劍指圓錐曲線最值問題

■浙江省桐廬富春高級(jí)中學(xué)

張玉紅

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劍指圓錐曲線最值問題

■浙江省桐廬富春高級(jí)中學(xué)

張玉紅

圓錐曲線最值問題，歷來(lái)是高考常考題型。此類問題涉及知識(shí)面較廣，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)方法、不等式方法再進(jìn)行求解。下面舉例說(shuō)明。

一、利用定義，直奔主題

例1 已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-2,0)，F(xiàn)2(2，0)，雙曲線C上一點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于2。

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知定點(diǎn)G(1,2)，點(diǎn)D是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|DF1|+|DG|的最小值。

解析：(1)依題意，得雙曲線C的半實(shí)軸長(zhǎng)為a=1，半焦距為c=2。

(2)由已知得|DF1|-|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2。

所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2，當(dāng)且僅當(dāng)G、D、F2三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。

點(diǎn)評(píng)：利用雙曲線的定義，可以將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來(lái)處理。

二、函數(shù)思想，為你著想

圖1

(1)求曲線C的方程及t的值；

故拋物線C的方程為y2=x。

又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，所以t=1。

(2)由(1)知，點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,1)，從而n=m，即點(diǎn)Q(m，m)。

依題意知直線AB的斜率存在，且不為0。

設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)。

所以Δ=4m-4m2>0，y1+y2=2m，y1y2=2m2-m。

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)法是探求解析幾何最值問題的首選方法，主要涉及二次函數(shù)、無(wú)理函數(shù)等，可利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求出它的最值。

三、數(shù)形結(jié)合，立竿見影

圖2

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)形結(jié)合，挖掘數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何特征，并畫出圖形，從圖形中發(fā)現(xiàn)與圓錐曲線最值有關(guān)的信息，這類最值問題一般與曲線的切線有關(guān)。

四、三角換元，最值速現(xiàn)

(1)求x2+y2的最值；

(2)若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，求四邊形ABCD面積的最大值。

圖3

(2)如圖3所示，易知A(5,0)，C(0,4)。

所以點(diǎn)B到直線AC的距離為：

同理可得，點(diǎn)D到直線AC的距離d2滿足：

點(diǎn)評(píng)：三角換元的目的是把目標(biāo)函數(shù)中兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)角變量，從而把原問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的三角函數(shù)最值問題。

(責(zé)任編輯 徐利杰)