這個100千米長的“梅森素數”有什么意義？

劉德

2016年1月7日，美國密蘇里中央大學數學家柯蒂斯·庫珀（Curtis Cooper）通過參與一個名為“互聯網梅森素數大搜索”（GIMPS）的項目，找到了目前已知的最大素數2^74207281-1。該素數是第49個梅森素數，長達22 338 618位；如果用普通字號將它連續打印下來，其長度可達100千米！美國《紐約時報》、英國廣播公司（BBC）等國際主流媒體都對這一科學成就作了報道，并給予了高度評價。

2 300多年前，古希臘數學家歐幾里得在名著《幾何原本》中就已經證明素數有無窮多個，如2、3、5、7、11等；同時他提出一些素數可寫成“2^P-1”（其中指數P也是素數）的形式。而這種特殊形式的素數，具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多的數學家（包括數學大師費馬、笛卡爾、萊布尼茨、哥德巴赫、歐拉、高斯、圖靈等）和無數的業余數學愛好者對它進行探究。

17世紀的法國數學家、法蘭西科學院的奠基人馬林·梅森（Marin Mersenne）對“2^P-1”型的素數進行過較為系統且深入的探究。為了紀念他，數學界就將這種素數稱為“梅森素數”（Mersenne Prime）。迄今為止，人們僅發現49個梅森素數。這種素數稀奇而迷人，故被人們稱為“數海明珠”。尤其近百年來，人們發現的“超大素數”幾乎都是梅森素數。

梅森素數貌似簡單，但當指數P值較大時，其素性檢驗的難度就會很大。法國數學家愛德華·盧卡斯（ douard Lucas）和美國數學家德里克·萊默（Derrick Lehmer）在這方面作出了重要貢獻；以他們的姓氏命名的“盧卡斯-萊默檢驗法”是目前已知的檢驗梅森素數素性的最佳方法。另外，從已發現的梅森素數來看，它們在正整數中的分布時疏時密、極不規則；因此，探究梅森素數的重要性質——分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。中國數學家、語言學家周海中在這方面取得了重大突破，以他的姓氏命名的“周氏猜測”敘述了梅森素數的分布狀況，并給出了精確表達式。

梅森素數的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，還需要進行艱苦的計算。而計算機的出現，尤其是互聯網的應用給人們尋找梅森素數提供了極大的便利，已成為不可或缺的有效工具。1996年初，美國數學家和計算機專家喬治·沃特曼（George Woltman）編寫了一個尋找梅森素數的計算程序，并把它放在網上供數學家和業余數學愛好者免費使用，這就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全世界第一個基于互聯網的分布式計算項目。人們只要從該項目下載開放源代碼的Prime95或MPrime軟件，就可以馬上尋找梅森素數了。

為了激勵人們尋找梅森素數和促進分布式計算技術發展，總部設在美國的“電子前沿基金會”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找梅森素數而設立的“協同計算獎”。它規定向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元，后面的獎金依次為：超過1 000萬位數，10萬美元；超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。其實，絕大多數研究者參與該項目不是為了金錢而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。

2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家埃德森·史密斯（Edson Smith）首先發現超過1 000萬位的梅森素數——2^43112609-1，該數有12 978 189位；他也因此獲得了EFF頒出的10萬美元大獎。這一重大成就，被著名的《時代》周刊評為“2008年度50項最佳發明”之一。不過，史密斯是私自利用學校的75臺計算機參加GIMPS項目的；本來這種行為應該被處罰，但鑒于他為學校爭了光，還是受到了校方的表彰。

目前，全球已經有193個國家和地區、60多萬人使用超過130萬個中央處理器（CPU）參與GIMPS項目。迄今為止，人們通過該項目已經找到15個梅森素數，其發現者來自美國（9個）、德國（2個）、英國（1個）、法國（1個）、挪威（1個）和加拿大（1個）。順帶一提，美國數學家喬丹·埃倫伯格（Jordan Ellenberg）認為，“發現一個梅森素數就像是在干草堆里找一根針那樣困難。這項發現在計算機工程領域的價值要遠大于數學領域的價值”。

梅森素數在當代具有重大意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑，其探究推動了“數學皇后”——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術、程序設計技術和計算機檢測技術的發展。難怪許多科學家認為，梅森素數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數學協會主席馬科斯·索托伊（Marcus Sautoy）甚至認為，它的探究進展不但是人類智力發展在數學上的一種標志，也是整個科技發展的里程碑之一。