號表示數就更具有優(yōu)越性和廣泛的應用性。”