“數”“形”結合是數學的核心思想和靈魂

◎吳宜朔

“數”“形”結合是數學的核心思想和靈魂

◎吳宜朔

數學是一門古老的學問，是人類進化史上的重要工具。其研究內容豐富、應用領域廣泛。其中，數與形是數學研究領域中兩個最古老、最基本的內容，它們相互轉化、相互滲透、相互支撐。中學數學將研究對象分為數和形兩部分，實際二者是密切交織和結合在一起的。有研究將數形結合作為一種數學思想方法和解題思路，更高程度上，數形結合是數學的核心思想和靈魂。因為它貫穿于數學的產生、發展過程中，滲透于數學的學習與應用中。

數學是因生產實踐需要而早在遠古時代就產生的古老的基礎科學，其工具性和實用性特征顯著，所以，被幾乎所有學科和領域廣泛使用；又因其極強抽象性和嚴密的邏輯性，在使用過程中，需借助圖形、圖像、圖示等直觀、簡潔的形式呈現出來，將復雜問題簡單化。

數學的產生于發展始終貫穿數形結合

人類最早用有形物體來計數。數學是研究事物數量關系和空間形式的學問。它起源于人類最早的用手指、腳趾或小石子、小木棍等計數方式，同時，在實踐中對各種形狀的物體如大、小、方、圓等，進行反復觀察、比較與使用，逐漸舍棄具體事物，進而抽象概括出形的概念。所以，最早的數學本身就是數形結合。其它學科尤其自然科學都借助數學這一工具，精確地反映客觀事物的運動形態和規律。

隨著生產力的不斷發展和人類認識水平的不斷提高，數學獲得了極大的進步，也提出了許多新的研究課題，誕生了許多數學理論成果，如概率論、運籌學、信息論、控制論等。數學與其它學科滲透，產生了諸多邊緣學科：物理數學、生物數學、經濟數學、語言數學等。數學方法被應用于大量學科，如分析處理人口學、人種學和考古學等科研數據，還被運用到研究經濟學、法學、史學和語言學等社會科學中。這諸多方面都離不開數形結合的思想和方法的指導與運用。

基于數學而誕生的計算機，更彰顯數學強大的工具性及實用性，也把數形結合的核心思想和靈魂發揮到極致。

數形結合是有效的教學方法和解題思路

以“數”化“形”。數學具有極強的抽象性和嚴密的邏輯性，在數學的教育教學中，必須借助一定的圖形圖示，將抽象的數學文字、數量關系等，借“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，把抽象問題具體化，讓晦澀難懂的數學問題變得簡單、直接、有趣、易解，優化解題途徑，降低數學學習的難度，增加趣味性和觀賞性。例如，在統計中，將繁雜的數字關系和表述可以通過一幅柱狀圖或扇形圖等直觀地呈現出來；在數量對比關系中，文字和數字的表述可以通過坐標系、帶比例尺的圖示等表現，使得對比分明、結果一目了然。解題中，尤其應用題，單純從文字表述容易使人思維混亂、邏輯模糊，但若將其恰當地繪出圖形，頓時豁然開朗，思路清晰，答案躍然紙上。

作為學生，要想真正學好數學并取得事半功倍的效果，必須樹立數形結合的數學思維和習慣，尤其在大型數學選拔考試和競賽活動中，巧妙運用數形結合化解抽象晦澀的數學問題，會讓人感覺絕處逢生。

以“形”變“數”。雖然圖形、圖示、圖像有形象、直觀、簡潔等優點，但在定量和精確性方面還必須借助數的計算和表示，特別是對于較復雜 的“形”，既要正確的把圖形數字化，還要關注圖形的特點，深挖題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，進行精確的分析計算。

“數”“形”滲透。中學數學最具代表性的數形結合就是解析幾何，實質就是代數問題與圖形之間的相互轉化：代數問題幾何化，幾何問題代數化。直白表述就是徹底明白和靈活運用參數的幾何意義和圖形的代數特征，達到數形的完美結合。

數形結合與轉化是數學在測繪應用中的經典表現

作為一門基礎學科，數學被用于幾乎所有學科。各學科運用數學數形結合與轉換，來解決自身的實際問題，而數學也借此為實際問題提供理論基礎。可見通過相互滲透與融合，數學和其他學科相互促進，獲得各自的進步。當然測繪也不例外。在數學與各學科的滲透發展中，測繪是運用數形結合與轉換最典型、最直接、最密切的學科。而三角幾何在高程測量、角度測量、距離測量中的作用更是不言而喻。

數學與測繪的關系源遠流長，人類最早測繪都是圍繞“數”和“形”這兩個重要的數學概念進行的，人類的測繪實際起源于丈量、勘測、界定土地，運用規矩（圓規和角尺等）等幾何工具，巧妙的將“數”與“形”結合，為生產實踐服務。據考證，三角幾何學作為控制測量的理論基礎與基本方法，早在古希臘時期就已被用于天文測量學，這可看做測繪學與數學聯系的早期最重要反映。

把數學思維與方法滲透于測繪，借助數學及其新的分支學科，極大地促進了測繪的發展。而應用的重點就在于把數學中的“數”“形”結合與轉化，更深層的運用到測繪中去，不僅提高測繪效率，更會使得測繪學的技術更進一步走向規范化、邏輯化、精準化。

近年來，隨著數學及其分支學科的迅速發展，測繪領域可借助的“數”“形”結合轉化工具也越來越先進高效，如小波分析、數學形態學、分形等，這些理論和方法也助推了大地測繪、攝影與遙感測繪、地圖制圖測繪、軍事防御工程測繪等諸多領域走向更高層次、更為深入的專業化、科學化、現代化發展軌道。

數學的博大精深及其廣泛的實用性，在人類發展史上所起的巨大作用是其它學科無法比擬的。我們在學習和實踐中要活學活用，認真體味。比如：近年對珠穆朗瑪峰高度的復測再次引起大家對測繪的關注；生活中，有很多人類自身無法達到的高度或者寬度，根本不容易直接測量，比如樓房、大樹、高塔等的高度及寬度，直接測量相對比較麻煩，但運用數學和物理等相關知識和方法，即可實現間接測量，且所花的人力、物力等成本都相對小的多。

（作者單位：山東費縣二中）