粗糙表面彈塑性接觸連續光滑指數函數模型與法向接觸剛度研究

陳永會,張學良,溫淑花,蘭國生,王余松,范世榮

(太原科技大學機械工程學院,030024,太原)

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粗糙表面彈塑性接觸連續光滑指數函數模型與法向接觸剛度研究

陳永會,張學良,溫淑花,蘭國生,王余松,范世榮

(太原科技大學機械工程學院,030024,太原)

無量綱法向接觸剛度;無量綱法向接觸載荷;彈塑性接觸模型;分形模型;指數模型

工程中的任何接觸表面都不是絕對光滑而是粗糙的,它們之間的接觸行為往往存在著復雜的多尺度、非線性以及多物理場的特性。對于粗糙表面接觸模型的研究,從最早的赫茲接觸理論,到后來Greenwood和Williamson進行多方面的假設、利用統計學方法建立的粗糙表面彈性接觸模型(即GW模型),以及其他學者建立的適用于極大載荷下的粗糙表面塑性接觸模型[1-2],均忽略了彈性變形和塑性變形之間的彈塑性變形區間。針對早期接觸模型的缺陷和不足,Chang等利用體積守恒原理建立了粗糙表面彈塑性接觸模型,即CEB模型[3]。Zhao等對CEB模型進行了修正,提出了3種變形狀態的ZMC模型[4]。Kogut和Etsion利用有限元方法研究了半球體與剛性平面接觸時接觸載荷、接觸面積以及平均接觸壓力與變形量之間的關系,而且通過曲線擬合得到了分段經驗公式,即KE模型[5-6]。ZMC模型和KE模型由于沒有考慮臨界點處的連續性,因此平均接觸壓力與變形量之間的關系在臨界點都出現了跳躍和不光滑現象。趙永武等采用三次樣條函數對ZMC模型進行改進,滿足了在臨界點連續性和光滑性的要求[7]。此外,Brake采用Hermit多項式插值,也滿足了曲線的光滑性和連續性[8]。但是,不管是樣條函數還是Hermit多項式的插值函數,都使得粗糙表面彈塑性階段的平均接觸壓力與變形量之間的關系曲線出現了振蕩現象,使得接觸狀態的變化過程呈現非單調性。徐超等采用低階橢圓曲線插值方法進行了彈塑性階段建模,只擬合了平均接觸壓力與變形量之間的關系,并利用概率統計方法建立了粗糙表面法向彈塑性接觸模型[9],但是彈塑性變形階段的實際接觸面積與變形量之間的關系仍采用了Hermit插值法所給出的關系式,這使得接觸參數之間不能很好地匹配。張學良等利用分形理論和KE模型(彈塑性階段的分段經驗公式)推導了粗糙表面三階段的接觸剛度和接觸載荷之間的關系,并通過實驗驗證了模型的正確性[10]。然而如上所述,KE模型存在臨界點不連續和跳躍的特點。

針對上述不足,通過觀察和分析微凸體在彈性階段和塑性階段的接觸參數與變形量的關系,本文利用一階系統階躍響應函數建立了微凸體彈塑性變形階段平均接觸壓力與變形量之間的模型,推導了相關參數,實現了接觸參數隨變形量的單調、連續、光滑和無跳躍的變化,并與典型模型進行了對比分析,驗證了本文模型的可信性。另外,還利用分形理論得到了粗糙表面在彈性階段、彈塑性階段和塑性階段接觸時的法向接觸剛度和法向接觸載荷解析模型,并進行了無量綱化處理,仿真分析了分形維數、塑性指數和無量綱分形粗糙度參數對無量綱法向接觸剛度和無量綱法向接觸載荷的影響規律,進而分析了無量綱法向接觸剛度隨無量綱法向接觸載荷的變化規律。

1 微凸體彈塑性模型的建立

本模型的建立依然沿用文獻[11]中GW模型的假設,這樣微凸體的完全彈性階段與完全塑性階段的接觸參數符合文獻[12]中的描述。

完全彈性變形階段(即δ<δc時)的接觸載荷Fe、接觸面積Ae以及平均接觸壓力Pe與接觸變形量δ之間的關系分別為

(1)

(2)

(3)

完全塑性變形階段(即δ>110δc時)的接觸載荷Fp、接觸面積Ap以及平均接觸壓力Pp與接觸變形量δ之間的關系分別為

(4)

(5)

(6)

彈塑性變形階段(即δc≤δ≤110δc時)既存在彈性變形區域,又存在塑性變形區域,是兩者的混合。在變形量接近δc時,彈性變形區域較大,起主要作用;在變形量接近110δc時,塑性變形區域較大,起主要作用。因而,在彈塑性變形階段接觸參數與變形量的關系是由彈性和塑性的混合所決定的,而且以連續介質力學理論來考慮,彈塑性變形過程是連續的、光滑的和單調的[9]。因此,為了保證這一特點,在δ=δc和δ=110δc兩點處,接觸面積、接觸載荷和平均接觸壓力與變形量之間的關系必須滿足以下要求

(7)

(8)

采用分段擬合的KE模型在δ=δc、δ=6δc和δ=110δc這3個點均出現不連續、不光滑的現象。表1列出了以鋼(工程參數為E1=200 GPa,H=5 GPa,μ=0.3,K=0.454+0.41μ,R=1 μm,且下面圖1和圖2均采用這些數據)為例時的KE模型與本文模型(見式(17))在上述3個點的接觸載荷仿真數據對比。從表1中可以看出,KE模型在δ=110δc時接觸載荷的相對誤差是最大的,達到了7.9%,而本文模型在這3個點的相對誤差均為0%。

圖1 不同模型的平均接觸壓力對比

圖2 不同模型的接觸面積對比

模型參數δ=δc彈性彈塑性一δ=6δc彈塑性一彈塑性二δ=110δc彈塑性二塑性KE模型F/Ne/%25690×10-63026460×10-63033999×10-51734569×10-51713620×10-37914693×10-379本文模型F/Ne/%25690×10-6025690×10-60連續 連續 14693×10-3014693×10-30

文獻[7](趙永武模型)和文獻[8](Brake模型)對Aep和Fep隨變形量δ變化的不連續和不光滑進行了改進,但是,它們的平均接觸壓力Pep隨δ的變化不是單調的。圖1表示了KE模型、趙永武模型、Brake模型與本文模型在給定工程參數(表1采用的參數)時的平均接觸壓力仿真結果對比。文獻[9]利用橢圓曲線來對彈塑性階段平均接觸壓力的變化進行建模,得到了平均接觸壓力與變形量之間的關系,見文獻[9]中的式(22)。但是,經過推導驗證之后發現,其中有部分遺漏的錯誤。文獻[9]式(21)中的橢圓長半軸a為

(9)

而實際的橢圓長半軸應為

(10)

式(9)與式(10)中符號的含義見文獻[9]。此外,文獻[9]中彈塑性變形階段的實際接觸面積Aep與變形量δ之間的關系是采用文獻[8]中的式(16)(利用Hermit插值法)給出的,并沒有給出接觸載荷Fep與變形量δ的關系。

在考慮上述方法的不足之后,本文嘗試采用一階系統階躍響應函數的形式對微凸體彈塑性階段平均接觸壓力Pep隨變形量δ的變化進行建模。為了保證Pep在δ=δc和δ=110δc兩個臨界點的連續,Pep必須滿足式(7)與式(8),由此得到以下條件

(11)

(12)

因此,根據一階系統階躍響應的模式,并考慮兩個臨界點的特點,設定當δ在δc和110δc之間時,Pep與δ之間的關系為

(13)

由于要滿足式(11),因此可知

可得

(14)

將式(14)代入式(13)中,可得

(15)

本可以用同樣的方法,得到微凸體彈塑性階段接觸面積Aep和接觸載荷Fep與變形量δ之間的關系,但是考慮到接觸面積和接觸載荷在后續推導模型過程中需要進行積分運算,而指數函數與冪函數的乘積不容易積分,無法得到解析模型,因此將f(δ)進行泰勒級數展開,略去高階項并且進行簡化處理,得到微凸體彈塑性階段的Fep(δ)和Aep(δ)

(16)

(17)

通過表1和圖2可以驗證,在δ=δc和δ=110δc兩個臨界點,接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關系是連續的、光滑的和單調的。

2 粗糙表面彈塑性接觸模型的建立

根據文獻[13],實際粗糙表面微接觸點的面積分布密度函數為

(18)

式中:al為最大微接觸點的面積;D為粗糙表面的分形維數。

由文獻[14-15]可知,粗糙表面微凸體的變形量δ和曲率半徑R分別為

(19)

式中:g1(D)=23-Dπ(D-2)/2GD-1(lnβ)1/2;G為粗糙表面的分形粗糙度參數;β為常數,通常β=1.5。

(20)

(21)

將式(19)和式(20)代入式(1)中,微凸體在彈性變形階段的接觸載荷Fe(a)可以寫成

(22)

由式(22)和式(19),可得在彈性變形階段微凸體的法向接觸剛度

(23)

將式(19)和式(20)代入式(17)中,微凸體在彈塑性變形階段的接觸載荷

(24)

由式(19)和式(24),可以得到微凸體在彈塑性接觸階段的法向接觸剛度

(25)

微凸體只有在完全彈性階段和彈塑性階段才存在法向接觸剛度,而完全塑性階段不存在法向接觸剛度。

同理,可得微凸體在彈塑性階段的接觸面積Aep(a)和平均接觸壓力Pep(a)分別為

粗糙表面的真實接觸面積

(26)

粗糙表面的法向接觸剛度只存在于結合面接觸變形處于彈性階段和彈塑性階段的微凸體上。因此,結合面的總法向接觸剛度

(27)

將式(23)、式(25)及式(18)代入式(27)中,可得

(28)

式中

結合面的法向接觸總載荷存在于結合面接觸變形處于彈性階段、彈塑性階段以及塑性階段的微凸體上,因此,結合面的總法向接觸載荷與真實接觸面積的關系為

(29)

將式(1)、式(4)、式(24)以及式(18)代入式(29)中,可得

(30)

將式(30)進行無量綱化處理,可得無量綱接觸載荷

(31)

式中

將式(28)進行無量綱化處理,可得無量綱法向接觸剛度

(32)

式(31)和式(32)分別是粗糙表面接觸的無量綱法向接觸載荷和無量綱法向接觸剛度分形模型,可以發現它們均是一個多變量的復雜函數。

3 粗糙表面接觸特性的仿真與分析

(a)D=1.1 (b)D=1.51

(c)D=1.6 (d)D=1.9圖和Φ對的影響(G*=10-10)

(a)D=1.2 (b)D=1.4

(c)D=1.7 (d)D=1.9圖和G*對的影響(Φ=1.5)

圖5 D和Φ對的影響(G*=10-10)

圖6 D和G*對的影響(Φ=1.5)

(a)D=1.1 (b)D=1.4

(c)D=1.51 (d)D=1.8圖和Φ對的影響(G*=10-10)

(a)D=1.2 (b)D=1.4

(c)D=1.7 (d)D=1.9圖和G*對的影響(Φ=1.5)

圖9 D和Φ對的影響(G*=10-10)

圖10 D和G*對的影響(Φ=1.5)

圖和Φ對的影響(G*=10-10)

圖和G*對的影響(Φ=1.5)

圖13 D和Φ對的影響(G*=10-10)

圖14 D和G*對的影響(Φ=1.5)

4 粗糙表面法向接觸剛度分形模型的應用及實驗對比

粗糙表面接觸剛度的計算準確與否與結構的固有頻率有著密切的關系。利用文獻[10]中所給的結合面參數,通過有限元方法計算了啞鈴模型的固有頻率(螺栓預緊力矩為60 N·m),并且將文獻[10]中的結合面法向接觸剛度用本文提出的法向接觸剛度模型計算結果進行了替換,其他有限元分析中的設置與文獻[10]相同,最終計算出啞鈴模型的前4階模態,部分振型圖如圖15所示。根據模態振型相同的比較原則,將文獻[10]和本文模型計算的固有頻率與實驗值進行了比較,見表2。從表2中可以看出,本文模型計算出的第1、2、4階固有頻率與實驗值的誤差相對較小,而第3階固有頻率與實驗值的誤差相對較大。對于機械結構而言,低階的固有頻率相對比較重要,對計算精度的要求也比較高,因此可以利用本文的法向接觸剛度模型來計算結構的低階模態頻率,結果較為準確。

(a)f1=527.45 Hz

(b)f2=746.90 Hz圖15 啞鈴模型的計算固有頻率和振型

固有頻率實驗值/Hz本文結果/Hz本文誤差/%文獻[10]結果/Hz文獻[10]誤差/%f1542352745-274966-84f2781874690-457336-62f31072394701-11710113-57f42328021752-6521747-66

5 結 論

(1)在GW模型的基礎上,建立了一種近似一階系統階躍響應模式的微凸體彈塑性接觸模型,并與傳統的KE模型、Brake模型等做了比較,解決了KE模型在彈塑性階段是分段擬合的問題,以及Brake模型和趙永武模型[7]的平均接觸壓力Pep(δ)的非單調性問題,得到了微凸體接觸在三階段(彈性階段、彈塑性階段和塑性階段)的平均接觸壓力Pep(δ)、接觸面積Aep(δ)和接觸載荷Fep(δ)與變形量δ之間的關系,并且驗證了它們是連續的、光滑的和單調的。

(5)利用本文提出的法向接觸剛度模型對啞鈴模型的固有頻率進行了計算,并將計算結果與實驗獲得的固有頻率進行了比較,驗證了本文模型的準確性。

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(編輯 葛趙青)

Research on Continuous Smooth Exponential Model of Elastic-Plastic Contact and Normal Contact Stiffness of Rough Surface

CHEN Yonghui,ZHANG Xueliang,WEN Shuhua,LAN Guosheng,WANG Yusong,FAN Shirong

(College of Mechanical Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

dimensionless normal contact stiffness; dimensionless normal contact load; elastic-plastic contact model; fractal mode; exponential model

2016-01-19。 作者簡介:陳永會(1975—),男,副教授;張學良(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51275328)。

時間:2016-04-28

10.7652/xjtuxb201607010

TH113.1

A

0253-987X(2016)07-0058-10

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160428.2222.002.html