第一講數與式

文/鄧革周

第一講數與式

文/鄧革周

數與式是初中數學的基礎知識，它包括實數的有關概念和運算、代數式、整式、因式分解、分式及二次根式等.在中考試卷中，該內容所占的分值為18%左右.現以2015年中考數學試卷為例，將數與式的常考知識點歸納如下，供你復習時參考.

考點1正、負數及其應用

例1（1）（2015年廣州卷）四個數-3.14，0，1，2中為負數的是（）．

A.-3.14B.0C.1D.2

（2）（2015年南通卷）如果水位升高6m時，水位變化記作+6m，那么水位下降6m時，水位變化記作（）．

A.+3mB.-3mC.+6mD.-6m

解析：（1）選A．

（2）因為上升記為“+”，所以下降記為“-”，水位下降6m記作-6m．選D.

溫馨小提示：大于0的數是正數，小于0的數是負數，0既不是正數，也不是負數.在一對具有相反意義的量中，規定了其中一個量為正，則另外一個量為負.

考點2實數的概念及分類

A.4B.2C.1D.3

考點3相反數、倒數和絕對值

例3（1）（2015年咸寧卷）-6的倒數是．

（2）（2015年菏澤卷）如圖1，四個有理數在數軸上的對應點M，P，N，Q，若點M，N表示的有理數互為相反數，則圖中表示絕對值最小的數的點是（）．

A.點MB.點N

C.點PD.點Q

圖1

圖2

（2）如圖2，∵點M袁N表示的有理數互為相反數，

∴原點的位置大約在O點，

∴絕對值最小的數的點是P點．選C．

考點4科學記數法

例4（1）（2015年長沙卷）2014年，長沙地鐵2號線的開通運營，極大地緩解了城市中心的交通壓力，為我市再次獲評“中國最具幸福感城市”提供了有力支撐，據統計，長沙地鐵2號線每天承載人數約為185000人次，則數據185000用科學記數法表示為（）．

A．1.85×105B．1.85×104C．1.8×105D．18.5×104

（2）（2015年攀枝花卷）已知空氣的單位體積質量是0.001239g/cm3，則用科學記數法表示該數為（）．

A.1.239×10-3g/cm3B.1.239×10-2g/cm3

C.0.1239×10-2g/cm3D.12.39×10-4g/cm3

解析：（1）185000=1.85×105.選A.

（2）0.001239=1.239×10-3．選A.

溫馨小提示：科學記數法是將一個數寫成a伊10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數.（1）當原數的絕對值大于或等于1時，n等于原數的整數位數減1；（2）當原數的絕對值小于1時，n是負整數，n等于原數中左起第一位非零數字前面0的個數（含小數點前的0）.另外，如果所給數含有萬、億這樣的數字單位，應先將數還原，再用科學記數法表示.1萬越1×104，1億越1×108.

考點5平方根、算術平方根、立方根

（2）（2015年安徽卷）-64的立方根是．

（2）因為（-4）3=-64，所以-64的立方根是-4．

溫馨小提示：解答與平方根、立方根有關的問題時，應注意符號，不要出現如下錯誤：①27的立方根是±3；②=±8；③的平方根是±9.

考點6實數的大小比較（范圍估算）

例6（1）（2015年武漢卷）在實數-3，0，5，3中，最小的實數是（）．

A.-3B.0C.5D.3

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b

A．在1和2之間B．在2和3之間C．在3和4之間D．在4和5之間解析：（1）選A．

（2）將a袁b袁c變形后，根據分子相同，分母大的反而小即可得出結論．

即a＞b＞c．選A．

溫馨小提示：實數大小的比較方法有：（1）法則比較：正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數.兩個負數絕對值大的反而小.（2）數軸比較：在數軸上右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數.（3）差值比較法：設a袁b是任意實數，則a-b＞0?a躍b；a-b＜0?a約b；a-b=0?a=b.除此之外，還有商值比較法、平方法、倒數法等.

考點7實數的運算

溫馨小提示：實數的混合運算，要明確有關概念、性質、運算法則和運算律，熟練掌握運算順序.實數運算常常與絕對值、銳角三角函數、二次根式、指數運算結合在一起考查.注意：可以得出

考點8列代數式與求代數式的值

例8（1）（2015年恩施卷）隨著服裝市場競爭日益激烈，某品牌服裝專賣店一款服裝按原售價降價a元后，再次降價20%，現售價為b元，則原售價為（）元．

（2）（2015年婁底卷）已知a2+2a=1，則代數式2a2+4a-1的值為（）．

A.0B.1C.-1D.-2

解析：（1）設原售價是x元，由題意得（x-a）（1-20%）=b，解得x=a+b．選A．

（2）∵a2+2a=1，∴原式=2（a2+2a）-1=2-1=1．選B.

溫馨小提示：當字母的值不能或不易求出時，要仔細觀察所求代數式與已知條件之間的內在聯系，對所求代數式或已知條件變形，使變形后的式子可以整體代入求值.

考點9整式的有關概念

例9（1）（2015年通遼卷）下列說法中，正確的是（）．

C.3ab2的系數是3aD.xy2的系數是

（2）（2015年遵義卷）如果單項式-xyb+1與xa-2y3是同類項，那么（a-b）2015=．

解析：（1）選D.

溫馨小提示：把握同類項的兩個“相同”和兩個“無關”：所含字母相同，相同字母的指數相同；同類項與字母的順序無關，與系數無關.

考點10冪的運算性質

例10（2015年桂林卷）下列計算正確的是（）．

A.（a5）2=a10B.x16÷x4=x4C．2a2+3a2=6a4D．b3·b3=2b3

解析：（a5）2=a10.選A.

溫馨小提示：冪的運算性質及整式的運算是中考的必考知識點.正確理解冪的運算性質、乘法公式是解題的關鍵.注意避免出現a3·a5=a15，x16÷x4=x4，（x2）3=x5，（xy）2=xy2等錯誤.

考點11整式的化簡與求值

例11（2015年長沙卷）先化簡，再求值：（x+y）（x-y）-x（x+y）+2xy，其中x=（3-仔）0，y=2．

解析：（x+y）（x-y）-x（x+y）+2xy=x2-y2-x2-xy+2xy=xy-y2，

∵x=（3-仔）0=1，y=2，∴原式=2-4=-2．

溫馨小提示：整式的化簡與求值，常涉及單項式乘以單項式、平方差公式、完全平方公式以及整式的加減等.掌握乘法公式是解題的前提，用整體法求值常能減少運算量.

考點12與整式有關的規律探究性問題

例12（2015年山西卷）如圖3是一組有規律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成，第（1）個圖案有4個三角形，第（2）個圖案有7個三角形，第（3）個圖案有10個三角形……依此規律，第n個圖案有個三角形（用含n的代數式表示）.

圖3

解析：∵第（1）個圖案有3+1=4個三角形，

第（2）個圖案有3×2+1=7個三角形，

第（3）個圖案有3×3+1=10個三角形，

……

∴第n個圖案有3n+1個三角形．填3n+1．

溫馨小提示：從簡單的情形入手，隨著序號或編號的增加，分析后一個圖形與前一個圖形的變化情況，找出變化規律，從而推出一般性結論.

考點13因式分解

例13（1）（2015年寧夏卷）因式分解：x3-xy2=．

（2）（2015年宜賓卷）把代數式3x3原12x2+12x分解因式，結果正確的是（）．

A.3x（x2-4x+4）B.3x（x-4）2C.3x（x+2）（x-2）D.3x（x-2）2

解析：（1）x3-xy2=x（x2-y2）=x（x-y）（x+y）．

（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解.

原式=3x（x2-4x+4）=3x（x-2）2．選D.

溫馨小提示：因式分解的步驟是一提(提公因式)、二套(套公式)、三驗(檢驗是否分解徹底).套公式時要注意：若是兩項，一般用平方差公式；三項，一般用完全平方公式.

考點14分式有意義、無意義及分式的值為0的條件

A.x=-2B.x≠2C.x＞2D.x≠-2

（2）由分式的值為0得x2-5x+6=0，2x-6≠0.

由x2-5x+6=0，得x=2或x=3，由2x-6≠0，得x≠3．∴x=2.

溫馨小提示：（1）分式有意義的條件是分母不等于0.（2）分式無意義的條件是分母等于0.（3）分式的值為0的條件是分子為0，分母不為0.（4）分式為正數的條件是分子、分母同號.（5）分式為負數的條件是分子、分母異號.

考點15分式的化簡與求值

∵a與2、3構成△ABC的三邊，且a為整數，

∴1＜a＜5，即a=2，3，4，

當a=2或a=3時，原分式沒有意義，則當a=4時，原式=1．

溫馨小提示：正確化簡分式是解題的關鍵.求代數式的值有直接代入求值和整體代入求值兩種方法，解題要根據題目的條件選擇合適的方法.當未知數的值沒有明確給出時，所選取的值必須使原各分式都有意義，且除數不能為0.如本題，a不能取2和3.

考點16二次根式的概念，二次根式的性質

A.m＞原1B.m≥原1

C.m＞原1且m≠1D.m≥原1且m≠1

A.1B.-1C.2a-3D.3-2a

（2）當1＜a＜2時，a-2＜0，1-a＜0，

溫馨小提示：（1）確定被開方數中字母的取值范圍，可根據式子有意義的條件a≥0，解不等式即可.當有兩個二次根式，兩個二次根式都要有意義；分母中有字母時，還要考慮分母不等于零.這些情況需列出不等式組求解.（2）在化簡時，要先判斷a的符號，再去根號，特別地，當a＜0時，它等于原a，不是a.

考點17二次根式的計算

溫馨小提示：在二次根式的運算或化簡中，乘法公式、因式分解等法則、方法均可使用.

責任編輯：王二喜