CoSaMP改進算法在信道估計中的應用

任曉奎 劉星宇

(遼寧工程技術大學電子與信息工程學院 遼寧 葫蘆島 125105)

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CoSaMP改進算法在信道估計中的應用

任曉奎 劉星宇*

(遼寧工程技術大學電子與信息工程學院 遼寧 葫蘆島 125105)

壓縮采樣匹配追蹤CoSaMP(Compressive Sampling Matching Pursuit)算法作為壓縮感知中信道估計比較具有代表性的算法之一，一直無法解決如何獲取信道的稀疏度問題。為了解決該問題，提出一種利用峰值信噪比PSNR同迭代次數之間的關系而構造的一種改進算法。該算法可以自適應確定迭代次數，從而有效地提高CoSaMP算法的效率，增加了CoSaMP算法在實際信道估計中的可行性。

壓縮采樣匹配追蹤 壓縮感知 信道估計 峰值信噪比

0 引 言

壓縮感知CS技術[1-3]作為一個新興的采樣技術，與傳統奈奎斯特(Nyquist)采樣理論[4]不同，其根據實際環境中信號通常是稀疏的性質，可以利用遠遠小于傳統Nyquist的采樣率通過隨機采樣最終重構出較為完整的信號。壓縮感知技術應用領域廣泛，在無線通信、圖像處理、光學成像術、天文學等領域[5]均有壓縮感知技術的身影。

近年來，壓縮感知技術開始在信道估計領域中被廣泛研究。傳統的信道估計技術如最小二乘[6](LS)法和最小均方誤差[7](MMSE)法均是對信道是密集型的假設，其需要利用大量的導頻信號對信道做出估計。但近年來的大量研究表明，在實際環境中信號往往是稀疏的，所以對傳統的信道估計算法來說，由于利用大量的導頻信號，使導頻利用率大大降低。壓縮采樣匹配追蹤[8-10]CoSaMP算法作為一種貪婪算法，具有較好的魯棒性，并且通過利用少量的導頻信號就可以恢復出較為精確完整的信號。但由于CoSaMP算法的使用必須先知道稀疏度K，所以導致該算法在實際信道估計中存在局限性。本文提出的算法通過限制等距性質推導出峰值信噪比和迭代次數的關系，從而使CoSaMP算法可以自適應地確定迭代次數，提高算法的可行性。

1 壓縮感知技術

壓縮感知是近年來極為熱門的研究前沿，該技術在若干應用領域中都引起了極大的關注。壓縮感知技術的基本原理為：已知將要獲取的未知信號為f，假設f是不連續的、稀疏的，那么當獲取信號f時由于未知信號f為稀疏的，所以就不需要對原始信號的每個分量進行測量。假設原始信號的維數為M，那么只需要用遠遠小于M的導頻信號個數就能恢復原始信號f。CS理論的本質是通過對信號的高度不完備線性測量的精確重建，可以通過抽樣保留其中最有用的系數。如果想通過抽取少量的數據就能恢復大量的信息，必須要滿足以下兩點：(1)抽取的數據里面含有信號的全局信息;(2)存在算法利用少量的信息就可以恢復出原有的信號，同時如果要保證在抽取過程中不會丟失重要信號，其恢復信號的觀測矩陣必須滿足有限等距性質[11，12](RIP)，即：

該性質保證了觀測矩陣不會把兩個不同的K稀疏信號映射到同一個集合中(保證原空間到稀疏空間的一一映射關系),其要求從觀測矩陣中抽取的每M個列向量構成的矩陣是非奇異的。

目前，壓縮感知技術應用在信道估計領域中常常使用迭代的貪婪算法，如OMP[13-16]、SAMP[17-20]以及CoSaMP算法等。接下來將對CoSaMP算法進行改進并做出說明。

2 算 法

2.1 傳統信道估計算法

傳統的信道估計以最小二乘法(LS)和最小均方誤差法(MMSE)兩種算法最具代表性。其中，MMSE算法信道估計精度很高，但其算法復雜，需要大量的矩陣運算，計算量大；LS算法具有結構簡單、計算量小的特點。但以上兩種傳統算法均是基于信道為密集型的假設，沒有考慮到真實信道具有潛在稀疏性的特性，導致其利用比實際信道變量更多的導頻信號才能準確對信道做出估計，從而導致了頻譜利用率的降低。

2.2 CoSaMP算法

CoSaMP算法是一種貪婪算法[21]，其通過反復的迭代從矩陣中選出n列最優集合，然后再估計出最優值。具體步驟如下：

已知稀疏度K、觀測值y、迭代次數為n、發射導頻Z。

(1) 令迭代次數n=1、候選集M=φ、首次殘差r0=y、x0=0。

(2) 找到2K列與殘差最為相關的向量組成集合Ω。

(3) 將上一步得出的集合Ω與Mn-1作并集，即：

H=Mn-1∪Ω

(4) 用最小二乘法(LS)在H中做信道估計,保留其中最大的k個系數。

(5) 更新殘差值：r=y-Z·xn。

(6) 判斷是否滿足迭代條件，不滿足則n=n+1，跳到步驟(2)重新計算，滿足則輸出X的值。

由以上的步驟可知，CoSaMP算法的實現必須依賴其稀疏度K為已知的[22]。而在實際的信道估計當中，稀疏度K的值是很難獲取的，所以該算法在實際的信道估計應用中的意義大大降低。

2.3 改進的CoSaMP算法

首先要通過PSNR值的變化趨勢，來確定迭代的次數，PSNR值的公式如下：

(1)

式中MAX指的是8 bit表示法的最大值為255，MSE為均方誤差，所以式(1)可以轉化成下式：

(2)

(3)

已知RIP性質：

(4)

假設X1、X2均滿足上式，則：

將上面兩式聯立變換得出下式：

將不等式右邊去掉，左側整理得：

(5)

由于CoSaMP算法在實際應用中必須使迭代次數和稀疏度K保持一致才可以精確獲得重構信號，通過式(3)的轉換，假設第k次迭代和第k+1次迭代的判別式分別為Pk和Pk+1，即：

(6)

(7)

則Pk和Pk+1的相對差值為：

(8)

其中：ΔP=Pk+1-Pk+1。

PSNR值會隨著迭代次數K的增加而緩慢增加，此時相對差值dk<0。而當迭代次數K超過某一門限值時，PSNR值會突然劇烈下降，同時，相對差值dk值會急劇上升，并隨著迭代次數的增加又迅速回歸到0附近。利用該性質可以通過設定一個門限閾值來確定迭代的次數。

所以改進的重構算法如下：

(1) 令迭代次數n=1、候選集M=φ、首次殘差r0=y、x0=0、門限值為μ。

(2) 找到2K列與殘差最為相關的向量組成集合Ω。

(3) 將上一步得出的集合Ω與Mn-1作并集，即：

H=Mn-1∪Ω

(4) 用最小二乘法(LS)在H中做信道估計保留其中最大的k個系數。

(5) 更新殘差值：r=y-Z·xn。

(7) 迭代完成后判斷相對差值dn>μ是否成立，成立就停止迭代，反之就跳到步驟(2)重新執行。

以上即為CoSaMP的改進算法[23，24]。該算法通過計算dn的值并設置合理的閾值μ的方法來確定迭代的次數，通過該算法可以有效地提高重構信號的質量。

3 實驗仿真與驗證

為了證明改進后的CoSaMP算法相比其他算法的優越性，本文對OMP算法、CoSaMP算法以及改進算法進行實驗仿真。仿真硬件為Intel(R) Core(TM) i7-4500U CPU，主頻1.80 GHZ，內存8 GB，Microsoft Windows 7操作系統，仿真軟件為MATLAB。

假設天線方案為2根發射天線和2根接收天線，系統子載波個數為1024，信道長度為25，非零抽頭的個數為5個，并且系統參數在一個OFDM符號內保持不變。可以通過算法的歸一化均方誤差(MSE)反映算法的估計性能，MSE計算公式為：

(9)

MSE值的大小說明了算法性能的好壞，MSE值越小說明算法估計的誤差越小，算法的性能越好。

圖1顯示了在不同導頻數目下各個算法的MSE的大小情況。由圖1可以看出，隨著導頻數目的增加，各個算法的MSE值均有下降的趨勢。在導頻數目相同的情況下，OMP算法的MSE值最大，性能最差，CoSaMP算法次之；而改進算法的MSE值小于其他兩種算法，其性能優與OMP算法和CoSaMP算法。

圖1 不同導頻數目下各算法MSE性能比較

圖2顯示了各個算法在不同信噪比下的MSE值的情況，信噪比越小說明信號的干擾越大。在信噪比相同時，算法的MSE值越小說明算法的抗干擾能力越強。在圖2中可以看到，三種算法隨著信噪比的增大，MSE值均呈下降趨勢，但改進的CoSaMP算法相比其他兩種算法具有更小的MSE值。

圖2 不同信噪比下各算法MSE性能比較

圖3顯示的是在不同信噪比下三種算法的誤比特率(BER)值的大小情況。隨著信噪比的增大，信號干擾減少，各個算法的BER均呈下降趨勢，其中OMP算法的BER值最大，CoSaMP算法次之。改進算法在三種算法中的BER值最小，說明改進后的算法相比其他兩種算法有著更好的性能。

圖3 不同信噪比下各算法的BER性能比較

在實際應用過程中，重構信號時所需要的時間也是需要重點考量的一個因素，所以應該在仿真中加入高斯噪聲，比較三種算法所需的重構時間。

本文將高斯噪聲分為0.001、0.005、0.01三個等級，分別在稀疏度K=15和K=25時對OMP算法、CoSaMP算法和改進后的CoSaMP算法的重構時間進行比較。

由表1和表2看出，當σ2=0.01時OMP算法已經不能完成重構，說明CoSaMP算法和改進的CoSaMP算法相比OMP算法有著更好的抗干擾能力。在相同的噪聲等級下，改進算法相比CoSaMP算法需要更多的重構時間。這是因為要想確定合理的迭代次數，并提高信號重構的精確程度，勢必會增加運算量。但兩種算法相差的運算時間仍在一個數量級可接受的范圍之內，所以在實際應用中，改進的CoSaMP算法相比CoSaMP算法有著更大的應用意義。

表1 k=15時各算法重構時間與誤差

表2 k=25時各算法重構時間與誤差

4 結 語

本文根據MIMO-OFDM信道特性，基于壓縮采樣改進匹配追蹤算法的MIMO-OFDM信道估計，提出了一種根據PSNR的增減趨勢來判斷CoSaMP算法迭代次數的改進算法。該算法和傳統的CoSaMP算法相比無需預先知道信號的稀疏度，改進后的算法可以自適應地完成稀疏信號的重構。仿真結果表明，提出的算法有效地提高重構信號的精確程度和抗干擾能力。但是本文算法也存在著缺點，要想確定合理的迭代次數，會導致計算量的增加。如何在確保提高重構信號成功率的同時，減小確定迭代次數過程中的計算量將是下一步要研究的問題。

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APPLYING IMPROVED COSAMP ALGORITHM IN CHANNEL ESTIMATION

Ren Xiaokui Liu Xingyu*

(SchoolofElectronicandInformationEngineering,LiaoningTechnicalUniversity,Huludao125105,Liaoning,China)

Compressive sampling matching pursuit (CoSaMP) algorithm,as one of the typical algorithms in channel estimation of compressed sensing,has not been able to solve the problem of channel sparsity acquisition.In order to solve this problem,this paper,by using the relationship between peak signal-to-noise ratio and the number of iterations,puts forward an improved algorithm.The algorithm can adaptively determine the number of iterations,so that effectively improves the efficiency of CoSaMP algorithm,and increases the feasibility of CoSaMP algorithm in actual channel estimation as well.

Compressive sampling matching pursuit Compressed sensing Channel estimation Peak signal-to-noise ratio

2015-08-07。任曉奎，副教授，主研領域：通信電路系統，無線通信信道估計。劉星宇，碩士生。

TP393.17

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.11.025