步長因子對最小均方誤差自適應濾波效果影響的研究

徐奔奔， 周芝峰， 楊恩星， 霍文明

1. 上海電機學院 電氣學院 上海 200230 2. 上海電氣輸配電集團 技術中心 上海 200042

步長因子對最小均方誤差自適應濾波效果影響的研究

徐奔奔1， 周芝峰1， 楊恩星2， 霍文明1

1. 上海電機學院 電氣學院 上海 200230 2. 上海電氣輸配電集團 技術中心 上海 200042

自適應濾波器憑借其優越的性能，在微電子、自控、信號處理等諸多領域逐漸得到廣泛應用。介紹了自適應濾波原理、自適應濾波算法，論述了步長因子對最小均方誤差(LMS)自適應濾波效果的影響，借助MATLAB Simulink對被隨機干擾的周期信號進行仿真研究，分析了步長因子對LMS算法收斂速度、濾波過程及輸出信號穩態失調的影響。

步長因子； 最小均方誤差； 自適應濾波器

與其它濾波方法相比，自適應濾波具有更強的適應性、更優的濾波性能，被認為是近年來最好的濾波方法，自適應濾波技術在微電子、自動控制、信號處理等諸多領域得到了廣泛應用[1-2]。在信息處理過程中，不確定性干擾信號客觀上會以不確定的方式對信息處理產生影響。針對這一問題，研究一種排除干擾信號的方法，使濾波器的輸出信號滿足或大致滿足某一規定的特性指標，是研究自適應濾波器的主要任務之一。這其中，對步長因子的研究是關鍵[3]。

與經典濾波器相比，自適應濾波器輸出信號的頻率隨輸入信號的變化而變化，屬于現代濾波器的范疇。自適應濾波器的主要特點是利用前一時刻已獲得的濾波器參數，依據相關的自適應濾波算法自動調節當前時刻的濾波器參數，從而實現最優濾波，自適應濾波器具有自適應、自調整的性能[4-5]，從本質上來講，是一種具有自我調節性能的維納濾波器。

1 自適應濾波原理

討論自適應濾波器，主要討論濾波器結構和濾波算法兩部分。自適應濾波器使用最多的算法是最小均方誤差(LMS)算法[6]。LMS自適應濾波算法以預期輸出響應和濾波輸出信號之差的均方值最小為標準,通過不斷調整因子，使輸出誤差序列的均方值最小化，同時使自適應迭代算法最優化。LMS自適應濾波算法因為不需要進行相關矩陣的復雜運算，也不用求解相關函數，所以具有簡單操作性，相對其它濾波算法具有易于實現、計算量小等特點而被廣泛應用。

自適應濾波器的結構有有限沖擊型(FIR)和無限沖擊型(IIR)兩種[7-8]。在考慮穩定性的前提下，多采用FIR濾波器作為自適應濾波器的結構，如圖1所示。

圖1 FIR濾波器

圖1中x(n)為濾波器輸入信號，y(n)為自適應濾波器輸出信號，e(n)為y(n)與期望信號d(n)進行比較之后得到的誤差信號，調整濾波器參數使誤差信號最小是設計濾波器的目的。在對濾波器輸出信號收斂速度及相位要求不是很高的情況下，自適應濾波器一般采用FIR濾波器橫向結構[9]，如圖2所示。

圖2 FIR濾波器橫向結構

矢量X(n)表示濾波器所有輸入信號的矩陣：

X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-N+1)]T

(1)

式中：N為濾波器的階數；n為時間指針。

矢量W(n)為權因子，表示自適應濾波器的沖擊響應：

W(n)=[w0(n),w1(n),..,wN-1(n)]T

(2)

式中：w(n)為迭代權因子。

濾波器的輸出信號y(n)：

(3)

2 LMS自適應濾波算法

濾波算法是設計自適應濾波器的關鍵，好的自適應濾波算法可以大大改善濾波器性能,進一步優化濾波效果。一般而言，自適應濾波算法根據不同的優化準則，可以分為兩類基本算法： LMS算法與最小二乘(RLS)算法[10]。其中，LMS算法通過假設平方誤差的均方值最小來進行預測，即使均方值最小。

e(n) =d(n)-y(n)=d(n)-xT(n)w(n)

=d(n)-wT(n)x(n)

(4)

在自適應濾波過程中，根據LMS算法修改權因子，使濾波性能最優。自適應濾波算法是一種簡單、穩定、易于實現的算法。LMS算法屬于最陡梯度下降法，對于其算法梯度可單一化表示為：

(5)

式中：σ為微分算子。

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)

(6)

式中：μ為步長因子，取值范圍為[0，1/λmax]，λmax

步長因子在實際信號處理中對算法收斂速度、濾波過程、穩態性等有重要作用。自適應濾波器在實際工作過程中輸入端會存在一定干擾，這些干擾可能導致濾波算法產生參數失調與噪聲現象，干擾信號越強,引起的噪聲越大，系統也就越不穩定。減小步長因子μ可避免或減小自適應濾波器失調噪聲，提高算法的收斂精度，優化濾波效果。當然，步長因子減小的同時也會降低自適應濾波算法的收斂速度，所以研究步長因子顯得格外重要。

3 MATLAB仿真分析

MATLAB Simulink具有強大的數學分析功能，為科研人員研究與設計濾波器提供了參考，也使分析工作變得簡單、方便。筆者借助Simulink對輸入帶有噪聲的正弦信號進行濾波分析，輸入原理如圖3所示。

圖3 濾波器仿真輸入原理圖

在實際工作中輸入信號往往伴隨著各種干擾，包括周期和非周期成分，筆者希望通過濾波器自適應調節分離出周期信號，排除干擾信號。將周期信號與噪聲信號混合作為輸入信號，經過延遲單元延遲一段時間，由高斯理論可知，混合輸入信號中的周期信號之間是相關的，噪聲信號之間則是不相關的，所以，自適應濾波器可減少輸出信號中的干擾信號成分，使輸出信號達到對原輸入正弦周期信號的最優估計。

應用Simulink進行模擬仿真，設周期信號為x(n) =5sin(ωt)，根據需要可設置不同的頻率來觀察輸出響應。

設輸入的正弦周期信號頻率為3Hz，自適應濾波步長因子μ=0.000001。在Simulink中搭建仿真框圖并運行，可得圖4至圖7所示波形圖。

圖4 濾波器輸出信號0～10s波形圖

圖5 濾波器輸出信號10～20s波形圖

圖6 步長因子μ=0.000001權值波形圖

圖7 步長因子μ=0.000001濾波器輸出波形圖

圖4至圖7中，紅色曲線為輸入正弦周期信號，綠色曲線為受干擾后的正弦信號，藍色曲線為濾波器輸出信號。可知，當步長因子μ=0.000001時，自適應濾波器在最初階段輸出信號與權值均為零，自適應濾波器經過多次迭代與不斷調整權值，輸出信號幅值逐漸變大，波形慢慢逼近原正弦周期信號。一段時間后，輸出信號與原周期信號波形基本一致，即如圖5所示自適應濾波器10～20s的輸出波形基本逼近原周期信號波形。

將步長因子擴大為原來的十倍，取μ=0.00001，原始周期信號不變。為在輸出波形中看到更清晰直觀的效果，圖8只給出受干擾之后的正弦波形與濾波器輸出波形。

圖8中綠色曲線為被干擾的正弦周期信號，藍色曲線為LMS自適應濾波器輸出信號。對比圖4與圖8可以看到，后者輸出信號只需要較短的自適應調整時間，其幅值大小就能接近原周期信號，波形逼近原始信號，迭代過程與算法的收斂速度更快。當然，前者濾波效果更好，輸出信號穩定性更強。比較圖6與圖9,可以發現圖9中權值發散更快，所以步長因子越大，權值發散越快，可見在實際問題中選擇合理的步長大小，可使權值收斂。比較圖7與圖10，可以發現圖7濾波器輸出信號平滑性更好，而圖10出現了穩態失調現象，濾波器輸出信號效果較差。

圖8 受干擾的周期信號與濾波器輸出波形

圖9 步長因子μ=0.00001權值波形圖

圖10 步長因子μ=0.00001濾波器輸出波形圖

4 結論

由仿真分析可知，在LMS自適應濾波過程中，步長因子越大，自適應調整時間越短，濾波過程越快，但穩態失調越嚴重，濾波效果越差，因此選取合理的步長因子對自適應濾波效果很重要。應用LMS自適應濾波算法時，當步長因子大于某一值時，就會使系統發散。為了解決步長因子對濾波效果的影響，變步長自適應濾波算法得到了應用，但還存在諸多缺點，值得進一步研究。

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Adaptive filter, by dint of its superior performance, has extensive use gradually in many fields including microelectronics, automatic control and signal processing. An introduction was gived on the principle of adaptive filtering, adaptive filtering algorithm and a discusses was also gived on the impact of step factor to least mean square (LMS)adaptive filtering effect. With the help of MATLAB Simulink, a simulation study was performed for the periodic signals that were disturbed randomly with an analysis on the impacts of the step factor to LMS algorithm convergence speed, the filtering process and homeostasis of the output signal.

Step Factor； LMS； Adaptive Filter

2016年3月

徐奔奔(1990— )，男，在讀碩士研究生，主要研究方向為電力電子與電力傳動， E-mail： 13122608568@163.com

TM461

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1674-540X(2016)03-053-04