狀態反饋事件觸發控制系統的分析與設計

李國梁,張合新,周鑫,扈曉翔,惠俊軍

(1.第二炮兵工程大學控制工程系,710025,西安;2.寶雞市150信箱11分箱,721013,陜西寶雞)

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狀態反饋事件觸發控制系統的分析與設計

李國梁1,張合新1,周鑫1,扈曉翔1,惠俊軍2

(1.第二炮兵工程大學控制工程系,710025,西安;2.寶雞市150信箱11分箱,721013,陜西寶雞)

針對線性系統狀態反饋事件觸發控制在工程應用中僅使用單一動態門限或靜態門限存在Zeno現象的缺點,提出了動靜門限相結合的事件觸發機制。將閉環控制系統建模為脈沖系統模型,應用脈沖系統理論,導出了確保控制系統穩定的觸發機制參數確定定理,得到了便于實現觸發機制門限參數設計的線性矩陣不等式條件。針對確保系統穩定的觸發機制門限參數可在一個區間內選擇的特點和靜態門限分量大小影響系統穩態區域大小的特點,進一步提出了變門限觸發機制,可使系統在穩態情況下自動將靜態門限分量減小,顯著減小穩定區域,提升事件觸發控制的穩態性能,從而可實現精確控制。定量仿真表明,變門限觸發機制可以在通信資源消耗量幾乎相同的情況下將穩態范圍縮小到固定門限方法的12.3%。

數字控制系統;狀態反饋;事件觸發控制;觸發機制;變門限

隨著網絡通信技術的飛速發展,基于共享通信網絡構成的數字控制系統在工程中的應用越來越普及,如飛行器、艦船和列車[1]等的控制系統。在通常情況下,這類系統中的控制任務是周期性執行的,這便于在系統的分析和設計過程中采用相對成熟的采樣數據系統理論[2]。從通信和計算資源的利用角度來看,周期抽樣存在著浪費資源的弊端,而在網絡控制系統中,網絡通信資源又十分珍貴,尤其在無線網絡控制或系統較為龐大時,這一弊端顯得更為突出。為了克服這一弊端,研究人員提出了事件觸發控制(event-triggered control, ETC)方法[3]。在事件觸發控制中,控制任務的執行由精心設計的事件觸發機制決定,當觸發機制發出事件后才執行控制任務。作為一類新的控制方法,應用中面臨的困難主要集中在觸發機制設計和系統分析2個方面。基于狀態反饋的事件觸發控制由于其易于分析的特點,首先受到了研究人員的青睞[4-9]。文獻[4]采用的實質上是一種基于狀態本身的固定門限觸發機制,這類方法的缺點是當系統狀態處于不穩定區間外時,易產生Zeno現象;文獻[5-6]采用的是基于被控對象狀態當前采樣值和先前采樣值之間絕對偏差的靜態門限觸發機制,對于這一類觸發機制,當門限設計較大時,控制中的事件數目可以明顯減少,但系統只能夠穩定在一個比較大的范圍內,而當門限設計較小時,事件數目增多,特別是系統動態變化比較劇烈時,也易產生Zeno現象;文獻[7-8]采用的是一種動態門限觸發機制,控制中動態跟隨能力比較強,但是當系統狀態接近原點時,門限可能變得非常小,易產生Zeno現象。對于事件觸發控制系統的分析,常用的方法有受擾系統方法、脈沖系統方法和PWL方法3種。從所得結論的保守性角度來講,受擾系統方法相對保守,另外2種方法的保守性較低。但是,以往這些研究成果均是針對單一靜態門限或動態門限觸發機制得出的,并沒有考慮如何克服狀態反饋事件觸發的Zeno現象問題。脈沖系統方法用于建模和分析事件觸發控制問題時,能夠直觀刻畫事件觸發瞬間信號突變的脈沖特性,此外,脈沖系統方法還具有研究成果相對完善[9-10]的優勢。

鑒于以上分析,本文針對線性時不變(LTI)被控對象,受文獻[11]的啟發,采用了一種結合動態門限和靜態門限的事件觸發機制來克服控制可能產生Zeno現象的問題,然后利用脈沖系統理論研究控制系統的穩定性和觸發機制門限參數的選取問題,在此基礎上提出了能夠自適應調整靜態門限參數的變門限觸發機制來提高系統的穩態控制性能。

1 問題描述

1.1 事件觸發控制系統描述

考慮如下線性時不變(LTI)被控對象

(1)

式中:A和B分別是系統矩陣和輸入矩陣;x∈Rn為被控對象的狀態向量;u∈Rn為控制輸入向量。如果采用如下連續狀態反饋控制器

u=Kx

(2)

則閉環系統會漸近穩定,也就是A+BK為Hurwitz矩陣,其中K為狀態反饋矩陣。

采用事件觸發控制方法,輸入控制器的狀態只有事件發生時刻的采樣值,這樣系統的實際控制輸入為

(3)

(4)

有緊密關系。

靜態門限觸發機制[5]是

(5)

動態門限觸發機制[7]是

(6)

通過前面的分析可知,式(5)、式(6)2種觸發機制在實際應用中均存在缺點。本文采用的動靜相結合的觸發機制形式為

(7)

式中:σ和ε是觸發機制的動態門限參數和靜態門限參數,均為正實數。本文把σ‖x(t)‖稱為動態門限分量,ε也可稱為靜態門限分量。可以看出,式(7)的觸發機制實際上是式(5)、式(6)2種形式的結合,當σ取0時式(7)就退化為式(5)的形式,而當ε取0時式(7)就退化為式(6)的形式。直觀地看,式(7)的觸發機制在系統狀態變化比較劇烈時有動態分量可以避免Zeno現象,而在系統狀態接近平衡點時有靜態分量可以克服Zeno現象。

1.2 相關知識

脈沖系統數學模型[9]如下

(8)

式中:x∈RX?Rn為脈沖系統狀態向量;RF∈Rn為流集;RD?Rn為脈沖跳躍集;系統的整個狀態集RX=RF∪RD。

本文的目的是解決如下2個問題。

問題1:針對式(1)、式(3)和式(7)所描述的事件觸發控制系統,如何建模為式(6)的脈沖系統形式,如何選取保證系統穩定的參數σ和ε?

問題2:ε的取值對系統的最終穩定區域有明顯影響,如何改進?

2 系統建模

依據式(3)可知:當‖e(t)‖2≤σ‖x(t)‖2+ε成立時,系統工作在連續時間狀態,對應的狀態屬于流集;當‖e(t)‖2=σ‖x(t)‖2+ε時事件發生,即此時狀態要發生跳變,對應的狀態屬于跳變集。因此,可以定義如下的流集和跳變集

(9)

當系統觸發條件不滿足,即系統狀態屬于流集RF時,系統狀態的演化規律如下

(10)

(tk,tk+1]

(11)

而在事件觸發時刻要發生狀態更新,系統狀態發生跳變,此時狀態演化規則為

(12)

(13)

合并以上4式,形成如下事件觸發脈沖系統模型

(14)

3 系統穩定結論

定理1 事件觸發脈沖系統式(14)對所有的初始條件x0∈RF∪RD全局漸近穩定的條件是:存在連續可微函數V(x):R2n→R,且滿足V(0)=0,存在正值函數s1(x)和s2(x),存在函數s3(x),對所有的x∈R2n{0}滿足

(15)

(16)

(17)

定理2 事件觸發脈沖系統式(14)對所有的初始條件x0∈RF∪RD全局漸近穩定的條件是:存在正定矩陣P、標量v1≥0、v2≥0和v3,滿足

(18)

(19)

(20)

證明 定義V(x)=xTPx,s1(x)=v1≥0,s2(x)=v2≥0,s3(x)=v3,則可由定理1中式(15)～式(17)的形式得到定理2中式(18)～式(20)的形式。證畢。

注:通過不斷調整σ和ε的取值,考察定理2中線性矩陣不等式的可行解問題,即可得到保證系統穩定的事件觸發機制門限參數。

（1）地方建設主管行政部門，作為對工程建設招投標活動的行政管理部門，本應嚴格執法，按規定程序辦事。但由于種種原因，有些地方大搞地方和部門保護主義，設置各種障礙。有些部門仍然習慣于行政審批，對項目招投標活動的監管、指導和服務明顯不夠，害了建設單位的招標自主權。有些部門和地方行政領導通過打招呼、遞條子等方式，嚴重干擾了正常的招投標活動。

推論1 如果存在正定矩陣P=P0,且標量v1≥0、v2≥0、v3、σ=σ0>0和ε=ε0>0滿足式(18)～式(20),則在0<ε≤ε0、0<σ≤σ0的情況下,事件觸發控制系統式(14)對所有的初始條件x0∈RF∪RD全局漸近穩定。

證明 因為0<σ≤σ0,則有

又因0<ε≤ε0,則有

FTP+PF-v2(Γ-εI)≤FTP+PF-

此外,又因ε>0,則必然存在標量v4滿足v4(Γ-εI)≤v3(Γ0-ε0I),因此有

GTPG-P+v4(Γ-εI)≤GTPG-P+

依據定理2可得系統穩定的結論。證畢。

4 改進的觸發機制

依據推論1,當選定能夠使系統穩定的觸發機制參數σ=σ0>0和ε=ε0>0后,ε在(0,ε0]范圍內任意取值時均能夠保證系統穩定。由前文分析可知,ε的取值直接影響最終穩定區域的大小。在實際控制中期望系統的最終穩定區域越小越好,因為這意味著控制越精準,因此要求ε的取值越小越好,但這可能會導致事件的頻繁觸發和Zeno現象的發生。為了科學合理地實現精準控制而又同時避免事件的頻繁觸發,提出如下變門限觸發機制。

除t0=0時刻外,其他事件觸發時刻的觸發條件描述如下:

當觸發條件式(7)滿足并且觸發時間間隔Tact滿足Tmin≤Tact

(21)

門限變化的規則是:如果有連續N次Tact=Tminand ‖e(t)‖≥σ‖x(t)‖+ε,則靜態門限ε增大,但ε最大取值為ε0,具體方法可以采用增量遞增方法(ε=ε+hε)或者倍增方法(ε=2ε);如果有連續N次Tact=Tmaxandε>0,則靜態門限減小,但ε的最小取值要大于0,具體可以采用增量遞減方法(ε=ε-hε)或者倍減方法(ε=ε/2)。其中:hε為門限變化增量;Tmin為系統所允許的最小觸發時間間隔,取值受到控制系統通信網絡傳輸能力(如網絡幀頻率)的限制;Tmax是設置的最大觸發時間間隔,目的一是輔助實現靜態門限的自適應減小,二是避免長時間無事件發生,致使通信網絡過分閑置,從而產生通信疲勞、失去同步等現象。

依據推論1,顯然觸發機制式(21)能夠確保系統的穩定性。

5 示例仿真

考慮形如式(1)和式(2)的線性系統,其中的相關矩陣取值如下

仿真1 仿真目的是驗證定理2的正確性以及觸發條件式(7)的有效性。

仿真結果:依據定理2可得表1所示的5組能夠保證采用觸發條件式(7)使得系統穩定的觸發條件參數。從表中可以看出,在保證系統穩定的參數選擇結果中,參數σ和ε之間存在某種權衡關系,即在σ取值較大時ε取值相應較小,這樣才能確保系統穩定,反之亦然。

表1 確保系統穩定的觸發條件參數σ和ε的取值

將σ=0.110 1和ε=0.005代入觸發機制式(7),令初始狀態x0=[3-3],所得的狀態演化曲線如圖1所示。顯然,圖中的狀態曲線是收斂的,也就是說系統是漸近穩定的,這證實了定理2的正確性。

圖1 事件觸發控制狀態演化曲線

仿真2 仿真目的是分析變門限觸發機制的有效性。仿真中初始狀態設為x0=[3 -3],相關仿真參數為:σ=0.110 1,ε0=0.005,Tmin=0.1,Tmax=1。

仿真所得變門限事件觸發控制狀態演化曲線如圖2所示,觸發機制的靜態門限參數ε的變化如圖3所示。可以看出,隨著系統趨于穩態,靜態門限參數在逐漸變小。對比圖2和圖1可以看出,變門限觸發控制的穩態波動明顯小于固定門限方法的波動。

從表2中可以看出,固定門限方法對于各組觸發機制門限參數所得的平均采樣間隔hmean和最小采樣間隔hmin基本相差無幾,也就是說參數σ和ε之間的權衡關系能夠反映在控制系統采樣間隔方面,但是每種觸發機制所得的穩態性能指標J卻明顯不同,顯然J和觸發機制的靜態分量ε存在正向對應關系,這也驗證了前文的分析結論。

變門限方法對于各組觸發機制門限參數所得的平均采樣間隔hmean與固定門限方法相比改善并不明顯,但對穩態性能指標J的改善非常顯著,特別是在靜態門限參數取值比較大的時候。這說明,變門限方法可以在通信資源消耗量基本相同的情況下獲得更好的穩態性能。本算例中變門限方法在最佳情況下可以將穩態范圍縮小到固定門限方法的12.3%。

圖2 變門限事件觸發控制狀態演化曲線

圖3 事件觸發門限參數ε的變化曲線

σε·ε-10固定門限方法hmeanhminJ變門限方法hmeanJdJ/%0.11560.00010.37970.07570.07810.39470.070089.60.11460.00100.56600.07600.25980.44780.056921.90.11010.00500.51720.07750.57760.46150.079113.70.10450.01000.50850.07900.76570.47620.127316.60.05990.05000.50000.08791.56970.49180.193112.3

6 總 結

線性系統狀態反饋事件觸發控制中僅采用單一靜態門限或動態門限容易產生Zeno現象,而采用動靜混合門限觸發機制能夠有效克服這一現象。將系統建模為一個脈沖系統模型,利用脈沖系統理論可以實現系統分析和觸發機制的設計。進一步分析發現,確保系統穩定的參數可在一個區間內選擇,靜態門限分量對控制系統穩態區域的大小影響非常顯著,采用本文提出的變門限的觸發機制,可使系統在穩態情況下自動將靜態門限分量減小,從而使系統穩定在更小的穩態區域,實現更為精確的控制。本文方法對設計通信資源緊缺情況下的精確數字控制系統具有一定的參考價值。下一步的研究工作將主要集中于具體應用,如在飛行器控制中的應用。

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(編輯 葛趙青)

Stability Analysis and Design of a State-Feedback Event-Triggered Control System

LI Guoliang1,ZHANG Hexin1,ZHOU Xin1,HU Xiaoxiang1,HUI Junjun2

(1. Department of Control Engineering, Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China; 2. Mail Box 150 Extension 11, Baoji, Shaanxi 721013, China)

In practical engineering systems, event-triggered control only using dynamic or static threshold may cause Zeno behavior. In order to avoid the Zeno behavior, an event-triggering mechanism composed of static and dynamic threshold is proposed. The event-triggered control system is modelled in the form of impulsive system. Impulsive system theory is employed to deduce the stability theorem, which can be used to determine the parameters of event-triggering mechanism, and also a useful linear matrix inequality (LMI) form is given. Based on the characteristics of the event-triggering mechanism and relationship between the static threshold and steady state performance, a variable threshold event-triggering mechanism is proposed. When the system works in a steady state, this mechanism can decrease the static threshold automatically to reduce the steady state region and improve the steady state performance, which means the mechanism can be used in high-accuracy control. Quantitative simulation results show that, compared with the fixed threshold event-triggering mechanism, this variable threshold event-triggering mechanism can reduce the steady state region to 12.3 percent with the same consumption of communication resources.

digital control system; state-feedback; event-triggered control; event-triggering mechanism; variable threshold

10.7652/xjtuxb201605022

2015-10-12。 作者簡介:李國梁(1981—),男,博士生;張合新(通信作者),男,教授。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(61304001,61304239)。

TP273

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0253-987X(2016)05-0146-05