基于變分偏微分方程圖像修復技術研究

徐黎明，吳亞娟，劉航江

(西華師范大學a.計算機學院；b.生命科學學院，四川 南充 637009)

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基于變分偏微分方程圖像修復技術研究

徐黎明a，吳亞娟a，劉航江b

(西華師范大學a.計算機學院；b.生命科學學院，四川 南充 637009)

文章闡釋了幾種經典、常用的修復方式：全變分模型(Total Variation，TV)及改進模型和p-Harmonic模型。上述的某一種方法都有局限性，在實際應用中都存在問題。故將兩種方法結合，形成一種新的混合模型。根據P值的范圍，通過實驗確定模型中利于修復的p值，再比較分析新的模型優于TV模型和p-Harmonic模型。

修復模型； 全變分； 偏微分方程； 評估標準

圖像修復是數字圖像處理研究領域內的重要分支，旨在修復圖像中部分遺失、破損的區域，以恢復丟失的信息，最早用于歐洲文藝復興時期對美術作品的修復工作。圖像修復就是對圖像上信息缺失的損毀區域按照一定的規律進行填充的過程，可以用于修復老、舊照片中丟失、破損的信息，去除視頻文字，隱藏圖片、視頻的錯誤信息。從數學角度出發，圖像修復就是依據空白區域周圍的信息，按照某種規律將圖像逐步添入到空白區域中，以彌補視覺的中斷。

1 圖像基礎及效果評估

引起圖像缺失的原因有很多，例如：圖像受到污損，傳感器等設備問題，掃描原本缺失或破損的圖像，在圖像獲取、傳輸、壓縮、解壓等過程中因信息丟失造成圖像缺損等。因此，在了解圖像缺失原因基礎上，通過建立退化模型實現圖像修復是最常用的手段之一[1]。

圖像處理后需要標準來衡量[1]修復效果，評價圖像修復效果一般分為主觀評價和客觀評價。主觀評價是人體視覺直觀的感受行為，不同的個體對圖像修復的結果有不同的感受，而且一些微小的細節部分并不能靠眼睛就能觀測出來，所以這樣的評價可能得到不同的答案。客觀評價主要將結果數字化，用數學方法對修復效果進行衡量，避免個體差異導致評價差別。峰值信噪比測度(PSNR)是評價圖像修復結果的參數之一，也是應用比較廣泛和權威的數學方法。文章實驗結果的客觀評估方式采用的是PSNR值測度。事實上，客觀方法計算出來的測度很多時候都與人眼觀察的結果或者期望不符。如圖1所示，修復后得到的PSNR值較高，為71.3124DB，但主觀感受極為不佳。所以判定修復效果應當主觀感受結合客觀方法。

2 TV模型

TV模型[2](Total Variation)最早由Rudin等人在圖像復原問題的研究中提出來，其思想在于將二維圖像看成一個分段平滑函數，于有界變分空間(Bounded Variation)中對圖像建模。后Tony Chan等人[3-5]將此模型應用于圖像修復，提出的TV圖像修復模型為：

(1)

(2)

求解式(1)中的最小值就可以轉化為求解式(2)的偏微分方程。引入一個時間變量t，利用最速下降法來求解。其表達式為：

(3)

根據高斯-雅克比迭代，待修復點O的像素值迭代公式為：

(4)

3 改進的TV模型及p-Harmonic修復模型

TV模型本身因為正則化項約束太強，迭代過程又是各向異性擴散的過程，容易在平坦區域出現階梯效應且擴散效率低下。有學者[10]提出改進的TV模型，旨在解決TV模型單一的擴散方式[11]造成的問題。改進的TV模型思想在于：在圖像特征明顯的區域(如邊緣區域)放慢迭代速度；圖像特征不明顯的區域(如平滑區域)加快修復的迭代速度。

本文在文獻[11]算法基礎上改進，得到TV模型的Euler-Lagrange方程表達式為：

(5)

g(|▽M|)定義為擴散函數，控制擴散形式；m為梯度門限；|▽M|為梯度模值[1](文章采用Sobel算子計算像素點的梯度模值)。為解決待修復圖像在平坦區域因鄰域信息擴散問題而產生的梯度效應，還有學者提出p-Harmonic修復模型[12]，表達式為：

(6)

在圖像修復過程中，圖像往往含有噪聲。設u0為白色加型噪聲，修復模型的表達式可表示為：

(7)

p為一固定的常數。

當p=1時，p-Harmonic模型等價于TV模型；當1

p-H修復模型也可通過偏微分方程來實現，在圖像坐標系中，目標像素的四鄰域點利用逼近原理可得：

(8)

根據高斯-雅克比迭代得出：

(9)

4 基于偏微分方程的混合模型

單一的TV模型或者p-Harmonic修復模型都有本身的局限性，最理想的方法就是既能在處理邊緣信息時保護好圖像的邊緣信息，又能在圖像的平坦區域得到理想的擴散。文章將改進TV模型與p-Harmonic模型結合起來，通過實驗確定利于圖像修復的p值和梯度門限，保留兩種模型的優點，形成混合模型(以下簡稱P-T模型)。表達式如下：

(10)

該模型的Euler-Lagrange方程為：

k為混合模型中的控制參數，用于控制等照度線的切線方向及垂直方向的擴散系數。圖像的破損區域，擴散系數往往不同，故可以通過調整參數k，讓混合模型以怎樣的修復形式修復圖像，以達到較為理想的修復效果。控制參數K的計算如下：

(11)

(12)

化簡得：

(13)

表1 不同p值得到不同PSNR值

5 實驗結果及分析

實驗是在Inter(R) Core(TM) 3.30GHz/4GB/Windows 7/Matlab 7.0的環境中，對256×256像素的受損Lena圖片進行修復。首先利用實驗確定合適的p值。上述p-Harmonic修復模型提到，當1

表2 Lena圖片文字受損修復結果比較

迭代/次TV模型/DBP-H模型/DBP-T模型/DB10068.299767.883168.885430068.285367.876868.869450068.273267.874668.862480068.233867.876268.8621100068.202367.876268.8620

表3 Lena圖片劃痕受損修復結果比較

根據圖3、圖4、圖5、圖6和表2、表3的實驗數據，結果分析如下：

(1)PSNR值的差別對圖像的視覺效果影響很大。如圖3中后兩幅圖PSNR值相差約0.04DB，視覺效果卻相差很多；

(2)主觀感受。P-T模型的修復效果優于TV模型。TV模型在平坦區域采用單一的擴散方式，易產生梯度效應，影響修復效果。如圖5中第二幅圖，能明顯看到黑點；

(3)客觀評價。相同的迭代次數，P-T模型的PSNR值都要高于P-H模型的PSNR值。

因此，P-T模型無論是在視覺感受上，還是客觀評價上都要優于TV模型和P-H模型。但比較三種模型的迭代公式復雜度不難發現，P-T修復模型的迭代公式復雜度較高，P-T修復模型運行時間較長。例如，相同尺寸的受損文字Lena圖片，該模型迭代500次所花時間為107.6790s，相同情況下P-H模型和TV模型運行時間分別為：5.6320s和2.7460s。

6 結 語

本文在近年數字圖像修復技術相關文獻研究的基礎上，闡釋TV模型和P-H模型，分析單個模型的不足，后將兩種模型結合以增強修復的效果。混合模型既能夠保留TV模型處理并保護邊緣信息的特點，也能實現p-Harmonic模型在平坦區域實現各向同性擴散的優點，取得更好的修復結果，這是人們所期望的。

[1] RAFAEL G,RICHARD W.數字圖像處理(第三版)[M].阮秋琦等,譯,北京:電子工業出版社,2011.

[2] RUDIN L,OSHER S.Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J].Physics D,1992.9(1):259-268.

[3] CHAN T,SHEN J.Mathematical models for local non-texture inpainting[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2002,62(3):1019-1043.

[4] CHAN T,SHEN J.A good image model eases restoration[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,1992,60(4):259-268.

[5] CHAN T,SHEN J.Variational image inpainting[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2005,58(5):579-619.

[6] 老大中.變分法基礎(第三版)[M].北京:國防工業出版社,2015.

[7] 袁澤劍.一種非線性擴散濾波器的設計方法與應用[J].計算機學報,2002,25(10):1072-1076.

[8] PERONA P,MAKLIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(7):629-639.

[9] 何 坤,琚生根,林 濤，等.TV數值計算的圖像去噪[J].電子科技大學學報,2013,42(3):460-463.

[10] 王 濤,王軍鋒,白 青,等.改進的TV模型圖像修復算法[J].計算機系統應用,2013,31(4):776-779.

[11] 陳利霞,馮象初,王衛衛,等.加權變分的圖像去噪算法[J].系統工程與電子技術,2010,32(2):392-395.

[12] 吳亞東,張紅英,吳 斌.數字圖像修復技術[M].北京:科學出版社,2010.

Research on Image Restoration Technology by Total Variation and Partial Differential Equation

XU Liminga,WU Yajuana，LIU Hangjiangb

(a.College of Computer Science;b.College of Life Science,China West Normal University,Nanchong Sichuan 637009,China)

There are many image restoration methods,like model of the repair technology based on the geometric,texture of the repair technology and curvature driven diffusion.The method based on the partial differential equation is also a frequently-used way in that field.The paper explains several classical and commonly used methods including Total Variation model (TV model) and improved and p-Harmonic model.But one of the above mentioned methods has limitations in practice,so we combine the two methods and form a new hybrid model based on them.According to the range ofpvalue,we determine thepvalue of the model by experiments.The analysis shows the new model is better than the TV model and the p-Harmonic model.

repair model;total variation;partial derivative equation;evaluation criteria

1673-5072(2016)03-0343-06

2016-01-13 基金項目：西華師范大學科研啟動項目(11B026) 作者簡介：徐黎明(1991—)，四川攀枝花人，碩士研究生，主要從事圖像處理研究。 通訊作者：吳亞娟(1974—)，四川大竹人，博士，副教授，主要從事圖像處理和數值計算研究。E-mail： wuyajuan@cwnu.edu.cn

TP391.41

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.03.020