節點導納矩陣和阻抗矩陣的互感支路組整體追加方法

陳 明 李銀紅 石東源 柳煥章 王若曦 段獻忠

(1.強電磁工程與新技術國家重點實驗室(華中科技大學) 武漢 430074 2.華中電網有限公司 武漢 430077)

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節點導納矩陣和阻抗矩陣的互感支路組整體追加方法

陳 明1李銀紅1石東源1柳煥章2王若曦1段獻忠1

(1.強電磁工程與新技術國家重點實驗室(華中科技大學) 武漢 430074 2.華中電網有限公司 武漢 430077)

在以支路追加法形成節點導納矩陣和節點阻抗矩陣的過程中，互感支路的追加遠比非互感支路復雜，因此提出以支路組為單位的節點導納矩陣及節點阻抗矩陣支路組追加法。該方法將相互之間有互感耦合的支路分為一組，應用所推導的追加公式以整組互感支路為單位直接追加到節點導納矩陣和節點阻抗矩陣中，使得計算方法簡單統一，可顯著減少計算量，提高計算效率。最后通過算例驗證和比較了所提方法的實用性和有效性。

互感線路 支路組 節點導納矩陣 節點阻抗矩陣

0 引言

電力網絡的數學模型是現代電力系統分析的基礎，通常使用節點導納矩陣和節點阻抗矩陣描述[1，2]。節點導納矩陣以其良好的稀疏性主要應用在潮流計算及其計算領域[3-7]。節點阻抗矩陣是滿矩陣，雖然形成節點阻抗矩陣的計算量較大，但其直接蘊含的信息量大，在短路分析、事故分析和經濟調度等領域得到了廣泛應用，特別適用于電網運行方式頻繁變化情況下的大批量分析計算，例如繼電保護整定計算中極端運行方式的求取[8-19]。

節點阻抗矩陣的傳統形成方法主要有支路追加法和導納矩陣求逆法兩種。此外，也有專家學者提出了一種基于矩陣變換的節點阻抗矩陣形成新方法[19]。該方法首先形成支路電流對節點注入電流矩陣和節點電壓對支路電流矩陣，再借用稀疏矩陣求逆的前推回推算法，形成整個節點阻抗矩陣。在大電網繼電保護整定計算等需要模擬大量電網運行方式進行短路計算的場合，每次短路計算并不需要重新形成阻抗矩陣，而是根據部分電網元件(如線路、變壓器等)的方式變化對初始阻抗矩陣進行修改即可。導納矩陣求逆法和文獻[19]中的方法均無法對原有節點阻抗矩陣進行修正，只能反復生成整個阻抗矩陣，計算量大，無法滿足實際計算需求。傳統支路追加法在電網運行方式變化后，可以通過修改原有阻抗矩陣得到新的阻抗矩陣。但應用該方法處理互感線路的運行方式變化時，需要采用預處理互感支路法，即用一組消去互感的等效支路代替互感支路組，再逐條處理。該方法可以有效地處理互感支路組，但其缺點是需追加的支路數大幅增加，例如：3條線路兩兩耦合的互感支路組，需等效為15條支路，然后依次進行支路追加計算。

隨著高壓遠距離輸電的快速發展，受輸電走廊的限制，并行多回線路架設日益普及，線路互感耦合情況也日趨復雜。而三華電網的交流互聯將使互聯電力網絡規模成倍增長，因此需要在同一網絡中考慮的互感線路數目也成倍增長。此外隨著電網運行決策過程中在線實時系統的使用日趨廣泛，對電力網絡數學建模的快速性要求越來越高。因此在形成和修改節點導納矩陣和節點阻抗矩陣的過程中，必須能夠快速準確地處理各種情況下的線路零序互感耦合問題。

本文提出一種基于支路組的節點導納矩陣和節點阻抗矩陣互感支路追加法。該方法將相互之間有零序互感耦合的支路分為一組，通過節點關聯矩陣反映支路電壓與節點電壓、支路電流與節點電流之間的關系，應用本文所推導的追加公式以支路組為單位直接追加到節點導納矩陣和節點阻抗矩陣中。與導納矩陣求逆法和文獻[19]中的方法相比，本文提出的方法在電網運行方式頻繁變化的情況下，能夠快速地修正節點導納矩陣和阻抗矩陣。與傳統的預處理互感支路法相比，本文提出的方法避免了因預處理互感支路而增加的追加支路數，計算速度快。同時，該方法還統一了互感線路和普通線路的追加方法，使得整個追加過程物理意義清晰，易于編程實現。

1 預處理互感支路法

節點導納矩陣和節點阻抗矩陣互感線路預處理法的核心思想是：在形成節點導納矩陣和節點阻抗矩陣前，用消去互感的等效支路代替電網中的互感支路。該方法以增加網絡的支路數為代價，消除線路間的互感耦合，互感耦合的情況越復雜，耦合的線路越多，需增加的支路數越龐大。

以圖1a所示的兩條互感支路為例說明整個預處理過程。這兩條支路的電壓方程如式(1)所示。

圖1 互感支路及其等效支路Fig.1 The mutual inductance branches and their equivalents branches

(1)

式中，Upi和Uqi為線路兩端的節點電壓；Ii為從節點pi流向節點qi的線路電流；i∈[1,2]。

對式(1)中的阻抗矩陣求逆，可寫成導納方程

(2)

將式(2)展開，并適當改寫，可得

(3)

(4)

由式(3)和式(4)可以得到兩條互感支路的消互感等效電路，如圖1b所示，這是一個有4個頂點、6條邊的完全網形電路。可以看出，預處理支路法將原有的兩條支路等效成了6條支路，增加了追加支路數。互感支路越多，耦合情況越復雜，增加的等效支路數越多。

2 基于支路組的互感支路追加法

2.1 基本思路

基于支路組的互感支路追加法的核心思想是以支路組為單位將零序互感耦合關系限于組內，通過節點關聯矩陣反映支路電壓與節點電壓、支路電流與節點電流的關系，推導將整組支路直接追加到網絡中的統一計算公式。

傳統單條支路的追加類型分為鏈支和樹支兩種類型[1]。支路組的追加涉及到多條支路的整體追加，其分類比傳統追加方法復雜，在本文中分別定義了鏈支組、樹支組和混支組三種類型，用于互感支路組的追加。

2.2 定義

定義1 若追加的互感支路組只增加回路，不增加節點，則定義為追加鏈支組。

圖2為鏈支組示意圖。圖2a中，新增支路組中的所有支路所涉及的節點均為原網絡節點，新增支路組只增加了回路，為本文所定義的鏈支組。圖2b～圖2d分別為其余3種基本形式：單端共端、一端接地、雙端共端為鏈支組。本文中的公式論證以圖2a為例，其余基本形式及其相互組合的復雜情況亦均適用，將在下文闡述。

圖2 鏈支組示意圖Fig.2 The diagram of chain branch group

定義2 若追加的互感支路組只增加節點，不增加回路，并且每一條支路均與原網絡相連，則定義為追加樹支組。

圖3為樹支組示意圖。圖3a中，新增支路組中的所有支路均只增加節點數，不增加回路數，且每條支路均與原網絡相連，為本文所定義的樹支組。圖3b所示的單端共端為樹支組的另一種基本形式。本文中的公式論證以圖3a為例，其余樹支組形式亦均適用，將在下文闡述。

圖3 樹支組示意圖Fig.3 The diagram of tree branch group

定義3 若追加的互感支路組不僅增加節點，而且增加回路，或者增加的支路有不與原網絡相連的，則定義為追加混支路組。

圖4為混支組示意圖。圖4a中，新增支路組既增加了節點數，又存在新增回路，為本文所定義的混支組的一種基本形式，即形式一。圖4b中，新增支路組只增加了節點數，未增加回路數，但其中有一條支路不與原網絡相連，為本文定義的混支組的另一種基本形式，即形式二。

圖4 混支組示意圖Fig.4 The diagram of mixed branch group

定義4 描述鏈支組追加時被追加支路組與原網絡連接情況的矩陣定義為節點關聯矩陣A。節點關聯矩陣的各行代表節點，各列代表支路。若節點i連接支路j，且電流正方向為流出節點i，則Aij=1；若節點i連接支路j，且電流正方向為流入節點i，則Aij=-1；若支路j不連接節點i，則Aij=0。

2.3 鏈支組追加計算方法

圖5 追加鏈支組情況Fig.5 The situation of adding chain branch group

結論1 節點導納矩陣鏈支組追加公式為

(5)

式中，YB為鏈支組支路導納矩陣；AN×K為節點關聯矩陣。如圖5b所示的鏈支組，其節點關聯矩陣為

(6)

論證：定義節點注入電流列向量為

IN=[I1…Ip1…Ipk…Iq1…Iqk…In]T

(7)

式中，Ii為各節點注入電流，i∈[1,n]。

定義節點電壓列向量為

UN=[U1…Up1…Upk…Uq1…Uqk…Un]T

(8)

式中，Ui為各節點電壓，i∈[1,n]。

定義互感支路組電流列向量為

(9)

式中，Ibi為流經支路pi

qi的電流，i∈[1,k]。

對于追加后的整個網絡，其節點注入電流為

(10)

由圖5b可知，流入原網絡N的節點注入電流為

(11)

由追加前網絡的節點導納方程可知

(12)

節點pi到節點qi間的電壓差可表示為

(13)

式中，UB為互感支路組支路電壓列向量。由支路導納方程可知，互感支路組電流可表示為

(14)

將式(10)和式(14)代入式(12)可得

(15)

結論2 節點阻抗矩陣鏈支組追加公式為

(16)

論證：如圖5b所示，由追加前后的網絡節點阻抗方程可得

(17)

節點pi到節點qi間的電壓差可表示為

(18)

將式(17)代入式(18)可得

(19)

(20)

在支路組追加的過程中，不僅存在上述公式推導過程中的所有追加支路均不共端情況，還存在圖2中所示的一端接地、單端共端和雙端共端情況，以及各種基本形式的混合情況。無論是哪一種連接情況，上述推導過程中涉及的公式均成立，唯一的區別是反映追加支路組與原網絡節點連接關系的關聯矩陣中各±1取值所在的位置不同。

在形成節點導納矩陣的過程中，可以先斷開所有支路，形成一個全零的矩陣，其維數為其節點數，再根據支路參數及其連接關系，添加節點導納中的各個元素。因此，根據鏈支組的定義，節點導納矩陣互感支路組的追加只存在追加鏈支組這一種情況，形成過程中不存在追加樹支組和混支組的情況。

2.4 樹支組追加計算方法

設被追加互感支路組的重數為k，互感支路組中的一條線路為Li，其兩端端點為pi、 qi， 其中pi為原網絡節點，qi為新增節點，線路零序自阻抗為zi(i∈[1,k])，線路Li與Lj之間的互感為zmij(i,j∈[1,k],i≠j)。

圖6 追加樹枝組情況Fig.6 The situation of adding tree branch group

設原網絡有n個節點，并已形成了n階的阻抗矩陣

(21)

在該網絡中的節點p1至pk追加樹支組，出現了k個新的節點，因而阻抗矩陣的階數變為n+k，設這時的阻抗矩陣為

(22)

結論3 節點阻抗矩陣樹支組追加公式為

(23)

(24)

(25)

(26)

論證：根據節點阻抗矩陣的物理意義，如圖6a所示，在節點1～n中任選一節點注入單位電流，其余節點開路，在節點1～n上形成的節點電壓與新增支路組無關，在新增節點q1～qm上形成的節點電壓分別與節點p1～pm上的節點電壓相等，由此可知

(27)

(28)

在節點q1～qk中任選一節點注入單位電流，其余節點開路，在節點q1～qk上產生的節點電壓就是新增節點的自阻抗和互阻抗。如圖6b所示，以在節點q1注入單位電流為例，此時在節點p1～pm上產生的電壓，與在節點p1注入單位電流時節點p1～pm節點上的電壓相同。在節點q1～qm上產生的電壓為節點p1～pm的電壓加上互感支路組的支路電壓，即

(29)

可見

(30)

(31)

依此類推可得

(32)

(33)

2.5 混支組追加計算方法

對于混支組的追加，可以通過并聯正負單位阻抗將混支組轉換為鏈支組進行追加處理。在混連組內任選一組樹支組，在該組樹支組內的所有樹支上并聯一對阻抗為±1的支路，先追加阻抗為+1的支路，再將阻抗為-1的支路與阻抗為ZB的混支組合并，轉換為鏈支組追加，如圖7所示。

圖7 追加混支組情況Fig.7 The situation of adding mixed branch group

如圖7a所示的混支組可以選擇樹支組p1q1、 pkqk， 在節點p1、q1與pk、qk間各并聯一對單位阻抗支路，如圖7b所示。先追加單位阻抗為+1的兩條樹支，則剩余支路的節點數均在網絡內，追加過程只增加回路數，混支路組的追加轉化為鏈支組的追加。

3 支路組追加過程的存在性分析

對于某些特殊的電網結構，式(16)和式(20)中ZLL的逆可能不存在，從而導致整個追加過程失敗。本節將分析ZLL逆的存在性，對于ZLL逆不存在的情況提出解決方案。

3.1 存在性分析

現以在節點i、j間追加一條阻抗為z的支路為例，由ZLL求逆的公式可得

(34)

為了便于分析追加失敗的物理意義，以節點i、j為保留節點，其余節點為消去節點，將整個系統等值到保留節點i、j。等效之后可以用一個π型等效網絡來模擬。

圖8 兩點π型等效網絡Fig.8 π type equivalent network diagram

π型等效網絡的節點導納矩陣和節點阻抗矩陣可表示為

(35)

根據節點阻抗矩陣的物理意義，保留節點相關的阻抗矩陣元素在等效前后保持不變。因此π型等效網絡的節點阻抗矩陣元素可直接由原網絡節點阻抗矩陣中節點i和j對應的矩陣元素構成。根據求逆公式可以求得π型等效網絡中節點i和j之間的等效聯系阻抗為

(36)

進而可表示成

(37)

當Zii或Zjj與Zij相等，且追加支路與π型等效支路并聯諧振時，由式(36)和式(37)可知逆不存在，阻抗矩陣無法正常追加。將被追加支路的阻抗分為零阻抗和非零阻抗，可得到以下結論：當被追加支路阻抗為零時，追加不成功的物理意義是追加前節點i和j已被短接，再追加一條短接支路，支路電流無法表示，導致逆不存在；當被追加支路阻抗不為零時，追加不成功的物理意義是開斷樹支，造成孤立節點，導致逆不存在。

3.2 解決方案

由上述存在性分析可知追加不成功可分為兩種情況，已短接節點間再追加短接支路與開斷樹支。對于前一種情況，可對追加支路加上一個小阻抗Δz，因兩節點間的等效阻抗為零，追加任何值的阻抗其結果與實際電網完全等價。對于后一種開斷樹支，造成孤立節點的情況，對被追加支路加上一個小阻抗Δz，除孤立節點被有限大阻抗連接外，其余與實際電網完全等價。

對于支路組追加逆不存在的情況，先將ZLL進行矩陣分解，ZLL可唯一的分解為ZLL=LDU。 矩陣D為對角矩陣，將其對角線上零元素對應的追加支路組阻抗加上一個小阻抗Δz即可。

(38)

4 算例分析

4.1 算例

圖9為存在互感支路的簡單電網。以圖9為例，在考慮支路間存在互感的情況下，用支路組追加法形成節點導納矩陣和節點阻抗矩陣，以說明該新算法的有效性。

圖9 存在互感支路的電網Fig.9 A network being mutual inductance branches

根據互感線路位置和自阻抗、互阻抗，可得支路導納矩陣、支路阻抗矩陣為

(39)

節點關聯矩陣為

(40)

導納矩陣的追加步驟如下：

1)形成不考慮互感線路的節點導納矩陣，即

(41)

2)追加互感支路組N2～N6、N4～N7。

將Y、A、YB代入下式

Y′=Y+AYBAT

(42)

可得該網絡的節點導納矩陣

(43)

阻抗矩陣的追加步驟如下：

1)形成不考慮互感線路的節點阻抗矩陣，即

(44)

2)追加互感支路組N2～N6，N4～N7。

將Z、A、ZB代入下式

(45)

可得該網絡的節點阻抗矩陣

(46)

上述過程求得的節點導納矩陣和節點阻抗矩陣與用傳統方法求得的結果完全一致。

4.2 計算效率分析

為了比較基于支路組追加算法與傳統支路追加算法的計算效率，在CPU E5800、2G內存電腦中用Matlab進行了仿真計算。分別應用傳統方法和本文方法將含兩條支路的不共端鏈支互感組和含三條支路的兩兩耦合不共端鏈支互感組追加到不同規模的電網節點阻抗矩陣中，仿真結果見表1。可見計算效率得到了明顯提高，且隨著電網節點數的擴大、互感耦合維數的增多，本文的支路組追加法優勢越明顯。

表1 新方法與傳統方法在計算時間方面的比較Tab.1 Comparison of CPU time between conventional methods and novel algorithm (單位：ms)

在大電網整定計算中，需要模擬大量電網運行方式進行短路計算，應用本文方法可有效提高根據電網運行方式變化修改節點導納矩陣和節點阻抗矩陣的計算效率。

5 結論

本文提出了以支路組為單位的電力系統節點矩陣支路追加方法。該方法將互感支路組劃分為鏈支組、樹支組和混支組三種類型。利用節點關聯矩陣反映的支路電壓與節點電壓、支路電流與節點電流的關系，分別推導了將三種類型的支路組直接追加到節點導納矩陣和阻抗矩陣中的計算公式。應用該方法可顯著降低追加互感支路的計算量。算例分析證明了所提算法的高效性。此外，本文還對可能引起追加失敗的情況進行了分析，提出了解決方案。對于規模越來越大、互感線路日趨復雜的現代大電網系統，采用本文的追加方法能夠使處理簡單規范，減少計算量，提高計算速度。

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Research on Mutual Inductance Branch Building Method of Node-Admittance Matrix and Node-Impedance Matrix Based on Branch Group

Chen Ming1Li Yinhong1Shi Dongyuan1Liu Huangzhang2Wang Ruoxi1Duan Xianzhong1

(1.State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology Huazhong University of Science and Technology Wuhan 430074 China 2.Central China Grid Company Limited Wuhan 430077 China)

In the process of building node-admittance matrix and node-impedance matrix by traditional adding branches method，the addition of mutual inductance line is more complex than non-mutual inductance line.A novel algorithm of building node-admittance matrix and node-impedance matrix based on branch groups is proposed in this paper.The method makes mutual coupling branches into a group.We can add the entire branches as a group into the network according to the derived adding equations.The algorithm has the characteristic of simple and unified computing method，reducing the amount of computation and improving the computational efficiency.The Practicality and Effectiveness of this proposed method is proved by calculation and comparison.

Mutual inductance line，branch group，node-admittance matrix，node-impedance matrix

2015-07-05 改稿日期2015-11-19

TM744

陳 明 男，1987年生，博士研究生，研究方向為電力系統分析、繼電保護整定計算。

E-mail：chenming@hust.edu.cn

李銀紅 女，1976年生，副教授，研究方向為電力系統分析計算、交直流系統繼電保護整定。

E-mail：liyinhong@hust.edu.cn(通信作者)