給策略創造自由生長的土壤
——《解決問題的策略》教學實錄

張齊華（特級教師）

一、問題解決，感受策略的多樣化

師：一到六年級，我們研究過哪些解決問題的策略？

生：有畫圖的策略、一一列舉的策略。

生：有運用綜合法、分析法解決問題的策略。

生：還有假設的策略、嘗試的策略。

師：的確，在解決較復雜的數學問題時，如果能夠選擇合適的策略，將給問題解決帶來很大的方便。今天這節課，我們就來綜合運用這些策略，靈活地解決下面的數學問題。

師：課前，大家已經運用各種策略，嘗試著解決了這一問題。下面，先請大家在小組內分享自己的解題思路。分享過程中，請大家著重關注一下，他在解決這一問題時，運用了哪些策略，這些策略對于解決問題有什么幫助。

師：接下來，我們將邀請學生代表，上臺展示自己解決問題的過程和解題策略。

生：我是這樣思考的，已知女生有27人，但女生對應的分率不知道，而男生人數占總人數的用就求到了女生所對應的分率，也就是女生占全班人數的所以求到總人數是45人，再用（人），求到男生有18人。

師：誰來評價一下他的解決思路與策略？

生：他是想辦法找到女生人數和對應的分率，然后再想辦法解決問題的。

師：尋找對應分率，是我們解決有關分數乘除法的實際問題的有效策略。還有不同的方法嗎？

生：我也是通過找對應分率來解決問題的。只不過，我在解決問題之前，畫了一幅線段圖，這樣看起來就更直觀清楚了。（出示下圖）

師：看來，畫圖的確可以幫助我們把數量關系梳理得更加清楚，解決問題也更加方便了。

師：他在解決這一問題時，使用了哪一條策略？

生：我覺得他使用了轉化的策略，他把分數問題轉化成“份數”問題，也就是整數問題來解決，這樣更方便。

生：我也是運用份數的思路來解決的，而且也畫了一幅圖，這樣理解起來也更方便一些。（出示下圖）

師：你在解決這一問題時，綜合運用了轉化與畫圖的策略，真棒！

生：我也是用轉化的策略，但我是把分數轉化成比來解決的。男生人數占總人數的說明男生人數與總人數的比是2：5，那么男生人數與女生人數的比就是 2：3，27÷3×2=18（人），所以，男生有18人。

師：比較一下這兩位同學的解題過程與策略，你發現了什么？

生：他們都運用了轉化的策略。

生：我發現，他們倆的策略本質上是一樣的。比也好、份數也好，其實都是將分數問題轉化成了整數的思路來解決，這樣更容易一些。

師：善于在貌似不同的方法背后，找到它們的共同點，這需要深刻的洞察力，真棒！還有不同的策略嗎？

解：設總人數為x人。

師：顯然，這位同學是借助方程來解決這一問題的。不過，仔細體會一下，你覺得方程的思路背后，有沒有隱藏著什么解決問題的策略？

生：我覺得是假設的策略。總人數未知，所以他假設為x，這樣，解決起來就比較方便了。

師：的確如此。所以，在解決問題時，有時，我們會運用一些顯性的策略，而有時，我們可能會運用的一些隱性策略，它們同樣可以幫助我們有效地解決數學問題。回顧剛才的解題過程，你有什么發現？

生：我發現，解決同一個問題，可以用不同的策略。

生：我特別喜歡畫圖的策略，因為圖一畫，解決問題的思路就清晰了。

生：我發現，有些策略是一下就能看出來的，比如畫圖，而有些策略是隱藏著的，有時我們可能自己都沒有發現，但實際上已經運用了。

二、問題解決，體會策略的適切性

師：華聯超市里足球與籃球個數的比是4：7，足球比籃球少30個。超市里的足球有多少個？根據剛才的學習，你能運用相關的策略，解決這一問題嗎？

師：誰來說一說，你是如何解決這一問題的？解決這一問題時，你運用了怎樣的策略？

生：我是把比轉化成份數來做的。足球與籃球個數的比是 4：7，說明足球有 4份，籃球有7份，足球比籃球多3份。所以，30÷3×4=40個，足球有 40個。

生：我也是用轉化的策略來解決的。我把比轉化成了分數。足球與籃球個數的比是4：7，說明足球占總數的籃球占總數的用110（個），求到足球和籃球的總數是110個，再用110×

生：我也是把比轉化成分數來解決的。足球與籃球個數的比是4：7，說明足球占籃球的，用（個），得到籃球的個數，再用=40（個）求得足球的個數。

生：我是列方程來解決的，我用的是假設的策略。

解：設足球有x個，籃球有x+30個。

師：有沒有同學在解決這一問題時，選擇了畫圖的策略？

生：沒有。

師：不是說，畫圖很直觀，有利于問題的解決嗎？

生：我覺得，這道題的數量關系很清楚，不畫圖也能很方便地解決問題。

師：看來，有時我們不能為了策略而策略。策略，只在需要時才來使用它。不過，比較上面的幾種解決問題的方法和策略，你更喜歡哪一種？

生：我更喜歡第一種。

生：我覺得，直接把比轉化成份數，這樣思考起來又簡單、又清晰。

師：看來，解決同一問題時，我們可能會使用不同的策略。但在所有策略中，我們還是要選擇最適合這一問題本身的策略來解決問題。也許，策略本身沒有好壞之分，但適合的，才是最好的。

三、問題解決，體驗策略的豐富性

師：最后，老師還給大家帶來了兩道稍有挑戰性的問題。解決這兩個問題時，同學們可以選擇不同的策略，然后再比較一下，用哪一種策略最簡便、最快捷。

出示問題：

（1）樂樂今年13歲，他的媽媽今年40歲。再過多少年，樂樂和他媽媽的年齡比是2：5？

學生獨立思考并嘗試解決。教師巡視，收集相關資料，以備交流。

師：誰來說一說，你是如何解決這一問題的？解決這一問題時，你運用了怎樣的策略？

生：第一題，我是把比轉化成份數來思考的。樂樂和他媽媽的年齡比是2：5，說明樂樂的年齡是2份，媽媽的年齡是5份，媽媽的年齡比樂樂多3份，而我們知道，年齡之間的差是不變的。40-13=27（歲），27÷3×2=18（歲），18-13=5（年），再過5年，樂樂和他媽媽的年齡比是 2：5。

生：我是通過嘗試來解決的。樂樂今年13歲，他的媽媽今年40歲，如果過1年，他們分別是14歲和41歲，不符合2：5的要求；如果過2年，他們分別是15歲和42歲，還是不符合2：5的要求。就這樣一直試下去，我發現過了5年，他們的年齡分別是18歲和45歲，這里他們的年齡比正好是2：5。

師：沒有算式，通過一一嘗試，我們同樣可以順利地解決問題。嘗試的確是解決這類問題的好策略。

生：我也是嘗試的，但我的方法和他不一樣。既然樂樂和他媽媽的年齡比是2：5，那么媽媽的年齡一定要是5的倍數，而且得比40大。于是，我就從45開始嘗試，結果一試就成功了。

生：我的方法和他很類似。既然樂樂和他媽媽的年齡比是2：5，那么他們的年齡和一定要是7的倍數。現在，他們的年齡和是 12+40=53（歲），不是 7的位數。所以，接下來，我只要在比53大的數中，尋找7的位數，看看哪一個符合題目的要求。56是第一個7的倍數，但56-53=3（歲），3÷2=1.5（歲），不符合實際情況。再試，63是下一個 7的倍數，63-53=10（歲），10÷2=5（歲），符合實際情況。所以，再過5年，樂樂和他媽媽的年齡比是2：5。

師：兩種思路異曲同工，都能在比和倍數之間找到某種對應關系真的很棒！還有不同的思路嗎？

生：我是用方程來解決問題的。而且我還發現，像這些復雜的問題，只要能夠找到等量關系，列方程雖然有點麻煩，但一定能夠幫助我們解決問題的。

解：設x年后樂樂和他媽媽的年齡比是2：5。

師：看來，方程的適用性特別廣泛。掌握了方程的策略，我們能夠解決各種不同的實際問題了。關于第二題，大家又找到了哪些解決問題的策略呢？

生：我是運用方程的思路來解決的。

解：設音樂組的男生有x人，女生就有180-x人。

生：我一開始不知道如何解決這一問題，所以我就一一進行了嘗試。我覺得這種辦法雖然笨了點，但還是蠻管用的。

師：其實，嘗試的方法貌似有點原始，但對于有些復雜的問題，它的確是一劑靈丹妙藥，可以以不變應萬變呢。

生：我是畫圖來解決的，我發現，圖一出來，思路就出來了。（出示下圖）既然男生人數的和女生人數相等，我就畫出了如下的線段圖。從圖中，我們一眼就能夠看出，男生和女生一共9格，180÷9×5=100（人），音樂組有男生100人。

師：看得出來，在解決這兩個較復雜的數學問題時，同學們都調動自己的所有經驗，運用不同的策略，從不同角度順利地解決了問題。希望在未來的數學學習過程中，同學們能夠更多地積累策略的經驗，并在遇到新的、復雜的數學問題時，能夠靈活地運用策略解決問題。?