三角形面積法求隧道拱頂沉降的最優監測精度布設方案

楊 浩

(黃河勘測規劃設計有限公司， 河南 鄭州 450003)

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三角形面積法求隧道拱頂沉降的最優監測精度布設方案

楊 浩

(黃河勘測規劃設計有限公司， 河南 鄭州 450003)

使用收斂計的三角形面積法對隧道拱頂進行沉降監測是目前較為經濟且能實現高精度變形監測的一種重要方法，為了充分發揮這種方法的優勢，對該監測方法進行了全面地數學分析，通過對沉降中誤差函數求極值，以發現其在隧道監測斷面上布設最優三角形的方案，在監測設備一定的情況下，采用最優三角形布設方案，即把三角形的底邊長布設成是腰長的1.362 5倍時，能得到最佳的監測精度，從而指導監測工作的具體實施。

三角形面積法； 隧道拱頂； 沉降監測； 中誤差； 最優監測精度

0 引言

對建筑物沉降監測的研究已有很多報道[1-3]，也開始有這方面的專門數據處理軟件支持[4]，并能夠遵循一定的法則自動判斷沉降是否發生[5]。基于全站儀的隧道拱頂沉降監測[6-7]由于受洞室內不利條件限制，現場觀測往往很困難。因此，使用收斂計的隧道拱頂沉降監測，由于操作簡便、易實施和精度高等優點，顯示出較大的優越性。然而，對于大洞室的變形監測來說，使用收斂計對隧道拱頂進行沉降監測屬于高空作業，存在人身和設備安全問題；因此，就出現了等效法收斂計變形監測方法[8]，變有危險的高空作業為無危險的地面作業。目前，也有研究特大斷面隧道開挖中拱頂沉降通過BP神經網絡進行預測[9]。對于隧道拱頂的監測一般分2大類，一類是巖石隧道[10]，另一類是黃土隧道[11]。對于巖石隧道，一般按隨機介質理論假設隧道斷面的變形是均勻發生的，三角形面積法的隧道拱頂沉降監測是基于隨機介質理論的。

使用收斂計對隧道拱頂進行沉降監測是目前較經濟且容易實現高精度變形監測的一種重要方法，應當充分發揮這種方法的優勢。截至目前，使用收斂計的三角形面積法[12-13]隧道拱頂沉降變形監測都沒有考慮所布設的三角形邊之間的關系；但是，通過深入研究發現，這種監測方法所用的等腰三角形的腰和底邊之間存在著一種嚴密的數學關系，在監測設備一定的情況下，利用這種關系布設監測所用的三角形可以有效提高沉降監測精度。本文將對三角形面積法求隧道拱頂沉降的精度進行全面分析，接著對沉降量中誤差函數求極值，從而導出等腰三角形的腰與底邊的嚴密數學關系，最后提出最優監測精度的具體三角形布設方案。

1 基本方法

如圖1所示，a、b、c為3條邊的初始值；a′、b′、c′為后來的觀測值；h0為初始觀測三角形的高；h為后次觀測三角形的高； Δh為隧道拱頂沉降量。

圖1 三角形面積法求隧道拱頂沉降示意圖

Fig. 1 Sketch diagram of tunnel crown settlement calculated by means of triangle area method

隧道拱頂沉降量的計算公式為

Δh=h0-h。

(1)

(2)

式(1)和式(2)為一般三角形的沉降量計算公式。

2 精度分析

三角形邊長的初始觀測值一經確定，在監測過程中是固定不變的，而邊長的后次觀測值則隨著圍巖收斂的變化而改變。在實際監測時，邊長的變化量通過后次觀測值與其初始觀測值的比較而得出。

下面將對三角形面積法求隧道拱頂沉降公式進行誤差分析。

2.1 假設三角形邊長的初始觀測和后次觀測為同精度的情況

在這種情況下，前、后次觀測的收斂計鋼尺讀數能夠代表邊長的實際長度。邊長的實際長度是指2個監測點中心的距離，現假設除收斂計觀測誤差外收斂計能夠準確量取這個距離。

求式(2)中的第1式關于三角形a、b、c3邊的全微分[14]

同理

(3)

mΔh=λmΔl。

(4)

2.2 顧及實際邊長誤差的情況

在這種情況下，考慮作為中誤差方程各系數中邊長本身的誤差對沉降中誤差的影響，與收斂計監測時的量距誤差無關，兩者不同。

現設-Δa、-Δb、-Δc是三角形3條邊的收斂計后次觀測值與初始觀測值的差，如果沉降沒有發生，它們應該接近0。令a=a′+Δa，b=b′+Δb，c=c′+Δc，所以

因為dΔh=dh0-dh，所以

(5)

(6)

然而，λ前已求出。對于式(6)，如果沉降沒有發生，即a=a′、b=b′、c=c′，則Δh=0，這時λ0=0，說明λ0只與沉降發生有關，當Δh=0時，λ0=0。

具體考察1個例子。設初始觀測值為a=8.090 3 m、b=5.936 9 m、c=5.934 4 m，后次觀測值為a′=8.041 7 m、b′=5.901 3 m、c′=5.898 8 m，則沉降量為Δh=0.026 0 m，此時λ=1.024 2，λ0=0。若其他條件不變，將c和c′都減掉0.5 m，相當于該邊存在這樣的系統誤差，這與監測時的收斂計量距精度無關，只是相當于采用的c邊長度比其實際長度短了0.5 m，可以認為，這時邊長的m0即為±0.5 m，則沉降量為Δh=0.026 1 m。可見，由于c邊長度存在0.5 m的誤差所引起的沉降誤差不超過0.1 mm，此時λ=1.032 6，λ0=0.000 7。同樣，若其他條件不變，將c和c′都減掉1.0 m，則沉降量為Δh=0.026 4 m，所引起的沉降誤差僅有0.4 mm，此時λ=1.060 5，λ0=0.001 6。

總之，這種方法對于三角形3條邊的邊長精度m0要求不高，沉降量中誤差mΔh主要由mΔl和λ造成，將λ代入式(4)得

注意此式，將mΔl前的系數λ當作縮放器，則mΔl經過縮放器λ將mΔl映射為mΔh。這種縮放大多數情況下是放大的，即λ一般是不小于1的正數，除非有辦法使得λ減小。因此，下面將設法求出三角形面積法求隧道拱頂沉降的最小λmin。

3 最優監測精度的三角形布設

(7)

(8)

式(8)為極小監測中誤差條件式。

通過對邊長a重新進行求導和推導，其結果與上述結論完全相同。以資驗核。

由式(7)得

(9)

式(9)為等腰三角形法計算公式。代入式(4)得

當三角形底邊長a是腰長b的1.362 5倍時，λ有最小值1.024 2，此時隧道拱頂沉降中誤差為mΔh=λminmΔl=1.024 2mΔl，這時的隧道拱頂沉降中誤差接近收斂計的量距誤差，即mΔh≈mΔl。

對于算例，因為2腰長度近似相等，所以按等腰三角形的式(7)或式(9)得到的λ值與用一般三角形法的式(3)計算得到λ值相等，均為1.024 2，說明該監測斷面所布置的三角形符合極小監測中誤差條件式。

2腰長度之差不要太大，比如不要超過±0.5m。在設計時，可通過計算趨近法獲得這個限值，使得由此產生的誤差[15]在允許的范圍內，比如可限制由此引起的沉降量中誤差不超過±0.1mm。還可以根據監測精度要求來確定，如果監測精度要求不高，這個差值還可以放寬，以方便洞內的監測作業。

4 結論與建議

變形監測的理論、技術在不斷發展，新的研究成果不斷涌現，本文通過對沉降量極小中誤差分析給出了一種三角形面積法求隧道拱頂沉降的最佳精度監測方案。根據這一方案，在采用三角形面積法監測隧道拱頂沉降時，應盡可能把監測斷面上的監測三角形布設成等腰三角形，并且使三角形的底邊長和腰長滿足沉降量極小監測中誤差條件公式，即把三角形的腰長布設成底邊長的0.733倍，這樣在儀器設備水平一定的情況下監測精度可達到最佳。本方法也適合于用其他儀器設備獲取三角形邊長的隧道拱頂沉降監測方法。

本文所述三角形面積法的隧道拱頂沉降監測是基于隨機介質理論的，并且用收斂計量取三角形的邊長，一般適用于對隧道圍巖收斂時的隧道拱頂沉降監測；對于僅發生隧道拱頂沉降的監測工作，是否也適用于三角形面積法以及應用本文提出的沉降量極小監測中誤差條件式布設監測所用的三角形，還有待于繼續研究。

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Optimal Layout of Monitoring Points for Tunnel Crown Settlement by Using Triangle Area Method

YANG Hao

(YellowRiverEngineeringConsultingCo.,Ltd.,Zhengzhou450003,Henan,China)

The triangle area method for tunnel crown settlement monitoring by using convergence gauge is an economical and high-precision deformation monitoring method. The mathematical analysis is made on the triangle area method; and an optimal triangle layout of monitoring points is decided by calculating peak value of medium error function of settlement. The results show that the underside length of the triangle, equaling 1.362 5 times waist length, is the best choice which can achieve optimal monitoring precision.

triangle area method; tunnel crown; settlement monitoring; medium error; optimal monitoring precision

2015-12-18;

2016-02-19

楊浩(1957—)，男，河南孟津人，1996年畢業于鄭州解放軍總參謀部測繪學院，工程測量與地籍管理專業，本科，高級工程師，主要從事航空攝影測量與工程測量以及計算機軟件研發工作。E-mail: canyine@163.com。

10.3973/j.issn.1672-741X.2016.07.016

U 45

A

1672-741X(2016)07-0868-04