X射線脈沖星光子序列頻域加權(quán)測(cè)相方法

焦榮,許錄平,張華,張嬌

(西安電子科技大學(xué)空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,710126,西安)

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X射線脈沖星光子序列頻域加權(quán)測(cè)相方法

焦榮,許錄平,張華,張嬌

(西安電子科技大學(xué)空間科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,710126,西安)

針對(duì)X射線脈沖星信號(hào)累積輪廓位相測(cè)量誤差大的問題,提出了一種直接位相測(cè)量的頻域加權(quán)方法。首先,直接對(duì)X射線探測(cè)器捕獲和采樣形成的光子序列進(jìn)行頻域變換得到幅度譜,分別提取幅度譜各個(gè)成分的相位,再用幅度對(duì)相位變量加權(quán)平均,得到位相測(cè)量結(jié)果;進(jìn)一步采取分段加權(quán)的策略,解決序列過長(zhǎng)引起的內(nèi)存溢出問題;最后對(duì)所提出方法的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行了理論分析。仿真結(jié)果表明:在觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)和采樣間隔相同的條件下,與平均法相比,加權(quán)法的測(cè)相精度提高了10%以上;與最大似然(ML)和非線性最小均方誤差(NLS)法相比,加權(quán)法的比相精度提升了1倍以上,計(jì)算速度處于ML法和NLS法之間;分段情況下性能會(huì)隨著分段數(shù)增加有所改善。

X射線脈沖星;位相測(cè)量;快速傅里葉變換;最大似然

脈沖星是一種高速穩(wěn)定自旋的中子星,其旋轉(zhuǎn)軸和輻射軸不重合,當(dāng)探測(cè)器處于其輻射掃描區(qū)內(nèi)時(shí),能夠收到穩(wěn)定的周期性的脈沖信號(hào),利用該信號(hào)計(jì)時(shí)可以實(shí)現(xiàn)基于脈沖星的航天器導(dǎo)航。由于利用X射線信號(hào)有利于探測(cè)器小型化,因此X射線脈沖星導(dǎo)航已成為具有潛力的航天器導(dǎo)航方法,它通過測(cè)量脈沖星信號(hào)到達(dá)航天器和某一選定慣性參考點(diǎn)之間的相位差來獲取航天器相對(duì)于坐標(biāo)中心的位置信息[1-3]。其中,相位測(cè)量的誤差直接影響導(dǎo)航定位精度,因此相位測(cè)量技術(shù)是影響脈沖星導(dǎo)航性能的關(guān)鍵技術(shù)之一。

X射線脈沖星信號(hào)的測(cè)量技術(shù)大致可以分為兩類,一類是基于脈沖星信號(hào)累積輪廓的位相測(cè)量方法[1,4-5],另一類是直接對(duì)光子序列的初相進(jìn)行測(cè)量[3,6]。基于累積輪廓的位相測(cè)量方法又分為時(shí)域方法[7-8]、頻域方法和其他變換域方法,基于這幾種方法又延伸出了若干改進(jìn)方法如雙譜變換[9]和基于小波變換的輪廓測(cè)相等[3,6,10];光子序列初相測(cè)量以最大似然方法為主,根據(jù)模型的不同,也發(fā)展了一些改進(jìn)的方法[3,6]。從實(shí)際信號(hào)處理過程來看,基于時(shí)域的周期估計(jì)算法耗時(shí)長(zhǎng),頻域方法及其改進(jìn)方法[4-5,7-9]往往能在不顯著增加計(jì)算量的前提下獲得更高的精度,但這些方法一般都需要先累積出輪廓,而輪廓的累積過程受到脈沖星周期誤差、演化模型等多種因素的影響,這些因素會(huì)直接導(dǎo)致輪廓存在相移[11]和畸變,從而增加了測(cè)量誤差。因此,從位相測(cè)量的角度,直接對(duì)光子序列測(cè)相,可以避免輪廓累積的過處理引入的附加誤差,從而精度更高。已有文獻(xiàn)表明,針對(duì)光子序列的最大似然方法有能力獲得更高的精度[6]。Zhang等人提出的基于輪廓模型的最大似然方法[3]存在以下不足:①需對(duì)每個(gè)光子求解代價(jià)函數(shù)并搜索,計(jì)算量大;②最大似然對(duì)信號(hào)光子和噪聲光子的處理方法相同,對(duì)信號(hào)、噪聲以及不同的輪廓成分并不加區(qū)分。因此,本文提出基于快速傅里葉變換(FFT)的X射線脈沖星光子序列位相測(cè)量的頻域加權(quán)方法。基本思想是:通過頻域變換和加權(quán),使強(qiáng)度不同的成分對(duì)測(cè)量精度的貢獻(xiàn)不同。此外,由于背景輻射噪聲具有較寬、較平坦的頻譜,在頻譜加權(quán)方法中的權(quán)重較小,其對(duì)相位測(cè)量精度的影響能被一定程度的抑制。

1 信號(hào)模型

脈沖星的脈沖信號(hào)具有穩(wěn)定的周期,如果已知t0時(shí)刻的初相φ0、頻率f以及頻率的多階導(dǎo)數(shù)f(m),太陽(yáng)系質(zhì)心(SSB)處的相位可以利用相位演化模型精確預(yù)測(cè)[12]

(1)

式中:φ(t)表示t時(shí)刻的相位;[·]表示取余數(shù)操作,定義為[φ]=int(φ)+mx,mx∈[0,1),int表示取整,[·]保證相位始終為[0,1)的實(shí)數(shù);M為整數(shù);通常,f(m)(m≥2)非常小(10-12～10-19),脈沖星在數(shù)小時(shí)甚至幾天內(nèi)可以近似認(rèn)為是等周期的,周期為1/f。由于脈沖星的輪廓結(jié)構(gòu)具有多樣性,因此在頻域可以看到明顯的譜線。本文選擇具有穩(wěn)定的周期特性的X射線脈沖星作為導(dǎo)航的參考基準(zhǔn)。

實(shí)際信號(hào)強(qiáng)度非常微弱,被認(rèn)為是以光子形態(tài)順序到達(dá)探測(cè)器的,再經(jīng)過X射線探測(cè)器捕獲和采樣形成光子序列,又由于到達(dá)SSB處脈沖星信號(hào)的周期特性,因此常用非齊次循環(huán)平穩(wěn)泊松過程對(duì)X射線脈沖星信號(hào)建模[13-14]。

2 頻域加權(quán)比相

2.1 信號(hào)獲取

X射線脈沖星信號(hào)的位相測(cè)量是脈沖星導(dǎo)航的基本測(cè)量量[15-18],由于導(dǎo)航方式的不同,位相測(cè)量的對(duì)象也有不同。在絕對(duì)形式的導(dǎo)航中,探測(cè)器測(cè)量到的脈沖星信號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)演化模型進(jìn)行相位比對(duì);在相對(duì)形式的脈沖星導(dǎo)航中,同一探測(cè)器在不同時(shí)段獲得的同一脈沖星信號(hào)之間,或者不同探測(cè)器在不同軌道位置探測(cè)的同一脈沖星信號(hào)之間進(jìn)行相位比對(duì)。在絕對(duì)導(dǎo)航方式中,由于任意時(shí)刻的標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)演化模型是不變的,因此在不同時(shí)刻脈沖星信號(hào)與標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)演化模型的比對(duì),可以等效于探測(cè)器在不同時(shí)刻探測(cè)的信號(hào)之間的相位比對(duì)。所以,本文以相對(duì)形式導(dǎo)航為背景,對(duì)相位測(cè)量方法進(jìn)行闡述。

2.2 頻域加權(quán)比相

加權(quán)FFT相位估計(jì)的基本思路是:兩路光子序列來自同一顆脈沖星的信號(hào),對(duì)兩列光子流量序列進(jìn)行FFT變換,對(duì)其每個(gè)頻域點(diǎn)求相位,再對(duì)兩列信號(hào)對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)相位做差運(yùn)算后加權(quán)平均,得到延遲相位估計(jì)值。令兩路比相序列分別為G1和G2,加權(quán)FFT比相方法示意圖如圖1所示。

圖1 加權(quán)FFT比相方法示意圖

兩路光子序列來自同一顆脈沖星,經(jīng)過等間隔采樣分別得到采樣后序列x1(n)、x2(n),其中n為整數(shù),n∈[0,N],N為序列長(zhǎng)度,且有N=NbNp,Np為觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的脈沖周期個(gè)數(shù),Nb代表單周期內(nèi)包含的采樣點(diǎn)數(shù)。設(shè)定x2(n)相比于x1(n)延遲相位τ0,即x2(n)=x1(n-τ0)+γ,其中γ為白噪聲,如果暫時(shí)不考慮整周期模糊度問題,有τ0∈[0,Nb],則有兩光子序列的N點(diǎn)FFT分別為

(2)

X2(k)=fft[x2(n)]=fft[x1(n-τ0)+γ]=

(3)

式中:fft[·]表示傅里葉變換;fft[γ]為常數(shù)。分別提取X1(k)、X2(k)對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)相位值進(jìn)行做差運(yùn)算,可以得到k頻點(diǎn)相位差為

(4)

式中:φ1(k)、φ2(k)分別為k頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相位。容易得到歸一化的k頻點(diǎn)脈沖星的相位差

(5)

(6)

式中:w(k)為權(quán)值,其計(jì)算式為

(7)

(8)

(9)

2.3 分段式頻域加權(quán)比相

當(dāng)信號(hào)序列較長(zhǎng)時(shí),FFT變換可能導(dǎo)致計(jì)算機(jī)內(nèi)存溢出,因此本文提出分段式頻域加權(quán)比相方法。

設(shè)長(zhǎng)序列{λ(1),λ(2),…,λ(N)}為單位時(shí)間片段Tb(周期內(nèi)最小采樣間隔時(shí)間長(zhǎng)度)內(nèi)的光子數(shù)量。為便于FFT計(jì)算,將光子強(qiáng)度序列分為L(zhǎng)段,令I(lǐng)=1,2,…,L,表示第I段,每段均包含相同的整數(shù)個(gè)周期長(zhǎng)度,其中每段含M個(gè)樣點(diǎn),即N=LM。若為了獲得適合FFT算法的長(zhǎng)度,可對(duì)每段數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)零運(yùn)算。

相應(yīng)地,兩光子強(qiáng)度序列的相位差為

(10)

式中:φI,1(k)、φI,2(k)分別為序列1及序列2在第I段的相位。兩光子的延遲相位值為

(11)

令sI(k)=ΔφI(k)/k,則有

(12)

(13)

式中:k=1,2,…,M。平均所有數(shù)據(jù)段的相位延遲估計(jì)值,即可得到長(zhǎng)序列的相位延遲估計(jì)值為

(14)

理論上,本文方法性能優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在:①?gòu)氖?8)和式(10)可見,頻域方法不需要采樣時(shí)間間隔,其測(cè)量相位是連續(xù)的;②X射線背景噪聲流量恒定,通常可認(rèn)為服從均勻分布,當(dāng)光子數(shù)較多時(shí),其幅度譜一般可近似為常值[14],信號(hào)的周期性使其譜線幅度明顯高于噪聲,因此本文通過引入幅度權(quán)重使噪聲對(duì)相位測(cè)量的影響得到抑制,相比而言,NLS和ML法對(duì)待噪聲和信號(hào)是等同的。

2.4 計(jì)算復(fù)雜度分析

計(jì)算復(fù)雜度是指對(duì)用于比相估計(jì)的算法所采用的加、減、乘、除的總運(yùn)算次數(shù)的分析。假定觀測(cè)時(shí)間Tobs內(nèi)約有Np個(gè)脈沖星周期P,則有Tobs≈NpP。對(duì)該段觀測(cè)時(shí)間進(jìn)行等間隔采樣,則每間隔長(zhǎng)度為Tb,Nb代表一個(gè)周期內(nèi)包含的時(shí)間片段數(shù),則有Tb=P/Nb。

采用加權(quán)FFT法進(jìn)行比相估計(jì),需要對(duì)兩列光子序列進(jìn)行FFT變換,頻域內(nèi)的相位值作差,累積,最后對(duì)所得到的能量加權(quán)。因此,完成加權(quán)FFT比相估計(jì)總共需要(NbNp)2+6NbNp步運(yùn)算過程。

分段加權(quán)FFT運(yùn)算主要使在FFT變換處的計(jì)算代價(jià)得到了極大的節(jié)省。假定觀測(cè)時(shí)間內(nèi)的Np個(gè)周期被分成了L段,每段包含K(K?N)個(gè)周期,則分段加權(quán)FFT總共需要L(NbK)2+6NbNp步運(yùn)算。

[6]中NLS方法和參考文獻(xiàn)[3]中ML方法的計(jì)算量與本文方法作比較,如表1所示。

表1 NLS、ML、加權(quán)FFT及分段加權(quán)FFT方法 的計(jì)算復(fù)雜度比較

注:Ng表示將歸一化相位區(qū)間(0,1)分為Ng段。

可見,加權(quán)FFT法的計(jì)算復(fù)雜度介于NLS法與ML法之間。此外,分段加權(quán)FFT法使一次FFT變換的實(shí)際數(shù)據(jù)量得到了極大的縮減,從而實(shí)現(xiàn)了計(jì)算復(fù)雜度的進(jìn)一步改善。

3 仿真結(jié)果與分析

本實(shí)驗(yàn)采用RXTE探測(cè)器探測(cè)到的蟹狀脈沖星PSR B0531+21數(shù)據(jù)作為分析對(duì)象。B0531+21脈沖星的周期為33.4 ms,RXTE探測(cè)器的有效面積為6 800 cm2;X射線源發(fā)射的光子序列及探測(cè)器的背景噪聲主要由高斯模型和泊松模型擬合生成[14],該方法將脈沖星輪廓用高斯函數(shù)擬合,然后結(jié)合信號(hào)光子和噪聲密度計(jì)算探測(cè)器單位采樣間隔內(nèi)探測(cè)到的總流量強(qiáng)度,并作為泊松分布的參數(shù),進(jìn)而模擬生成光子序列。仿真中設(shè)置光子流量密度為0.96 ph/(cm2·s)(軟X射線能段),背景噪聲密度為0.45 ph/(cm2·s)。軟件平臺(tái)為Matlab R2012a,計(jì)算機(jī)配置為:Intel(R)Core(TM)i5-3470 CPU@3.20 GHz,內(nèi)存為4.00 GB(3.47 GB可用),操作系統(tǒng)為Window 7專業(yè)版。

3.1 均方根誤差對(duì)比分析

比相估計(jì)的均方根誤差主要用于反映比相估計(jì)值偏移真值的程度,其計(jì)算公式為

φ0)2])1/2

(15)

在測(cè)試過程中,設(shè)定觀測(cè)時(shí)間為0.1～1 000 s,采樣間隔Tb為P/1 024 s(P為脈沖星周期,此處為33.4 ms)。實(shí)驗(yàn)過程中相位是按(0,1)歸一化。采用蒙特卡羅方法進(jìn)行多組隨機(jī)仿真,得到NLS、ML及加權(quán)FFT方法估計(jì)的比相均方根誤差隨觀測(cè)時(shí)間的變化曲線如圖2a所示。

由圖2a可以看出:隨著觀測(cè)時(shí)間的增加,這3種方法估計(jì)的比相均方根誤差均呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì),其中NLS和ML算法估計(jì)的均方根誤差基本在相同的數(shù)量級(jí)水平變動(dòng),而加權(quán)FFT方法比前兩者估計(jì)出的均方根誤差要明顯低,即其比相精度要明顯高于NLS和ML算法。

(a)均方根誤差曲線

(b)CPU時(shí)間曲線圖2 NLS、ML及加權(quán)FFT法的比相估計(jì)對(duì)比

由于頻域內(nèi)兩光子強(qiáng)度序列間的相位差與對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)的比值在每個(gè)頻率值處均對(duì)應(yīng)一個(gè)比值,這些比值十分接近,因此可反映出時(shí)域內(nèi)的相移量。為了準(zhǔn)確獲得時(shí)域內(nèi)的相移,需要對(duì)這些比值進(jìn)行處理,一般可通過平均法或加權(quán)法來得到一個(gè)穩(wěn)定的比值。基于平均法和加權(quán)法對(duì)這些比值處理后得到的相移誤差如圖3所示。加權(quán)法賦予有效光子信號(hào)更大的比值,而平均法則對(duì)有用信號(hào)和噪聲信號(hào)進(jìn)行了等比重處理,由圖3可見,加權(quán)法較平均法得到的測(cè)相誤差更小。

圖3 平均法和加權(quán)法的測(cè)相誤差對(duì)比圖

3.2 計(jì)算時(shí)間對(duì)比分析

NLS、ML及加權(quán)FFT方法比相估計(jì)的計(jì)算代價(jià)主要考察各方法仿真占用CPU時(shí)間。其中,NLS法的總CPU時(shí)間主要由輪廓累積、完成非線性最小均方估計(jì)及完成拋物插值運(yùn)算所需的時(shí)間構(gòu)成;ML法的總CPU時(shí)間主要由最大似然函數(shù)模型搭建及插值運(yùn)算所需的時(shí)間構(gòu)成;加權(quán)FFT法的總CPU時(shí)間主要是FFT變換和相位累積及加權(quán)所需的時(shí)間總和。圖2為比相估計(jì)所需的總CPU時(shí)間。由圖可知,隨著觀測(cè)時(shí)間的延長(zhǎng),NLS法使用CPU時(shí)間呈現(xiàn)緩慢增長(zhǎng)的趨勢(shì),ML和加權(quán)FFT法所用CPU時(shí)間均呈現(xiàn)顯著增長(zhǎng)的趨勢(shì),但ML法比加權(quán)FFT法使用的CPU時(shí)間要長(zhǎng)約10倍左右。可見,在計(jì)算代價(jià)方面,隨著觀測(cè)時(shí)間的延長(zhǎng),加權(quán)FFT算法的計(jì)算代價(jià)介于NLS與ML算法之間,且相比于ML算法要明顯省時(shí)。

3.3 分段加權(quán)FFT與加權(quán)FFT方法

3.3.1 觀測(cè)時(shí)間及采樣間隔對(duì)加權(quán)FFT比相測(cè)量精度的影響 在不同的觀測(cè)時(shí)間(Tobs)和采樣間隔(Ts)條件下,進(jìn)一步驗(yàn)證它們對(duì)加權(quán)FFT法比相測(cè)量精度的影響。實(shí)驗(yàn)采取控制變量的方式及蒙特卡羅法對(duì)多組[0,0.5]范圍內(nèi)隨機(jī)相位進(jìn)行了測(cè)試。通過實(shí)驗(yàn),得到在不同觀測(cè)時(shí)間和采樣間隔條件下的加權(quán)FFT比相的均方根誤差分布圖,如圖4所示。從圖4可以看出:在一定的采樣間隔下,當(dāng)觀測(cè)時(shí)間逐漸延長(zhǎng)時(shí),加權(quán)FFT法的比相精度逐漸提高;在一定的觀測(cè)時(shí)間下,對(duì)觀測(cè)到的脈沖星序列進(jìn)行不同采樣間隔的采樣,當(dāng)采樣數(shù)逐漸增大時(shí),加權(quán)FFT的比相精度隨之提高。可見,在一定的觀測(cè)時(shí)間和采樣間隔變化范圍內(nèi),脈沖信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間越長(zhǎng),采樣間隔數(shù)越多,加權(quán)FFT算法估計(jì)出來的比相值越接近真實(shí)值,但當(dāng)觀測(cè)時(shí)間和采樣間隔足夠大時(shí),加權(quán)FFT法比相精度不再明顯受這兩個(gè)變量的影響而逐漸趨于穩(wěn)定。

圖4 加權(quán)FFT法在不同觀測(cè)時(shí)間和采樣間隔下的均方根誤差二維分布圖

3.3.2 加權(quán)FFT法和分段加權(quán)FFT法比相的RMS、計(jì)算代價(jià)的對(duì)比分析 分段加權(quán)FFT法的比相精度仍然從均方根誤差和計(jì)算代價(jià)兩方面進(jìn)行測(cè)試及驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)中,分別以相同觀測(cè)時(shí)間內(nèi)32個(gè)周期、64個(gè)周期及256個(gè)周期為分段區(qū)間長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)試,結(jié)果如圖5所示。

(a)均方根誤差曲線

(b)CPU時(shí)間曲線圖5 加權(quán)FFT法在不同分段長(zhǎng)度下的比相估計(jì)對(duì)比圖

由圖5a可以觀察到:初始時(shí)刻,分段加權(quán)FFT法比相的均方根誤差幾乎與該小段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行加權(quán)FFT法比相的均方根誤差接近,但隨著觀測(cè)時(shí)間的延長(zhǎng),均方根誤差會(huì)緩慢下降,雖然下降的速度明顯要低于加權(quán)FFT法的比相,總體上來說仍然高于ML和NLS法。由圖5b可以看出,隨著觀測(cè)時(shí)間的延長(zhǎng),分段加權(quán)FFT法的CPU時(shí)間仍然保持增長(zhǎng)趨勢(shì),但明顯要少于加權(quán)FFT法。此外,加權(quán)FFT法在140 s左右的觀測(cè)時(shí)間處出現(xiàn)了內(nèi)存溢出的現(xiàn)象,無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行比相估計(jì),而分段加權(quán)FFT法仍然可以實(shí)現(xiàn)比相,可有效解決內(nèi)存溢出問題。

4 結(jié) 論

針對(duì)脈沖星導(dǎo)航中的比相問題,本文提出了頻域加權(quán)方法。該方法考慮了X射線信號(hào)頻率成分對(duì)測(cè)相貢獻(xiàn)上的差異,對(duì)不同的頻率成分,根據(jù)強(qiáng)度賦予不同的權(quán)值,適用于基于脈沖星的相對(duì)導(dǎo)航以及相位增量測(cè)量等應(yīng)用。仿真結(jié)果表明,本文的頻域加權(quán)法在測(cè)相精度上優(yōu)于平均法、NLS和ML方法,計(jì)算復(fù)雜度介于NLS和ML方法之間。分段頻域加權(quán)后,性能有所下降,但可以克服序列過長(zhǎng)引起的內(nèi)存溢出問題,從而可以適應(yīng)內(nèi)存受限的計(jì)算系統(tǒng)。

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(編輯 劉楊)

A Frequency Domain Weighted Measurement Method for X-Ray Pulsar Photon Sequences

JIAO Rong,XU Luping,ZHANG Hua,ZHANG Jiao

(School of Aerospace Science and Technology, Xidian University, Xi’an 710126, China)

A weighted direct phase estimation algorithm in frequency domain for photon sequence is proposed to solve the problem that the error of accumulated phase estimation in the average profile is too large for X-ray pulsar signals. The photon sequence that is captured by the X-ray detector and then sampled is directly transformed to the frequency domain, then the phase of each frequency is respectively extracted and is weighted according the amplitude of the frequency component. Furthermore, the segmented fast Fourier transform strategy is adopted to solve the memory overflow problem caused by long sequences. Finally, the computational complexity of the proposed estimator is investigated in theory. Simulations and comparisons with existing methods under the condition of the same observation time and sampling interval show that the accuracy of the weighted approach increases by 10% over the average method and is two times higher than those of the nonlinear least square (NLS) and maximum likelihood (ML) methods, and that the computational complexity of the algorithm is between NLS and ML methods. Moreover, the performance of the algorithm with segments is improved by increasing the number of segments.

X-ray pulsar; phase estimation; fast Fourier transform; maximum likelihood

2015-12-17。 作者簡(jiǎn)介:焦榮(1983—),女,博士生;許錄平(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。 基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61172138,61401340)。

時(shí)間:2016-04-03

10.7652/xjtuxb201606023

P128.4

A

0253-987X(2016)06-0152-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160403.1820.004.html