第三講函數及其圖像

文/王友峰

第三講函數及其圖像

文/王友峰

函數及其圖像是初中數學的核心知識，是中考的重點，現以2015年中考題為例，把常考的知識點歸納如下，供你復習時參考．

考點1直角坐標系與點的坐標特征

例1（1）（2015年威海卷）若點A（a+1，b-2）在第二象限，則點B（-a，b+1）在（）．

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2）（2015年南京卷）在平面直角坐標系中，點A的坐標是（2，-3），作點A關于x軸的對稱點，得到點A憶，再作點A憶關于y軸的對稱點，得到點A義，則點A義的坐標是（，）．

解析：（1）由A（a+1，b-2）在第二象限，得a+1＜0，b-2＞0，即a＜-1，b＞2．

由不等式的性質，得-a＞1，b+1＞3，∴點B（-a，b+1）在第一象限．選A．

（2）∵點A（2，-3），∴A憶（2，3），點A憶關于y軸的對稱點A義為（-2，3）．

溫馨小提示：解決這類問題的關鍵是掌握點所在象限（或坐標軸）的對應關系以及對稱點的坐標特征.

考點2確定函數自變量的取值范圍

解得x≥-1且x≠0．

溫馨小提示：求函數自變量的取值范圍要注意：（1）分母不能為0；（2）偶次根式的被開方數必須非負；（3）零指數或負整數指數冪的底數不能為0；（4）自變量的取值不能使實際問題失去意義.當函數關系式同時有幾種形式出現時，先求出各代數式中的取值范圍，再取其公共部分，公共部分就是自變量的取值范圍.此外，要注意“或”與“且”的區別.

考點3用函數圖像描述有關信息

例3（2015年聊城卷）小亮家與姥姥家相距24km，小亮8∶00從家出發，騎自行車去姥姥家．媽媽8∶30從家出發，乘車沿相同路線去姥姥家．在同一直角坐標系中，小亮和媽媽的行進路程S（km）與北京時間t（時）的函數圖像如圖1所示．

圖1

根據圖像得到下列結論，其中錯誤的是（）．

A．小亮騎自行車的平均速度是12km/h

B．媽媽比小亮提前0.5小時到達姥姥家

C．媽媽在距家12km處追上小亮

D．9：30媽媽追上小亮

解析：從圖像可知，小亮去姥姥家所用時間為10-8=2小時，24÷2=12（km/h），故結論A正確；媽媽到姥姥家的時刻t=9.5，小亮到姥姥家的時刻t=10，10-9.5=0.5（小時），故結論B正確；當t=9時，媽媽追上小亮，此時小亮離家的時間為9-8=1小時，∴小亮走的路程為1×12=12km，∴媽媽在距家12km處追上小亮，故結論C正確；當t=9時，媽媽追上小亮，故結論D錯誤．選D．

溫馨小提示：利用函數圖像描述實際問題，需要正確理解函數圖像橫、縱坐標表示的意義和函數圖像的走向.解答與日常生活相關的問題，要充分利用生活經驗來幫助思考.

考點4一次函數的圖像及其性質

解析：方法1（推理法）：由k-1≥0且k-1≠0，得到k＞1，∴k-1＞0，1-k＜0，

∴圖像經過第一、三、四象限.選A．

方法2（特值法）：由k-1≥0且k-1≠0，得到k＞1，取一個滿足要求的k值代入，如取k=2，則y=x-1，作出草圖可知其圖像經過第一、三、四象限．選A．

溫馨小提示：一次函數y越kx垣b（k≠0）中k、b的符號決定圖像的位置，當k＞0，b＞0時，圖像經過第一、二、三象限；當k＞0，b＜0時，圖像經過第一、三、四象限；當k＜0，b＞0時，圖像經過第一、二、四象限；當k＜0，b＜0時，圖像經過第二、三、四象限.對于含字母的函數圖像識別問題，可以運用推理的方法，也可以借助特殊值來確定答案.

考點5反比例函數的圖像及其性質

例5（2015年永州卷）已知點A（-1,y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函數y越（k＞0）的圖像上，則（填y1，y2，y3）.

解析：∵點A(原1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在y越上，

∴y1=-k，y2=k，y3=，∵k＞0，

溫馨小提示：比較反比例函數圖像上點的縱坐標的大小問題，要分同一象限和不同象限內的點分別比較，同一象限內的點可根據增減性比較大小，不同象限的點可根據縱坐標的正負性進行比較.

考點6反比例函數k的幾何意義

例6（2015年日照卷）如圖2，在平面直角坐標系中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正方形，點云在x軸的正半軸上，點悅在邊DE上，反比例函數y越（k≠0，x＞0）的圖像過點B、E，若AB越2，則k的值為

解析：設耘（a，a），

∵四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正方形，AB越2，

∴B（2，a+2），

圖2

圖3

溫馨小提示：如圖3，S矩形PMON=渣k渣；S△OEF=EF·OF=這是雙曲線的兩個重要性質，它可巧解與雙曲線上的點有關的面積問題.

考點7二次函數的圖像及其性質

圖4

例7（2015年濰坊卷）已知二次函數y=ax2+bx+c+2的圖像如圖4所示，頂點為（-1，0），下列結論：①abc＜0；②b2-4ac=0；③a＞2；④4a-2b+c＞0．其中正確結論的個數是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析：∵拋物線開口向上，∴a＞0，

∵對稱軸在y軸左邊，亦b＞0，

∵拋物線與y軸的交點在（0，2）的上方，

∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴結論①不正確；

∵拋物線與x軸只有一個交點，∴Δ=0，即b2-4a（c+2）=0，b2-4ac-8a=0，

∴b2-4ac＞0，∴結論②不正確；

∴4a2-8a＞0，即a＞2，結論③正確；

∵對稱軸是x=-1，而且當x=0時，y＞2，∴當x=-2時，y＞2，

∴4a-2b+c+2＞2，∴4a-2b+c＞0．∴結論④正確．選B．

考點8求函數解析式

故兩個函數分別為y=

溫馨小提示：用待定系數法求函數解析式是最常用的方法，根據已知條件靈活選擇解析式是解題的關鍵.

考點9圖像的平移

例9（2015年荊州卷）將拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后，得到的拋物線的解析式為（）．

A.y=（x-1）2+4B.y=（x-4）2+4C.y=（x+2）2+6D.y=（x-4）2+6

解析：∵y越x2-2x垣3越（x原1）2+2，

∴平移后的解析式是y越（x原1-3）2+2+2=（x-4）2+4．選B.

溫馨小提示：二次函數圖像的平移，實質上是頂點坐標的平移，只要確定平移前后的頂點坐標，就可以寫出平移后拋物線的解析式.平移具有如下規律：左、右平移是橫坐標變化，左移加，右移減；上、下平移是縱坐標變化，上移加，下移減.

考點10函數的應用

例10（2015年襄陽卷）為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節”來臨前夕，購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，超市規定每盒售價不得少于45元.根據以往銷售經驗發現：當售價定為每盒45元時，每天可賣出700盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒.

（1）試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數關系式；

（2）當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P(元)最大？最大利潤是多少？

（3）為穩定物價，有關管理部門限定：這種粽子的每盒售價不得高于58元.

如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么每天至少銷售粽子多少盒？

解析：（1）y=700-20（x-45）=-20x+1600；

（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000，

∵x≥45，a=-20＜0，∴當x=60時，P有最大值，最大值為8000元.

即當每盒售價定為60元時，每天銷售的利潤最大，最大利潤為8000元.

（3）由題意，得-20（x-60）2+8000=6000，解這個方程得x1=50，x2=70.

∵拋物線P=-20（x-60）2+8000的開口向下，

∴當50≤x≤70時，每天銷售粽子的利潤不低于6000元.

又∵x≤58，∴50≤x≤58.

在y=-20x+1600中，k=-20＜0，

∴y隨x的增大而減小，∴當x=58時，y有最小值，

最小值y=-20×58+1600=440.即超市每天至少銷售粽子440盒.

溫馨小提示：由“利潤=（售價-進價）×售量”建立函數關系式，再利用二次函數的性質、一次函數的增減性以及一元二次方程求解.利用一次函數的性質解決實際問題時，常常需要利用方程（組）或不等式等知識.解決這類最值問題時，要建立相關的函數解析式，應用函數性質得到答案.

責任編輯：王二喜