機械加工表面輪廓分形維數對數小波譜計算方法

張學良 王余松 溫淑花 范世榮 陳永會 蘭國生

太原科技大學,太原,030024

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機械加工表面輪廓分形維數對數小波譜計算方法

張學良 王余松 溫淑花 范世榮 陳永會 蘭國生

太原科技大學,太原,030024

為了提高接觸表面的建模精度，利用小波的多尺度分析能力，對表面輪廓進行多尺度小波分解，提出了計算機械加工表面輪廓分形維數的對數小波譜法以及有效分解尺度概念，并認為輪廓只在有效分解尺度上具有分形特征；通過M-B函數模擬生成不同分形維數、不同采樣區間的分形輪廓；應用對數小波譜法計算了模擬輪廓的分形維數，進而與功率譜密度法(PSD法)等5種方法的計算結果進行了分析比較，結果表明：對數小波譜法能很好地處理分形的多尺度特征，并且選用sym4小波時計算精度最高，誤差在0.15%以內；最后應用對數小波譜法對一實際機械加工表面輪廓分形維數進行了計算,說明了其實用性。

機械加工表面輪廓；分形維數；小波分解；有效分解尺度；對數小波譜

0 引言

表觀上看似光滑平整的機械加工表面經放大后呈現出大小各異、復雜排列的凸峰和凹谷，說明表面形貌實際上是粗糙和不規則的。機械工程中的表面幾何形貌對構件接觸處的摩擦、磨損、潤滑、密封以及接觸性能有很大的影響。研究表明[1]，機械加工表面和摩擦磨損表面等粗糙表面輪廓具有非平穩性、自相似性和多尺度特性，分形理論是描述這些特征的一種有效途徑；然而，分形理論用于描述機械加工表面時需要分形維數與特征長度尺度參數兩個表征參數。準確地計算出其分形維數尤為關鍵，因為分形維數反映了粗糙表面輪廓結構的復雜程度，定性地刻畫了高頻成分所占比重。分形維數是機械結合面接觸剛度[2-4]、阻尼能耗[5-6]等模型中一個主要的參數，接觸剛度與表面分形維數間存在非線性關系(分形維數在1.1～1.4之間)或近似線性關系(分形維數在1.4～1.9之間)[7]；在實際應用時，對輪廓維數的計算是必不可少的。

國內外已有許多學者進行了分形維數計算的研究，目前，常用的分形維數計算方法有盒維數法、尺碼法、均方根法、協方差法、功率譜密度(PSD)法、結構函數法。李成貴等[8-9]對已知分形維數為1.6的W-M函數所生成的輪廓，分別采用功率譜密度法和結構函數法計算其分形維數，計算結果分別為1.65、1.63。王建軍等[10]對尺碼法、盒維數法、R/S法、結構函數法以及功率譜密度法5種方法的原理進行了闡述并比較了后3種方法對理論維數分別為1.2、1.5、1.8的W-M 函數的計算結果，結果表明，結構函數法的精度最高,功率譜密度法次之，R/S法精度最低且計算量大，其精度隨著理論分形維數的減小而大幅降低。葛世榮等[11]比較了尺碼法、盒維數法、方差法和結構函數法等方法計算分形維數分別為1.2、1.5、1.8的W-M函數的計算結果，結果表明，尺碼法的誤差最大，方差法和盒維數法的誤差在10%以上，結構函數法的誤差較小，計算結果分別為1.164、1.455、1.761。另外，他們還提出了均方根法[12-13]，并將均方根法與結構函數法進行了比較，結果表明，兩種方法均有較好的效果；對于較小的分形維數，均方根法的計算精度較高，而對于較大的分形維數，結構函數法的計算精度較高。此外，還可以通過表面輪廓的高度標準差σ和斜率標準差σ′組成方程組解出分形參數D和G[3]，本文稱之為方程組法。

上述各方法中，由Majumdar等[4]提出的結構函數法對分形維數的計算精度最高，已得到了較多的應用，然而，尋求更高精度的計算方法來提高結合面建模精度是非常必要的。小波具有多尺度分析的能力，可用于處理多尺度自相似問題。王安良等[14-15]提出了用小波變換計算粗糙表面分形維數的方法，根據各分解層小波變換系數的一范數與分解層數k間的關系通過最小二乘擬合求出分形維數，對于由W-M函數及M-B函數生成的輪廓，計算誤差在4%以內，在分形維數為1.3～1.6時，計算誤差在1%以內。楊紅平等[1]通過分形輪廓小波分解系數方差與分形維數間的關系求出分形維數，但沒有明確給出通用性的小波分解層數。

鑒于此，本文將小波的多尺度分析能力與分形的多尺度自相似特征相結合，先對分形輪廓進行多尺度小波分解，基于對數小波譜，識別出輪廓具有分形特征的小波分解尺度(從對數小波譜上看在一條直線上或接近同一直線)，進而評價輪廓的分形特征并計算其分形維數，提出了機械加工表面輪廓分形維數對數小波譜計算方法，并與功率譜密度法、結構函數法、均方根法以及方程組法的計算精度進行對比，最后將其應用于實際機械加工表面輪廓分形維數的計算，說明了其實用性。

1 機械加工表面輪廓分形維數的對數小

波譜計算方法

(1)

式中，2-m為尺度參數；k為平移參數。

任意信號f(t)∈L2(R)(平方可積函數空間)的離散小波級數表示為

(2)

小波分解系數可以表示為

(3)

(4)

自相似過程具有分形特征，根據文獻[17]對自相似的定義f(t)=γ-Hf(γt)，分形維數

D=2-H

(5)

(6)

定義1 將序列f(t)的自相關函數定義為

Rf(τ)=E[f(t)f(t-τ)]

(7)

基于多尺度分析的方法，對具有自相似性的粗糙輪廓高度序列進行小波分解，在不同的尺度上，則其小波分解系數滿足[18]

(8)

(9)

將式(8)右端利用Parseval定理以及時域卷積定理轉化到頻域后，式(8)可改寫為

(10)

特別地，m=m′，k=k′時，有

(11)

從而有

(12)

式中，var[]為求方差運算。

對式(11)兩邊取以2為底對數，有

(13)

將式(13)左端記為Ym，得

Ym=lbσ2+mα

(14)

對給定的具有分形特征的實際機械加工表面輪廓進行M層的小波分解，各分解尺度(層)對應的m(m=1,2,…,M)、Ym便是已知的，相應地，對數據點(m,Ym)序列進行直線擬合即可求出直線斜率α,再由前述關系α=2H+1及D=2-H便求出分形維數D，即

D=(5-α)/2

(15)

在此稱式(13)或式(14)為對數小波譜。以上分析推理求解機械加工表面輪廓分形維數的方法，本文稱之為對數小波譜方法。

2 機械加工表面輪廓分形模擬與分形維數

計算

M-B函數被廣泛用于模擬實際機械加工表面輪廓，M-B函數是一個確定性自相似過程，滿足Z(x)=γ-(2-D)Z(γx)。其具體表達式為

(16)

1

式中，z(x)為表面輪廓高度；G為分形特征長度尺度系數；nl為最低頻率指數；γnl=1/L；L為采樣區間長度。

在實際應用中，最高頻率的取值是有限的，即

(17)

(a)采樣區間(0,L)

(b)采樣區間(3L,4L)

(c)采樣區間(10L,11L)圖1 理論維數D=1.5時M-B函數生成的不同采樣區間的輪廓

在對機械加工表面輪廓進行小波分解時，首先要考慮的是小波基函數的選擇和分解尺度(層數)的確定。如何選擇小波基函數，目前還沒有一個理論標準，大多憑經驗。工程中較多采用的小波基函數有db小波、sym小波和haar小波。對于給定長度的序列，最大分解尺度(層數)也是有限制的。從小波理論分析角度來看，最大分解尺度僅由數據長度和小波階數便可確定，理論上小波分析最大分解尺度M為[20]

M=floor[ln(lx/(lw-1))/ln2]=

floor[lb(lx/(lw-1))]

(18)

式中，floor(·)為向下取整函數；lx為信號長度；lw為濾波器長度，與小波類型有關，對于dbN小波，lw=2N;N為小波函數的消失矩。

本文分別選用db2、sym2、db4、sym4以及haar小波基函數，由式(18)可確定db2與sym2小波對應的最大分解尺度為11，db4與sym4小波對應的最大分解尺度為10，采用haar小波時則為13。根據自相似特征確定具有分形特征的尺

度，對這些尺度進行擬合就可以計算出分形維數。由M-B函數生成理論分形維數Dt為1.1、1.2、…、1.9的模擬輪廊，對上述輪廓在采樣區間(3L,4L)上分別進行小波分解，應用本文提出的對數小波譜方法,對具有分形特征的分解尺度進行擬合獲得直線斜率α，從而由式(15)計算出相應的分形維數D，結果見表1。

由表1可見，采用sym4小波時計算結果精度最高。圖2給出了理論分形維數Dt分別為1.2、1.5、1.8時的對數小波譜及其擬合直線。根據圖2，分解尺度m為2、3、4、5、6對應的對數小波譜幾乎在一條直線上，其余理論維數類似，輪廓在這幾個尺度上(對應輪廓高頻部分)具有精確的自相似性，說明輪廓在這幾個尺度上具有良好的分形特征(從對數小波譜上看在一條直線上，稱之為有效分解尺度)，因此分解尺度2、3、4、5、6為有效分解尺度；在尺度大于8(對應輪廓低頻成分)時，與小于8的尺度沒有嚴格的相似性，這是因為在生成模擬輪廓時采用的是式(17)，而式(17)是有限項級數，存在誤差，因此不具有嚴格的自相似性。對有效分解尺度2～6進行擬合計算的精度很高，誤差都在0.15%以內。

表1 各小波計算結果

應用對數小波譜方法,采用sym4小波計算獲得的分形維數與應用功率譜密度法、結構函數法、均方根法以及解方程組法獲得的結果的比較如圖3所示。

(a)Dt=1.2,D=1.2008，誤差e=0.063263%

(b)Dt=1.5,D=1.502，e=0.13609%

(c)Dt=1.8,D=1.8026，e=0.14208%圖2 采樣區間為(3L,4L)時對數小波譜及其擬合直線

(a)各方法計算分形維數比較

(b)各方法計算誤差比較1.對數小波譜方法(sym4小波) 2.均方根法 3.結構函數法 4.文獻[1]方法 5.方程組法 6.功率譜密度法 7.分形維數理論值圖3 采樣區間(3L,4L)上不同計算方法的計算結果

將對數小波譜方法應用到文獻[14]中的M-B函數算例，得到的計算結果與文獻中其他方法計算結果的比較見表2。由表2可見，對數小波譜方法相對于其他方法有更高的精度。

表2 各方法對文獻[14]算例計算結果

3 計算實例

圖4為由Talysurf5-120輪廓測試儀對車削、銑削和磨削加工表面進行測試獲得的表面輪廓曲線，試件材料為45鋼，測試的采樣間隔為1.25 μm，采樣長度為3.75 mm，共有3000個離散采樣點。對該輪廓進行db2小波分解，得到圖5所示的各加工表面輪廓的對數小波譜，經直線擬合求出其分形維數。分別采用功率譜密度法與結構函數法對上述各輪廓分形維數進行計算，結果如表3所示。

表3 各加工表面輪廓分形維數計算結果

Ra(μm)分形維數D功率譜法結構函數法對數小波譜法車削0．73211．94831．77551．7892銑削2．48021．18321．32291．2106磨削0．57401．56991．40161．4674

4 結論

(1)提出了一種機械加工表面輪廓分形維數的對數小波譜計算方法以及有效分解尺度的概念。

(a)車削加工

(b)銑削加工

(c)磨削加工圖4 各加工表面輪廓

(a)車削加工

(b)銑削加工

(c)磨削加工圖5 各加工表面輪廓的對數小波譜

(2)計算輪廓分形維數的關鍵是選擇小波基函數和分解尺度，然而其最大分解尺度可由表面輪廓序列長度和小波階數確定，可先按最大分解尺度分解。

(3)對數小波譜法能很好地處理分形的多尺度特征，對于由M-B函數模擬的分形輪廓，特別是采用sym4小波時，對數小波譜方法計算誤差在0.15%以內，對文獻[14]中的算例計算也具有高的準確度。

(4)應用所提出的對數小波譜方法對一車削、銑削和磨削加工表面輪廓分形維數進行了分析計算，表明本文方法具有實用性。

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(編輯 蘇衛國)

Logarithmic Wavelet Spectrum Method for Computing Fractal Dimension of Machined Surface Profiles

Zhang Xueliang Wang Yusong Wen Shuhua Fan Shirong Chen Yonghui Lan Guosheng

Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan, 030024

A multi-scale wavelet decomposition for surface profiles was achieved herein by the multi-scale analysis capability of wavelet; and a logarithmic wavelet spectrum method for calculating the fractal dimensions of machined surface profiles and the effective decomposition scale concept were proposed. Fractal profiles with different fractal dimensions and different sampling intervals were generated by M-B function. The fractal dimensions of simulated profiles whose dimensions were known were calculated by logarithmic wavelet spectrum method, which was compared with the calculation results of other five kinds of methods such as the power spectral density (PSD) method. The results show that logarithmic wavelet spectrum method may process multi-scale fractal features nicely, and it has the highest accuracy with errors less than 0.15% when sym4 wavelet is adopted. Finally, logarithmic wavelet spectrum method was applied to calculate the fractal dimensions of actual machined surface profiles and the results illustrate its practicability.

machined surface profile; fractal dimension; wavelet decomposition; effective decomposition level; logarithmic wavelet spectrum

2016-01-19

國家自然科學基金資助項目(51275328);山西省自然科學基金資助項目(201601D011062)

TH161.14

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.23.004

張學良，男，1964年生。太原科技大學機械工程學院教授、博士研究生導師。研究方向為機械結構動態特性、現代優化設計理論與方法、現代制造技術。王余松，男，1991年生。太原科技大學機械工程學院碩士研究生。溫淑花(通信作者)，女，1963年生。太原科技大學機械工程學院教授。范世榮，男，1990年生。太原科技大學機械工程學院碩士研究生。陳永會，男，1975年生。太原科技大學機械工程學院副教授。蘭國生，男，1975年生。太原科技大學機械工程學院副教授。