非平面運動球式自動平衡裝置數值仿真與實驗

江 波，譚 青，羅 建

（中南大學 機電工程學院，長沙 410083）

非平面運動球式自動平衡裝置數值仿真與實驗

江 波，譚 青，羅 建

（中南大學 機電工程學院，長沙 410083）

實際生產過程中，高速轉子由于受不平衡力矩作用，會產生非平面運動。通過數值仿真和實驗，研究非平面運動球式自動平衡裝置過臨界轉速下的運動特性。運用病態性探測實現數值仿真過程中剛性方法(ω方法)與非剛性方法(RK-45法)的自動切換。從而解決非平面運動球式自動平衡裝置病態微分方程組的數值仿真與計算問題。通過對球式自動平衡實驗臺的實驗研究驗證了數值仿真與數學模型的正確性，并得出球式自動平衡裝置對做非平面運動的轉子的平面振動和空間轉動都有很好的抑制作用和減振效果的結論。數值仿真算法在多體問題中具有借鑒意義。

振動與波；非平面運動；球式自動平衡裝置；病態性探測

回轉機械的平衡問題一直是機械行業的重要課題。尤其對于高速回轉機械而言，轉子由于質量分布不均勻而產生不平衡力與力矩會使回轉機械產生振動和噪聲，嚴重的甚至會引發災難性破壞，由此造成的損失不容忽視。為了解決這一問題一般對轉子采取高精度的動靜平衡的方法[1]。但對于一些質量分布可能發生變化的回轉機械如風機，經常將其卸載下來進行動靜平衡很不方便。因此，近年來，對采用自動平衡裝置來實現平衡、減振的研究引起了重視。這一技術對消除隨機性不平衡尤為有效。自動平衡裝置分為兩種類型：一種是自動定心型的自動平衡裝置，也稱為被動式自動平衡裝置[2]；另外一種是由微機控制的自動平衡裝置，也稱為主動式自動平衡裝置[3-4]。球式自動平衡裝置是一種性能優異的被動式自動平衡裝置。

國內外對非平面運動球式自動平衡裝置的系統性研究較少。以往對被動式自動平衡轉置的研究主要集中在轉盤平面不變的情況，從而忽略了由不平衡力矩引起的非平面運動。文獻[5]完成了對非平面運動球式自動平衡裝置的建模與穩定性討論。考察文獻[5]中的非平面運動球式自動平衡裝置的數學模型，發現其雅克比矩陣條件數比較大，屬于病態問題的初值問題。設計一種高效率、高精度的算法進行模型的數值仿真并最終通過實驗驗證仿真結果的可靠性和數學模型的正確性，對探索非平面運動球式自動平衡裝置的運動特性具有重要的意義。

1 數學模型簡要說明

實際應用過程中，高速運動的轉子由于受到不平衡力矩的作用，會使整個轉軸產生空間轉動，這種轉動使得轉子產生非平面運動，從而使整個系統產生非平面運動。

非平面運動球式自動平衡裝置的力學模型如圖1所示。

圖1 力學模型示意圖

轉盤上放置了n個滾球，作可移動的補償量，同時在轉盤上安放了m個偏心質量。

為了更清晰表達系統的非平面運動，尤其是轉軸繞X、Y軸的轉動行為，做出如圖2所示的系統平面和空間振動示意圖。

圖2 平面和空間振動示意圖

由文獻[5]可知，非平面球式自動平衡裝置的運動方程如式(1)所示。

式中主要采用的符號說明如下：

O0-XYZ：靜止時的坐標系，O0為轉軸中心靜止時的位置；

O1-xyz：隨轉軸中心運動的坐標系，其中x-y平面始終與轉盤平面平行，O1是轉軸中心運動時的位置；

x、y：轉軸中心由O0到O1的位移，單位為m；

φx、φy：轉軸空間轉動的角位移，單位為rad；

zi為第i個質點與系統質心之間的軸向距離，單位為m；ei第i個質點與回轉軸線之間的距離即偏心距，單位為m，φi為第i個質點的轉角，單位為rad（；其中i=1，···，n，n+1，···，n+m，前n個質點為滾球，后m個質點為偏心質量）；

M為系統的總質量，m為轉盤轉軸的質量，mi為第i個質點質量，單位為kg（其中）；

C、K為系統的阻尼矩陣、剛度矩陣，阻尼的單位為N·s/m，剛度的單位為N/m；

JRi、J分別為質點繞定軸轉動的轉動慣量矩陣、轉軸與轉盤的主轉動慣量矩陣，轉動慣量的單位為kg·m2；

φ0為轉軸和轉盤的轉速，單位為rad/s；

C0為滾球黏性阻尼系數，單位為N·s/m·rad。

2 系統的數值仿真

2.1 病態問題及病態性探測

在很多重要的科學技術領域和實際問題中，往往會碰到這樣一類系統，系統中有的狀態變量因具有較小時間常數，變化速度較快，而有的狀態變量因其具有較大的時間常數，變化速度相對緩慢，這就是所謂的病態問題[6]。通過Matlab可求出非平面運動球式自動平衡裝置的Jacobi矩陣，依照Shampine和Gear給出的剛性初值問題的定義[7]，可發現非平面運動球式自動平衡裝置的系統在某些區間內表現出病態性而在其他區間表現出非病態性。

關于非線性病態（剛性）初值問題的求解，國內外相關學者做過一些研究，主要采用Gear法、BDF法、α方法等具有較大穩定域甚至恒穩定的剛性方法解決，但此類方法通常要計算系統的Jacobi矩陣[8]。非平面運動球式自動平衡裝置的數學模型的雅克比矩陣含有大量分式，求解雅克比矩陣將費時費力。當系統表現出嚴重病態性時，就要求計算步長特別小才能滿足穩定性和精度要求。過小的步長勢必導致需要同剛性比等量級的積分次數，即需要很大的計算量，進而導致仿真時間很長，甚至由于舍入誤差的累積導致仿真失敗[7]。在不表現出病態性時使用非剛性方法，在出現病態性時使用剛性方法，可以有效提高計算效率和精度。

病態性探測常用三種方法：穩定半徑法、小穩定域試探法、嵌入低階大穩定域法。考慮到非平面球式自動平衡裝置的Jacobi矩陣比較復雜，求解耗時較多，因此采用嵌入低階大穩定域法[6]。

2.2ω方法與RK-45法

非平面運動球式自動平衡裝置的Jacobi矩陣比較復雜，計算困難，而ω方法是采用任意的實方陣代替精確的Jacobi矩陣，并通過改變步長的方式使該方陣具有良好的穩定性，故采用ω方法可以避免求解Jacobi矩陣的麻煩。ω方法的遞推公式和誤差估計可以參考文獻[10]。

RKF-45法簡寫為R-45法，被公認是解決非剛性問題的最有效方法之一。Shampine提出RK-45中嵌入大穩定域1(2)階的計算公式，其計算公式的形式與RK-45方法一致，只是誤差估計系數上有區別。該方法的公式及公式中的系數可參考文獻[6、11]。

2.3 模型降階與數值仿真流程

在用數值計算方法求解常微分方程組時，通常都需要將高階方程降階為低階方程，因此將2階方程組式(1)降階為1階方程組是有必要的。受限于文章篇幅，現以系統存在兩個球和一個偏心質量為例進行說明。

設：

當系統處于穩定狀態時，轉子轉速恒定，滾球也將處于相對轉盤靜止的狀態。假設盤以恒定轉速運行，即為常量，且將式(2)代入式(1)就可以得到系統在穩態下的1階形式的微分方程組見式(3)。

在迭代計算的過程中，利用病態性檢測，結合病態判據，在ω方法與RK-45法之間根據方程當前是否處于病態進行自動切換，不用通過求復雜的雅克比矩陣判斷當前步是否為病態，從而提高計算精度和效率。數值計算仿真程序是基于Matlab編寫的，能夠自動切換算法。具體的計算流程如圖3所示。

圖3 仿真流程圖

2.4 數值仿真結果

通過測量和實驗發現，系統相比較于僅僅考慮平面運動的自動平衡裝置系統出現了2階固有頻率。在系統參數如表1所示的情況下通過測量得到系統兩階固有頻率，分別為

ωn1≈10.7 πrad/s，ωn2≈47.7 πrad/s。

表1 仿真與實驗參數

主要探討非平面球式自動平衡裝置在過臨界轉速下的動態特性和減振效果，設定仿真的初始條件為：S0=(0，0，0，0，0，0，0，0，2π/3，0，-2π/3，0)T，其他的結構參數值如表1所示。為了研究自動平衡裝置在過1階臨界轉速、過2階臨界轉速時的性態和減振效果，取轉速ω1=30 πrad/s，ω2=90 πrad/s，分別以無球和兩個球進行仿真，得出如表2和圖4所示的仿真結果。

表2 仿真結果匯總表

由仿真結果可知，系統存在兩階固有頻率，因此球式自動平衡裝置運用在作非平面運動的旋轉機械上面時必須考慮系統的1階和2階固有頻率。

對比表2中無球時過1、2階臨界轉速的振幅情況可知，工作轉速為過1階臨界轉速時的平面振動較大，而空間振動相對較小；而當轉速過度到過2階臨界轉速時，空間振動增加較大，而平面振動變化并不明顯。這說明非平面運動球式自動平衡裝置的1階固有頻率主要產生于平面運動，而2階固有頻率主要產生于空間轉動。對比表2中無球和有球時的振動幅值可知，在過1階臨界轉速時，有球時平面振幅和空間振幅的幅值分別約為無球時的1/15和1/ 16；在過2階臨界轉速時，有球時平面振幅和空間振幅的幅值分別約為無球時的1/9和1/24。過臨界轉速時球式自動平衡裝置對轉子有很好的減振效果，尤其在過2階臨界轉速時減振效果更為顯著。圖4 (a)至(d)顯示，在過2階臨界轉速時球式自動平衡裝置對平面振動和非平面振動（空間振動）都有很明顯的削減作用。圖4(e)和(f)顯示，工作轉速為過2階臨界轉速時，由于其能更快速通過兩個共振區，因此與工作轉速為過1階臨界轉速時的情況相比，滾球穩定下來所花費的時間更少，平衡所需時間更少（過1階臨界轉速平衡時間為1 s而過2階臨界轉速平衡時間大約為5 s）。

綜上所述，球式自動平衡裝置在亞臨界轉速下對系統減振不利，在過1階臨界轉速時有很好的減振效果，在過2階臨界轉速時減振效果較過1階臨界轉速效果更好。

3 實驗驗證

設計了圖5和圖6所示的實驗方案和試驗臺。

變頻器可以控制實驗臺的電機轉速；壓電式加速度傳感器將所采集到的實驗臺振動信號輸送到電荷放大器中進行放大；數據采集卡將放大后的加速度電壓信號轉換成數字信號（即進行A/D轉換）輸送到計算機中進行處理和計算。

圖4 仿真結果示意圖

圖5 實驗整體方案

圖6 實驗平臺

在與仿真系統參數和條件相同的情況下進行實驗，通過數據采集卡和計算機進行數據采集，得到如表3和圖4所示的實驗結果。因為主要著眼于研究減振效果，故只給出穩態時的實驗數據。

表3 實驗結果匯總表

對比表3中無球和有球時的振動幅值，可知在過1階臨界轉速工況下，有球時平面振幅和空間振幅的幅值分別約為無球時的1/2和4/5；在過2階臨界轉速工況下，有球時平面振幅和空間振幅的幅值分別約為無球時的1/3和1/21。通過對比發現仿真結果與實驗結果在減振趨勢上具有一致性，在過臨界轉速工況下，裝有球式自動平衡裝置的回轉機械比沒有球式自動平衡裝置的振幅小很多。對比表3中的數據可知，無球時工作轉速為過1階臨界轉速工況下的平面振動較大，空間振動相對較小；而當工作轉速過2階臨界轉速時，空間振動增加較大，平面振動變化并不明顯。當有球時，在過臨界轉速工況下系統的平面振幅和空間振幅相對于無球時都呈削減趨勢。實驗表明在過臨界轉速下球式自動平衡裝置對平面振動和空間振動都有很好的抑制作用，在過2階臨界轉速工況下對平面振動和空間振動的削減作用更明顯。這與仿真得到的結論一致，說明了數學模型和仿真的準確性。

由于加速度計存在橫向效應，采集平面運動信號的加速度傳感器所采集到的振動信號并不完全是平面運動的信號而是平面運動與少量空間運動信號的疊加，振幅是通過對加速度信號兩次積分得到的，有積分誤差，同時實際工程中轉盤并不是完全均勻對稱的，所以實驗與仿真相比具有一定誤差。而且，由于是微小振動，振幅相對較小，誤差的影響也相對較大。但實驗結果中表現出的減振趨勢與仿真顯示的減振趨勢具有一致性。

圖8 實驗結果示意圖

4 結語

球式自動平衡裝置對受不平衡力矩的回轉機械具有很好的減振效果，當偏心量較大時將尤為明顯。在過1階臨界轉速和過2階臨界轉速工況下都具有較好的減振效果，并且在過2階臨界轉速工況下的減振效果要好于過1階臨界轉速，因為過2階臨界轉速后球的位置分布使系統質心更靠近回轉中心。

無球時，工作轉速為過1階臨界轉速時平面振動明顯，而空間振動并不很明顯，而當工作轉速過度到過2階臨界轉速時，空間振動明顯增加，而平面振動變化并不明顯。這說明非平面運動球式自動平衡裝置的一階固有頻率主要產生于平面運動，而2階固有頻率主要產生于空間轉動。

實驗結果顯示的球式自動平衡裝置對受不平衡力矩作用的高速轉子在過臨界轉速工況下的減振趨勢和動態特性與仿真結果相一致，說明文獻[5]所給出的非平面運動球式自動平衡裝置數學模型的正確性和文中所用數值仿真方法的可行性。文中所述的數值仿真方法對多體動力學數值仿真具有一定借鑒意義。

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Numerical Simulation and Experimental Research of Ball-type Automatic Balancer Devices with Non-plane Motion

JIANG Bo,TAN Qing,LUO Jian
（School of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University,Changsha 410083,China）

In practical production,high speed rotors will produce the non-plane motion due to unbalance torques.In this paper,through numerical simulation and experiment,kinematic characteristics of non-plane ball type automatic balancing devices under the critical speed are studied.Using the ill-conditioned detection method,automatic switching between the stiff method(ω method)and the non-stiff method(RK-45 method)in the numerical simulation is realized.The corresponding ill-conditioned differential equations of the ball-type automatic balance device with non-plane motion are solved.The correctness of the mathematical model and numerical simulation results is verified through experiments.It is concluded that the ball-type automatic balance device has a good damping effect for the planar vibration and spatial rotation of the rotors with non-plane motion.The numerical simulation algorithm has reference significance for multi-body problem analysis.

vibration and wave;non-plane motion;ball-type automatic balance device;ill-conditioned detection

TH113.1

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.011

1006-1355(2016)06-0056-06

2016-06-20

江波(1991-)，男，湖南省永州市人，碩士研究生，主要研究方向為機械振動控制。E-mail:jiangbo_csu@163.com