一類加法補集問題的研究

劉鑫媛，方金輝

(南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇 南京 210044)

一類加法補集問題的研究

劉鑫媛，方金輝

(南京信息工程大學數學與統計學院，江蘇 南京 210044)

加法補集；計數函數；上極限

1 預備知識

設A和B是無窮正整數集合.若它們的和A+B={a+b|a∈A，b∈B}包含所有充分大的整數，則稱A，B為加法補集.設A(x)和B(x)分別是集合A和B中不大于x的元素個數，即

1964年，Danzer[1]提出猜想：對于加法補集A，B，若

則

A(x)B(x)-x→∞，x→∞.

A={0+2a2+4a4+…+2sa2s，2i=0，1，…，a-1；s=0，1，2，…}，

B={1a+3a3+5a5+…+2s-1a2s-1，2i-1=0，1，…，a-1；s=1，2，…}，

2 主要結論及證明

本文對于上述加法補集A與B，當a=2時給出了滿足A(x)B(x)-x=1的所有正整數x，結論如下：

定理1 設加法補集

A={0+222+424+…+2s22s，2i=0，1；s=0，1，2，…}，

B={12+323+525+…+2s-122s-1，2i-1=0，1；s=1，2，…}.

對于正整數x，A(x)B(x)-x=1的充要條件是x=2k-1，其中k是正整數.

定理2 存在加法補集A與B，使得對任意正整數k，A(x)B(x)-x=k對于無限多個正整數x均成立.

定理1的證明 先證充分性.由文獻[4]，當x=22k-1時，A(x)B(x)-x=1.類似可得，當x=22k-1-1時，A(x)B(x)-x=1.充分性得證.

再證必要性.對任意正整數x，分以下兩種情況討論.

情形Ⅰx=η0+η12+η222+…+η2k-122k-1+22k，其中ηi=0或1.此時顯然B(x)=2k.

若x=22k，則A(x)=2k+1.此時由A(x)B(x)-x=1可得k=0，故x=1=21-1，從而只需討論x=η0+η12+η222+…+22m-1+22k(其中1≤m≤k)和x=η0+η12+η222+…+22m+22k(其中0≤m≤k-1)這兩種情況.

(1)x=η0+η12+η222+…+22m-1+22k，其中1≤m≤k.此時A(x)≥2k+2m，因此

A(x)B(x)-x≥(2k+2m)2k-(20+21+…+22m-1+22k)=

22k+2k+m-(22m-1+22k)=2m(2k-2m)+1.

由上式，若A(x)B(x)-x=1，則2k-2m=0(即k=m)，A(x)=2k+2m和x=20+21+…+22m-1+22k同時成立.綜上所述，若A(x)B(x)-x=1且x=η0+η12+η222+…+22m-1+22k，則

x=20+21+…+22k-1+22k，

即x=22k+1-1.

(2)x=η0+η12+η222+…+22m+22k，其中0≤m≤k-1.此時A(x)≥2k+2m，因此

A(x)B(x)-x≥(2k+2m)2k-(20+21+…+22m+22k)=

22k+2k+m-(22m+1-1+22k)=2m(2k-2m+1)+1.

由上式，若A(x)B(x)-x=1，則2k-2m+1=0(即m=k-1)，A(x)=2k+2m和x=20+21+…+22m+22k同時成立.而當x=20+21+…+22k-2+22k時，A(x)=2k+1，得出矛盾.

情形Ⅱx=η0+η12+η222+…+η2k-222k-2+22k-1，其中ηi=0或1.此時顯然A(x)=2k.

若x=22k-1，則B(x)=2k-1+1.此時由A(x)B(x)-x=1可得k=0，與k是正整數矛盾.所以只需討論x=η0+η12+η222+…+22m+22k-1(其中0≤m≤k-1)和x=η0+η12+η222+…+22m-1+22k-1(其中1≤m≤k-1)這兩種情況.

(1)x=η0+η12+η222+…+22m+22k-1，其中0≤m≤k-1.此時B(x)≥2k-1+2m，因此

A(x)B(x)-x≥2k(2k-1+2m)-(20+21+…+22m+22k-1)=

22k-1+2k+m-(22m+1-1+22k-1)=2m(2k-2m+1)+1.

由上式，若A(x)B(x)-x=1，則2k-2m+1=0(即m=k-1)，B(x)=2k-1+2m和x=20+21+…+22m+22k-1同時成立.綜上所述，若A(x)B(x)-x=1且x=η0+η12+η222+…+22m+22k-1，則

x=20+21+…+22k-2+22k-1，

即x=22k-1.

(2)x=η0+η12+η222+…+22m-1+22k-1，其中1≤m≤k.此時B(x)≥2k-1+2m-1，因此

A(x)B(x)-x≥2k(2k-1+2m-1)-(20+21+…+22m-1+22k-1)=

22k-1+2k+m-1-(22m-1+22k-1)=2m(2k-1-2m)+1.

由上式，若A(x)B(x)-x=1，則2k-1-2m=0(即m=k-1)，B(x)=2k-1+2m-1和x=20+21+…+22m-1+22k-1同時成立.而當x=20+21+…+22k-3+22k-1時，B(x)=2k，得出矛盾.

定理2的證明 設

A={0+222+424+…+2s22s，2i=0，1；s=0，1，2，…}，

B={12+323+525+…+2s-122s-1，2i-1=0，1；s=1，2，…}.

容易驗證A與B是加法補集.

對任意正整數k，存在無限多個正整數m使得

因此

(1)

令x=22m+1-k，注意到

20+22+…+22m≤x≤22m+1-1，

有A(x)=2m+1.由(1)式可得

從而B(x)=2m.

綜上，

A(x)B(x)-x=22m+1-(22m+1-k)=k，

定理2得證.

[1] DANZER L.übereine fragevong hanani aus der additiven Zahlentheorie[J].J Reine Angew Math，1964，214/215(1)：392-394.

[3] FANG JINHUI，CHEN YONGGAO.On additive complements[J].Proc Amer Math Soc，2010，138(6)：1923-1927.

[4] CHEN YONGGAO，FANG JINHUI.On additive complements Ⅱ[J].Proc Amer Math Soc，2011，139(3)：881-883.

[5] FANG JINHUI，CHEN YONGGAO.On additive complements Ⅲ[J].J Number Theory，2014，141：83-91.

(責任編輯：李亞軍)

On a problem of additive complements

LIU Xin-yuan，FANG Jin-hui

(School of Mathematics and Statistics，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044，China)

additive complements；counting functions；upper limit

1000-1832(2016)04-0024-03

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.006

2015-07-07

國家自然科學基金資助項目(11671211)；江蘇省高校研究生科研創新計劃項目(KYLX15_0884).

劉鑫媛(1991—)，女，碩士，主要從事數論研究.

O 189.1 [學科代碼] 110·17

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