厘清數學思想方法突破學習重點難點

鄭金華

“走進圖形世界”是同學們進入初中后第一個接觸到的幾何章節，從我們生活的現實世界出發，認識各種各樣基本的幾何圖形、幾何體，無論多么復雜的現實世界其實都是由簡單的幾何圖形、幾何體組成的.在探索圖形世界時，遇到難題，如果能夠正確把握數學中的思想方法，則能開闊思路，達到事半功倍的效果，接下來講一講幾種數學思想方法在解決本章重難點問題中的作用.

例1 如圖所示，大圓的半徑是2厘米，以大圓半徑為直徑在上下兩側畫了兩個半圓，求圖中陰影部分的面積.

【分析】將圖中右下方位置的半個小圓旋轉到左上方位置的半個小圓處，所以圖中陰影部分的面積等于大圓面積的一半，大圓的半徑是2厘米.

解：S陰影=[12]S半圓=[12]π×22=2π（平方厘米）.

故答案為：2π（平方厘米）.

【點評】此題陰影部分的面積是一個不規則圖形，仔細觀察兩個小半圓，它們的直徑相等，所以面積也相等，于是我們想到把右下方位置的半個小圓（陰影部分）繞點O順時針旋轉180° 到左上方位置的半個小圓（空白部分）處，從而陰影部分就變成了半個大圓.在求解圖形面積時，經常會遇到此類不能直接求或圖形不規則的問題，我們需要換個角度去解決問題，通過分割（添輔助線）、變動（平移、旋轉、翻折等）其中某部分圖形的位置把不規則圖形轉化成幾個規則圖形面積和、差的形式來進行計算.此題還利用了圖形三種運動變換：平移、旋轉、翻折，其基本性質：不改變運動前后圖形的大小和形狀.因此，圖形的運動變換不改變圖形面積的大小.

例2 探究學習：正方體切一刀（用平面去截），剩下的部分有幾個面？幾條棱？幾個頂點？

【分析】截后剩余的幾何體形狀有多種情況，關鍵看這一刀是如何切的，切面可能是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，在分類討論時要找準這一分類依據，再逐層探究，并力求最簡化.

① 7個面，15條棱，10個頂點；

② 7個面，13條棱，8個頂點；

③ 7個面，14條棱，9個頂點；

④ 7個面，12條棱，7個頂點；

⑤ 7個面，15條棱，10個頂點；

⑥ 6個面，12條棱，8個頂點；

⑦ 6個面，12條棱，8個頂點；

⑧ 5個面，9條棱，6個頂點；

⑨ 7個面，13條棱，8個頂點；

⑩ 7個面，14條棱，9個頂點；

11 6個面，12條棱，8個頂點；

12 7個面，15條棱，10個頂點；

13 4個面，6條棱，4個頂點.

綜上所述：（1）當有7個面時，有12條棱，7個頂點；或13條棱，8個頂點；或14條棱，9個頂點；或15條棱，10個頂點.（2）當有6個面時，有12條棱，8個頂點.（3）當有5個面時，有9條棱，6個頂點.（4）當有4個面時，有6條棱，4個頂點.

【點評】本題考查用一個平面去截幾何體，需要同學們有很強的空間想象能力，很具有挑戰性，截面的形狀是分類討論的關鍵. 截面是三角形的有：①②③④13；截面是四邊形的有：⑤⑥⑦⑧⑨；截面是五邊形的有：⑩11；截面是六邊形的是：12.在以邊數不同的多邊形截面作為分類依據時，還要結合截面頂點恰好是多少正方體頂點的個數再分級深入進行更細致的討論. 此題的歸納部分是解題的重中之重，雖然分類討論有很多種情況，但其中有一些是重復出現的，歸納時我們要科學羅列.

對于這類有較大難度的題型，大家在完成思考后最好再用蘿卜、橡皮泥之類的模擬正方體切一切，真實的操作不僅能讓你體會到切面必須是一個平面，還能讓你驗證自己的猜想是否正確，分類討論是否全面.

例3 如圖，一只蜘蛛在油桶的點A處，點B處有一只蒼蠅，蜘蛛想要過去把蒼蠅吃掉，那么蜘蛛應走怎樣的路線才能在最短時間捕獲蒼蠅呢？

【分析】首先將圓柱側面展開成矩形，再在矩形的長上找到點B的對應點B′，也就是矩形長的中點，最后連接AB′，線段AB′的長度即為所求最短距離.

解：

【點評】這個問題的本質是在圓柱的側面上尋找路線，而圓柱的側面是一個曲面，在曲面上找到的路線就是曲線，大家目前所掌握的經驗不足以求解曲線的長度，那么怎樣才能把曲面、曲線的問題轉化成平面、線段的問題解決呢？大部分同學在學過簡單幾何體的展開與折疊內容后自然會聯想到去展開圓柱的側面，這里尋找點B的對應點B′是解決問題的重點也是難點，很多人極易誤認為B′是矩形的頂點.突破這一難點的關鍵是，圓柱側面展開后，圓柱上、下兩底面的圓周長為矩形上、下的兩條長邊，而點B在展開后是在矩形長邊的中點位置.此外，本題得以解決還依賴于這樣一個基本事實：兩點之間，線段最短.

例4 用7個小正方體堆在水平桌面上，堆出的幾何體主視圖和左視圖如下，則小正方體的堆放共有 種不同方式？

【分析】此題小正方體的個數是固定的，但只有兩個視圖不能確定小正方體堆放的位置，我們需要尋找堆放的規律.由于滿足條件的方式太多，沒辦法一一列舉，我們需要建構解決這類問題的模型.

解：根據主視圖和左視圖，我們發現俯視圖是4×2（長×寬）的矩形，這里標注3的位置，其垂直位置是必須要堆放3個小正方體的，剩下的我們用字母a，b，c，d，e，f，g來表示其垂直位置上小正方體的個數.

然后我們要考慮余下來的4個小正方體如何擺放. 在（a，d）兩位置中必須擺放1個，（b，e）兩位置中必須擺放1個，（c，g）兩位置中必須擺放1個，剩余的1個小正方體在底層留下來的四個空位中任選一個，于是小正方體擺放的方式一共是2×2×2×4=32種.

【點評】此類三視圖問題蘊含著構建數學模型、用字母代表數、排列與組合等復雜的數學活動，這是本章“走進圖形世界”的難點內容，學有余力的同學，不妨嘗試用這樣的方法解決類似的題目，肯定能找到解決問題的訣竅，收獲成功的喜悅.

同學們看完以上四例，能否很快與相應的數學思想聯系起來？用微信掃描二維碼，查看你的答案是否正確.

（作者單位：江蘇省常州市新北區呂墅中學）