函數y=Asin（ωx+φ）的圖像及性質

岳峻

函數y=Asin（ωx+φ）的圖像問題有三種類型：描點畫圖（五點法）、圖像變換法（平移、伸縮、對稱）及圖像應用，特別是圖像的平移與伸縮變換，是高考常見的題型。由于三角函數的性質蘊含在其圖像中，我們在學習時須充分運用數形結合的思想，正確地讀圖、識圖、析圖、用圖，把圖像和性質結合起來，并會靈活運用。

一、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的物理意義

當函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），x∈[0，+∞）表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為振動的振幅；往復振動一次所需要的時間T=叫作振動的周期；單位時間內往復振動的次數f==叫作振動的頻率；ωx+φ叫作相位，當x=0時的相位φ叫作初相。

例1 函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的部分圖像如右圖所示，則函數f（x）的解析式為 。

解析 由圖像知f（x）的最小正周期為

T=2-=π，故ω=2；

又A=2，所以f（x）=2sin（2x+φ）。

因為x=時，2sin（2x+φ）=2，

即2x+φ=？圳2×+φ=？圯φ=。

所以f（x）=2sin2x+。

點評 由函數圖像確定函數解析式的關鍵是要善于從圖像中觀察得到一些有用的數據，如圖像經過的點、最值等。一般來說，對于函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0），A可由圖像的最高點的縱坐標或最低點縱坐標的絕對值來確定；ω可通過函數的周期T=來確定；φ可以用代入法來確定，即把一個點（最好選取圖像的最高點或最低點）的坐標代入函數解析式求解而得。

二、三角函數的圖像變換

例2 將函數y=sin2x-圖像上的點P，t向左平移s（s>0）個單位長度得到點P′，若P′位于函數y=sin2x的圖像上，則（ ）。

A.t=，s的最小值為？搖？搖？搖 B.t=，s的最小值為

C.t=，s的最小值為？搖？搖？搖 D.t=，s的最小值為

解析 因為點P，t在函數y=sin2x-的圖像上，

所以t=sin=；

因為P′-s，位于函數y=sin2x的圖像上，

所以=sin2-s=cos2s，

所以s的最小值為。故選A。

點評 一般來說，函數y=sin（ωx+φ）（ω>0）的圖像，可以將正弦曲線y=sinx上所有的點向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|個單位長度（得y=sin（x+φ）的圖像），再把所得各點的橫坐標變為原來的得到；也可以將正弦曲線y=sinx上所有的點的橫坐標變為原來的（得y=sinωx的圖像），再把所得各點向左（φ>0）或向右（φ<0）平移個單位長度得到。特別注意：必須分清是先相位變換后周期變換，還是先周期變換后相位變換。

三、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的單調性

例3 函數f（x）=sin-x，則函數f（x）的單調遞增區間為 。

解析 變形得f（x）=-sinx-。

函數f（x）=sin-x單調遞增，則函數g（x）=sinx-單調遞減，

所以2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），即2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z）。

所以函數f（x）=sin-x的單調遞增區間為2kπ+，2kπ+（k∈Z）。

點評 此類問題屬易錯題。正確解法是借助誘導公式轉化后求解，或利用復合函數的單調性規律求解。

四、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的對稱性

例4 我們把函數f（x）的圖像與直線x=a、x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數f（x）在[a，b]上的面積，已知函數f（x）=sinnx在0，上的面積為（n∈N）。

（1）f（x）=sin3x在0，上的面積為 。

（2）f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面積為 。

解析 （1）因為函數f（x）=sinnx在0，上的面積為（n∈N），

所以f（x）=sin3x在0，上的面積為。

又f（x）=sin3x關于點，0對稱，

所以f（x）=sin3x在，上的面積等于它在0，上的面積。

故f（x）=sin3x在0，上的面積為。

（2）f（x）=sin（3x-π）+1的圖像如右圖所示。

根據對稱性可知每一個陰影區域的面積都相等，都等于y=sin3x在0，上的面積為，

所以f（x）=sin（3x-π）+1在，上的面積等于1個陰影區域與矩形ABCD的面積之和，即+π（區域④補形到區域③中）。

點評 本題是一道很好的理性思維信息開放性定義型創新題。我們要知道：函數f（x）=Asin（ωx+φ）+b的對稱軸為x=，對稱中心為，b。

五、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的奇偶性

例5 求函數f（x）=sin（x-θ）（θ為參數）的奇偶性。

解析 令f（-x）=f（x），則sin（-x-θ）=sin（x-θ），

此時-x-θ=2kπ+x-θ（k∈Z）或-x-θ=2kπ+π-（x-θ）（k∈Z），

亦即θ∈？芰或θ=kπ+（k∈Z），

所以當θ=kπ+（k∈Z）時，函數f（x）=sin（x-θ）（θ為參數）是偶函數；

同理，當θ=kπ（k∈Z）時，函數f（x）=sin（x-θ）（θ為參數）是奇函數。

綜上，當θ=kπ-（k∈Z）時，函數f（x）=sin（x-θ）（θ為參數）是偶函數；

當θ=kπ（k∈Z）時，函數f（x）=sin（x-θ）（θ為參數）是奇函數；

當θ≠kπ（k∈Z）時，函數f（x）=sin（x-θ）（θ為參數）是非奇非偶函數。

點評 f（x）是偶函數？圳f（-x）=f（x）；f（x）是奇函數？圳f（-x）=-f（x）。探討含有參數的函數的奇偶性可以利用該性質。

六、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的周期性

例6 設函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數，A>0，ω>0）。若f（x）在區間，上具有單調性，且f=f=-f，則f（x）的最小正周期為 。

解析 結合函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像特征可知，

因為f=f，所以x=，

即x=為f（x）圖像的對稱軸。

因為f=-f，所以，0，

即，0為f（x）圖像的對稱中心。

又f（x）在區間，上具有單調性，

所以，0是與對稱軸x=相鄰的對稱中心，

所以最小正周期為4-=π。

點評 函數f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期為T=，正確地讀圖、識圖、析圖、用圖是研究函數f（x）=Asin（ωx+φ）的性質的基礎。

七、函數f（x）=Asin（ωx+φ）的最值

例7 已知函數f（x）=sinx。若存在x，x，…，x（m≥2，m∈N）滿足0≤x

解析 因為對任意的x，xi+1（i=1，2，…，m-1），|f（xi）-f（xi+1）|≤f（x）-f（x）=2，

欲使m取最小值，應盡可能多地讓x（i=1，2，…，m）取最值點。

因為0≤x

|f（x）-f（x）|+|f（x）-f（x）|+…+|f（x）-f（x）|=12，

所以按照下圖所示取值即可滿足條件。

所以m的最小值為8。

點評 一般來說，函數f（x）=asinx+b的值域為[-|a|+b，|a|+b]，函數f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A>0）的最小值為-A+b，最大值為A+b。