基于SVD的EMD模態混疊消除方法

張小明，唐 建，韓 錦

(1.解放軍理工大學 野戰工程學院，南京 210007；2.西北工業集團有限公司 物流中心，西安 710043)

基于SVD的EMD模態混疊消除方法

張小明1，唐 建1，韓 錦2

(1.解放軍理工大學 野戰工程學院，南京 210007；2.西北工業集團有限公司 物流中心，西安 710043)

為了改進EMD中模態混疊的缺陷，提出一種基于SVD的模態混疊消除方法。SVD有兩個特性，一是每個頻率成分對應兩個大小相當的奇異值；二是各頻率成分經分解得到的奇異值大小與該頻率成分的振幅呈正相關。該方法根據信號中主要頻率成分構造出一組與原信號頻率相等、幅值與原信號振幅成整倍數的正弦信號，并與原信號疊加后對疊加信號進行SVD分解，然后成對選取分解得到的奇異值重構出一組信號，依次減去前面加入的對應頻率的正弦信號即可得到分解結果。實驗表明，對于EMD分解模態混疊現象嚴重的信號，該方法能夠進行有效消除模態混疊。

振動與波；EMD；模態混疊；SVD；構造信號

EMD(EmpiricalModeDecomposition)是 由Huang等提出的一種信號的時域分解方法，它能將信號由高頻至低頻分解成一系列 IMF(Intrinsic Mode Functions)分量，該方法尤其擅長分解非線性、非平穩信號[1-2]。在EMD分解中，理想的分解結果是信號中的每一個頻率成分被單獨地分到一個IMF分量中。但是在實際應用中，往往會出現單個IMF分量中含有多個頻率成分，或者是一個頻率成分會發散到多個IMF分量中，即發生模態混疊[3]。尤其是當信號中的各成分頻率比較接近的時，模態混疊更易發生。

模態混疊產生的原因有兩方面，一是在采用三次樣條擬合情況下上下包絡時產生過沖和欠沖。在插值方法的改進上，學者們提出了B樣條插值法[4]、分段拋物線插值法[5]、分段冪函數插值法[6]、保持分段三次插值方法等[7]。這些方法在一定程度上抑制了過沖和欠沖，改善了模態混疊現象。二是方法本身的缺陷。在方法改進方面，Huang等提出了EEMD(Ensemble Empirical Mode Decomposition)[3]，采用向信號中加入多組白噪聲、分別分解后再求平均的方法來抑制模態混疊，但該方法面臨著如何選取合適的噪聲組數和方差的困難；Ryan Deering等提出掩膜信號法[8]，通過對原信號分別加上和減去一個掩膜信號分別進行EMD分解，再對IMF分量做平均；趙玲等進一步對平均瞬時頻率進行修正來改進掩膜信號[9]，掩膜信號法需要針對不同的信號確定不同的掩膜信號，而且用Hilbert變換估計出的瞬時頻率偏差比較大，該方法在分離含有頻率成分比較接近的信號時效果并不好。

奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)是一種通過矩陣運算進行信號分解的方法，該方法被學者們用來進行信號的降噪和特征提取[10-13]。原信號先被轉換成一個Hankel矩陣，再通過SVD得到兩個酉矩陣和一個對角矩陣，通過選取對角矩陣中奇異值重構信號中的成分。SVD完全根據信號本身的特征進行自適應的分解，尤其擅長分解平穩信號。

SVD分解有兩個特點，一是原信號中的每個頻率成分對應大小相當的兩個奇異值[14]；二是代表不同頻率成分的奇異值的大小與該頻率的幅值呈正相關。根據SVD分解的這兩個特點，由信號中的主要頻率成分先構造一組頻率相等、振幅已知的正弦信號，再將這組信號與原信號疊加，用各正弦信號已知的振幅關系來掩蓋原信號中各頻率成分模糊的振幅關系，疊加信號經SVD處理后重構出一組信號，再分別減去對應頻率的正弦信號，最終得到原信號中各頻率成分的時間序列。

1 SVD簡介

信號x可以根據Hankel矩陣形式被構造成一個信號矩陣，構造方法如下

式(1)中H是一個m×n的矩陣，N為信號x的長度；n為Hankel矩陣的列數(1＜n＜N)；m為矩陣的行數(m=N-n+1)。

對H進行SVD分解

式(2)中U是m×m的酉矩陣，S是m×n的對角矩陣，V是n×n的酉矩陣。其中，S可表示成

式(3)中∑=diag(σ1,σ2,…,σr)，σ1＞σ2＞…＞σr＞0。

這種變換本質上是將原始信號分解為一系列分量信號的簡單線性疊加，而這一系列分量可以通過單獨選取S中對角線上的奇異值重構獲得，且重構出的信號的相位和它在原信號中疊加的相位是不變的，即具有零相位偏移特性。

2 基于SVD消除EMD中模態混疊

2.1 SVD的典型特點

通過其他學者的研究[14]及相關實驗，得到SVD的以下兩點性質。

(1)對于僅含有一個頻率成分的信號，其Hankel矩陣經SVD分解后，能在對角矩陣S的前2階獲得兩個較大的奇異值，其他階的奇異值很小；而含兩個頻率成分的信號經SVD分解后，其前4階奇異值較大，其他階的奇異值很小。依此類推，含有k個頻率成分的信號經SVD分解后，對角矩陣S的前2k階奇異值較大，其他階的奇異值很小。而對于信噪比較高的信號，仍然滿足上述規律。

(2)每個頻率成分經SVD所獲得的奇異值的大小是由該頻率成分的振幅決定，振幅越大，經分解后在S中所表現出的奇異值的數值越大。而奇異值的大小和頻率大小無明顯關系。

現構造信號y1對以上性質加以說明。y1中含有四個分量，分量1是頻率10 Hz、振幅為1的正弦分量；分量2是頻率為20 Hz、振幅為2的正弦分量；分量3是頻率為30 Hz、振幅為3的正弦分量；分量4是均值為0、方差為1的白噪聲。y1的采樣頻率為1 000 Hz，含有1 024個采樣點。圖1是y1及其各分量的時域圖。

圖1 y1及各分量的時域圖

構造Hankel矩陣并對其進行SVD分解，獲得U1、S1和V1。畫出S1中奇異值隨其所在階數的變化火柴梗圖，見圖2。

圖2 奇異值-階數變化圖

從圖2中可以發現：前6階奇異值(772.34、762.55、520.89、506.16、256.98、250.05)的數值比較大，為有用信號的奇異值，而之后的奇異值很小，為噪聲成分的奇異值。而且前6階奇異值可以很明顯地分成三組：772.34和762.55為一組；520.89和506.16為一組；256.98和250.05為一組。由前述的SVD的性質可得：這三組奇異值是由三個頻率成分分解獲得，而且這三個頻率成分的振幅依次遞減。再參照y1的頻率組成可以確定：772.34和762.55是30 Hz分量的奇異值，520.89和506.16是20 Hz分量的奇異值，256.98和250.05為10 Hz分量的奇異值。

分別選取前三組奇異值重構出三個時間序列，圖3為三個序列時域圖及幅值譜。

從圖3中可以明顯看出三個序列各自對應著y1中的30 Hz、20 Hz和10 Hz的頻率成分，和前面的結論相吻合。

圖3 三組奇異值重構出的時間序列的時域圖及幅值譜

2.2 基于SVD的模態混疊消除方法

由前面的分析可知，SVD對于各頻率成分的振幅敏感，只要不同頻率振幅不一樣，它們經SVD后得到的奇異值的大小就會存在差異。因此，可基于SVD的振幅分辨能力來消除EMD中的模態混疊現象，在不改變信號的頻率成分的前提下，使得各成分振幅的大小關系變得明確。根據原信號中的頻率成分由小到大依次構造出一組振幅不同的正弦信號，再將其疊加到原信號中產生一個疊加信號，該信號的頻率成分與原信號的頻率成分完全相同。如果每個正弦信號的振幅選取合適，就可以掩蓋原信號中的各頻率成分的振幅差異，使疊加信號中各頻率成分振幅的大小關系和加入的正弦信號的振幅大小關系一致，進而再用SVD獲取疊加信號中的每個頻率成分，并減去相對應的正弦信號，即可得到原信號的分解結果。

用于研究模態混疊的原信號應滿足以下兩個要求：一是原信號是平穩的，平穩信號由若干個固定的頻率組成且這些成分存在于整個信號區間。這樣分解得到的分量才能用幅值譜的方法得到它們的頻率組成；二是信號的截取應滿足采樣定理及信號的長度不能太短，以使原信號中的頻率不發生失真及獲得較高的頻率分辨率。

假設x是一個經EMD分解易產生模態混疊的信號，模態混疊消除方法的具體步驟如下：

(1)從x的時域圖上得到它的振幅A，從幅值譜上得到其頻率成分

(2)相應地分別構造k個正弦信號

(3)把這k個信號疊加到x中。得到一個新序列xnew。

xnew中的頻率成分仍然為f1、f2、···、fk，由于每個正弦信號的振幅選取為A的整數倍，即使原信號中各頻率成分的振幅相差再大，也大不過A，這就保證了x'k中各頻率成分的振幅的大小關系掩蓋了原信號中的各頻率成分的振幅大小關系，因此xnew中振幅由大到小的各頻率成分依次為：f1、f2、···、fk。

(4)構造xnew的Hankel矩陣Hnew，并對其進行SVD分解，獲得兩個酉矩陣Unew和Vnew，一個對角矩陣Snew。

(5)依次成對選取Snew中的前2k奇異值重構出k個信號成分xb1、xb2、···、xbk。顯然，xbi(i=1, 2，…，k)是疊加信號中fi對應的時間序列。

(6)從xbi中減去x'i(i=1,2，…，k)，得到原信號中fi對應的信號成分xi。

2.3 基于仿真信號性能檢驗

實驗發現，EMD在分解含有頻率成分值較接近的信號時易產生模態混疊，因此構造信號y2(見圖2)，其中含有10 Hz、12 Hz和14 Hz的頻率成分，且各成分振幅相等。該信號共有1 024個采樣點，采樣頻率為1 000 Hz。

圖4 y2的時域圖

先對y2進行EMD分解，圖5為IMF分量的時域圖和幅值譜。從圖5(b)中可以明顯地看出IMF分量中存在著模態混疊現象，體現在IMF1中同時含有10 Hz、12 Hz、14 Hz三個頻率成分；IMF1和IMF2中都含有10 Hz的頻率成分。

圖5 IMF分量的時域圖和幅值譜

下面，用基于SVD的模態混疊消除方法進行處理。

從時域圖上得到y2的幅值為A2=2.93。再根據其中10 Hz、12 Hz、14 Hz的頻率成分，分別構造三組正弦信號

將y2、x'1、x'2、x'3相加，得到一個新序列y2new。y2new中同樣含有10 Hz、12 Hz、14 Hz的頻率成分。振幅由大到小的各頻率成分依次為：10 Hz、12 Hz、14 Hz。

構造y2new的Hankel矩陣H2new并對其進行SVD，并成對選取對角陣的前六個奇異值分別重構出3個序列xb1、xb2、xb3。從xbi中減去x'i，分別得到三個分量x1、x2和x3。圖6為xi的時域圖和幅值譜。從圖6(b)中可以看出每個幅值譜明顯只含有一種頻率成分，不存在模態混疊現象，且各頻率依次為10 Hz、12 Hz、14 Hz，和原信號中的頻率成分吻合。圖6(a)中xi的振幅都穩定在1處，和原信號中的各頻率振幅一致。各頻率成分被很好地單獨從y2中分離出來。

2.4 基于實測信號的性能檢驗

唐宏賓等指出，在實測環境中獲得的液壓信號大都可以看成由噪聲和若干個不同頻率族分量組成，而每個頻率族分量所對應的幅值可以看成調幅信號[15]，這類信號可以看成廣義平穩信號，因此采用液壓信號來檢驗所提出方法的性能。y3是一個實測液壓振動信號，含有1 024個采樣點，采樣頻率為1 000 Hz。圖7是y3的時域圖和幅值譜，圖7(b)中較為明顯的頻率成分有20 Hz、40 Hz、60 Hz、175 Hz。

圖6 xi的時域圖和幅值譜

圖7 y3的時域圖和幅值譜

先對y3進行EMD分解，圖8為IMF分量的時域圖和幅值譜。從圖8(b)中可以看出兩點：一是分解得到的IMF分量中存在著模態混疊，IMF2中同時含有40 Hz、60 Hz的頻率成分；二是IMF分量的頻域圖比較散亂，分量中噪聲含量較高。

圖8 IMF分量的時域圖及其幅值譜

用基于SVD的模態混疊消除方法進行處理。步驟同上，得到四個時間序列x1、x2、x3和x4，圖9為xi的時域圖和幅值譜。圖9(b)中每個幅值譜中明顯只含有一種頻率成分，不存在模態混疊現象，各頻率成分被很好地單獨從y3中分離出來。分別為20 Hz、40 Hz、60 Hz和175 Hz，和圖7(b)中的主要頻率成分吻合。同時各分量的頻域譜線比較平滑，噪聲含量比較小。

3 結語

利用SVD分解得到的奇異值對不同頻率振幅大小的分辨能力，提出一種基于SVD分解的消除模態混疊的方法，通過向原信號中疊加一組單一頻率的正弦信號，使得原信號中各頻率模糊的振幅關系在疊加信號變得清晰。然后再利用SVD分解的振幅分辨能力將各頻率成分分開。

對仿真信號和實測信號的分解實驗表明，對于EMD分解容易產生模態混疊的信號，文中提出的方法能夠較好地將信號中的各頻率成分單獨地分開，很好地消除了模態混疊的現象，改進了EMD的性能。

圖9 xi的時域圖及其幅值譜

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An EMD ModeAliasing Elimination Method based on SVD

ZHANG Xiao-ming1,TANG Jian1,HAN Jin2
(1.Engineering Institute of Engineering Corps,PLAUniversity of Science and Technology, Nanjing 210007,China; 2.Logistics Center,Northwest Industry Group Co.Ltd.,Xi'an 710043,China)

An EMD mode aliasing elimination method is proposed based on SVD.The SVD has two features:(1)each frequency component corresponds to two sizeable singular values after decomposition;(2)these singular values have a positive correlation with the frequency.According to the major frequency components of the original signal,a series of sinusoidal signals are constructed whose frequencies are the same as those of the original signal but the amplitudes are integer times of those of the original signal.Then,these sinusoidal signals are superimposed with the original signal and the new signal is decomposed by SVD.Selecting the singular values in pairs from the decomposed new signal,another series of signals is reconstructed.The final decomposition results are achieved by subtracting the corresponding sinusoidal signals from the reconstructed signals.Experiments show that this method can eliminate the mode aliasing effectively even when the frequency components are close in the signal.

vibration and wave;EMD;mode aliasing;SVD;signal construction

TH137

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.028

1006-1355(2016)06-0142-06

2016-04-10

國家自然科學基金資助項目(51175511，61472392)；江蘇省青年基金項目(BK20150724)

張小明（1991-），男，江蘇省南通市人，碩士生，主要研究方向為信號處理、機械故障診斷。E-mail:18761682069@163.com

唐建，女，講師，主要研究方向為信號處理、機械故障診斷。