一個含Bessel函數的積分定理的推廣

藍新華

(賀州學院 理學院，廣西 賀州 542899)

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一個含Bessel函數的積分定理的推廣

藍新華

(賀州學院 理學院，廣西 賀州 542899)

運用留數理論和Hankel函數的相關性質,對K.S.Kodbig關于含Bessel函數的廣義積分定理進行推廣,給出一般情形下Bessel函數的無窮積分定理,并得到一些相應性質.

Bessel函數;留數定理;Hankel函數

本文中，主要對一類含Bessel函數的積分進行探索，得到含Bessel函數的無限積分的解．其結果進一步推廣了K.S.Kodbig的結論．

1 預備定理

引理2[2]設Jv(x)是第一類v階Bessel函數，Re s(f(x),z)表示f(x)在z點的留數，當v?-1時，有

引理3[4]卷積積分方程

有特解

其中

2 主要結果

(i)當φ(x),φ(x)都是奇函數時

(1)

(ii)當φ(x)為奇函數，φ(x)為偶函數時

(2)

(3)

(4)

(5)

所以，當R→∞時，∫Cf(η)dη→0.

(6)

又因為wj(j=1,2,…,n)是f(η)的一階極點[8]，有

(7)

由(3)～(7)得

(ii)當φ(x)為奇函數，φ(x)為偶函數時.在上述所作的復平面，有

再利用(3)～(7)，得到

整理即得結論(2)．

(i)當φ(x),φ(x)都是偶函數時

(ii)當φ(x)為偶函數，φ(x)為奇函數時

由定理1，可得

推論1 若φ(x)=φ(x)=x，g(x,z)=x+z，Resz>0,則

若在定理1中令φ(x)=mx，φ(x)=nx(m>0,n>0)，g(x)=x2+z2，則得到推論2．

推論2 若m>0，n>0，Resz>0,則

性質1 若m>0，n>0，s>0,則

在推論2中，若令z=is，則得到性質2.

性質2 若m>0，n>0，s>0，則

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(責任編輯:陳衍峰)

Generalization of an Integral Theorem Of Bessel functions

LAN Xin-hua

(CollegeofScience,Hezhouuniversity,Hezhou,Guangxi542899,China)

Based on the residue theory and the properties of Hankel function, we popularize the conclusions of K.S.Kodbig and obtain the Infinite Integral Theorem in the general case about Bessel function.It promotes the results of K.S.Kodbig and some properties are obtained .

Bessel function; residue theory ; Hankel function

2016-04-15

廣西省教育廳項目(20140628)；賀州學院科研項目成果“含Bessel函數廣義積分的研究”(2016ZZZK07);賀州學院碩士點建設數學支撐學科自主課題項目(2016HZXYSX11)

藍新華,廣西上林人,講師．

O174.6

A

1008-7974(2016)05-0035-03

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.10.012