基于COMSOL Multiphysics的有限元仿真模擬在《理論聲學》教學中的應用：缺陷態的分析

摘 要：文章探討了計算機仿真模擬在《理論聲學》教學中的應用。以缺陷態的分析為例，基于COMSOL Multiphysics有限元軟件的仿真模擬，我們提出了色散計算與本征模態分析相結合的教學模式。這種基于仿真模擬的教學模式有利于抽象概念的形象化，具有較好的教學效果。

關鍵詞：計算機仿真教學；多物理有限元模擬；缺陷態

1 概述

聲子晶體是物理類專業研究生課程《理論聲學》中非常重要的一塊教學內容。在聲子晶體中引入缺陷將導致缺陷態、波導態以及界面態等本征模態的出現。如何有效計算缺陷聲子晶體的色散關系并對這些模態進行本征分析是教學中的一大難點。比如，學生通常很難從一般的色散計算結果中有效地區分波導態以及界面態。文章提出在教學中引入計算機仿真模擬[1-3]，利用基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法數值計算缺陷聲子晶體的色散關系。在這種全矢量的色散計算方式中，學生能很方便的調取所有模態的本征信息，從而能全面而精準地掌握缺陷聲子晶體豐富多彩的色散性質，具有較好的教學效果。

2 有限元仿真教學模式的設計

以鐵柱四方排列在空氣中形成的二維聲子晶體為例。聲子晶體的填充率被設定為0.577。通過在晶體中沿著X方向移除一排鐵柱，從而引入一條沿X方向的線缺陷。利用基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法，我們數值計算了該缺陷聲子晶體結構的色散關系。

圖1給出了計算所得歸一化頻率介于0到1之間的帶結構，其中陰影部分代表沒有缺陷的完美聲子晶體的X方向投影帶結構。此處我們采用的是超胞算法，圖1中右下插圖給出了計算中所用的超胞結構示意圖；在求解過程中選取的邊界條件為Floquet periodicity邊界條件。

計算中所用材料參數為：

鐵的密度=7.67×103kg/m3

縱波波速Cl=6.01×103m/s

橫波波速Ct=3.32×103m/s

空氣的密度=1.29×10-3kg/m3

縱波波速C=0.34×103m/s

從圖1中我們可以很清晰的看到，在聲子晶體的完全帶隙中（頻率大約介于0.4和0.7之間）出現了三條導帶，分別被標記為帶1、帶2以及帶3。很明顯，這三條位導帶位于完整聲子晶體的帶隙頻率范圍內，其產生的機理一定與晶體中線缺陷結構的引入有關。根據作者多年教學的經驗，大多數學生此時很容易先入為主地做出判斷，認為帶1、帶2以及帶3均為由缺陷引入的波導態。事實上，在這三條帶中，帶2和帶3是波導態，而帶1則是與缺陷結構引入的表面所對應的表面態。在傳統的教學中，聲子晶體的帶結構通常由多重散射或者時域有限差分法計算得出，而這兩種方法一般很難在最終計算結果中保留所有模式的本征信息，于是進一步向學生分析這三條導帶的本征性質變得比較困難。

文章中圖1的色散關系由基于COMSOL Multiphysics軟件的有限元方法，這款軟件在計算中保留了所有模式的本征信息并且能夠非常方面的調出分析，從而進一步確定每種模式對應的物理圖像。

在此我們提出如下教學思路：首先，通過計算具有不同缺陷尺寸聲子晶體帶結構的方式向學生展示圖1中帶1、帶2以及帶3隨缺陷尺寸的變化趨勢，所計算結果由圖2（a）表示。

圖2（a）中不同形狀的數據點代表具有不同缺陷尺寸的聲子晶體結構，從該圖可以看出，隨著缺陷尺寸的改變，帶2和帶3的位置變化非常明顯，而帶1的位置幾乎不變。

這說明帶2和帶3與缺陷性質密切相關（由此我們推斷帶2和帶3是線缺陷中的波導態），但帶1和缺陷的關系并不大；其次，通過在圖1中引入水線（此處即為空氣中的聲速線，由圖中直線表示）不難發現，帶1始終位于體系水線以外，這說明帶1中的模式在空氣中始終是衰逝的，考慮到這些模式同時也在晶體內衰逝（因為帶1位于晶體的帶隙范圍內），我們不難推斷出帶1其實是與缺陷兩側晶體表面所對應的表面態。

根據作者的教學經驗，通常分析到這一步時，學生已經對這三條導帶的性質有了一個較為清楚的認識；接著，我們調出COMSOL Multiphysics中保存的本征模式形態以便于學生對以上分析結果形成感性認識。

圖2（b）和（c）分別給出了帶3和帶2上任意一點在缺陷中的本征聲壓分布，至此我們不難看出，帶3和帶2分別對應著波導模式中的對稱以及反對稱模式[4]；最后，為了進一步形象化以上討論結果，我們從帶1、帶2以及帶3中各自選取一個頻率，將工作在這三個頻率下的點源分別放置在由圖3（a）、（b）、（c）所示的體系中，我們利用COMSOL Multiphysics仿真模擬了這些體系在點源激勵下的聲壓場圖。

圖3（a）給出的是帶1中的一個模式被點源激發出的表面波，圖中點源被放置在晶體上表面的中央位置，我們可以看到帶1上的模式只能沿著晶體表面傳播，在垂直晶體表面方向聲場能量迅速衰減，表現出很明顯的表面波形態[5，6]。

圖3（b）給出的是帶2中一個模式被點源激勵的情形，圖中點源被放置在波導結構的左端口，由于帶2對應的是反對稱模式無法被外部點源激發，我們看到波導內部幾乎沒有激發出任何波動。

圖3（c）給出的是帶3中一個模式被點源激勵的情形，同樣圖中點源被放置在波導結構的左端口，由于帶3對應的是對稱模式可以被外部點源很好的激發，我們看到波導內部激發產生了非常好的傳播模式。

以上的數值模擬聲場分布和我們前面的分析完全吻合，能夠使學生對本節教學內容產生非常形象的認識，從而加深他們對聲子晶體缺陷態這一知識難點的理解和掌握。

3 結束語

計算機仿真教學是一項面向未來的現代化教學方式，在培養學生科學研究的興趣方面起著非常重要的作用。文章基于COMSOL Multiphysics有限元物理仿真軟件，以《理論聲學》課程中聲子晶體缺陷態這一教學難點為例，探討了仿真模擬教學在缺陷態色散關系計算以及本征態模式分析等方面的應用。通過將原本難于理解的概念化為仿真結果生動形象的展現，得到了較好的教學效果。

參考文獻

[1]邢敏，黃嵐.計算機模擬仿真教學的研究與實踐[J].現代教育科學，2007，1：152.

[2]丘錫彬，唐昌建.基于計算機模擬技術的現代物理學教學研究[J].高等理科教育，2010，6：74.

[3]盛勝我.有限元法在聲學中的應用[J].聲學技術，1988，7：34.

[4]J. H. Sun， and T. T. Wu， Analyses of mode coupling in joined parallel phononic crystal waveguides， Phys. Rev. B，2005，71：174303.

[5]D. Zhao， Z. Liu， C. Qiu， Z. J. He， F. Cai， and M. Ke， Surface acoustic waves in two-dimensional phononic crystals： Dispersion relation and the eigenfield distribution of surface modes， Phys. Rev. B，2007，76：144301.

[6]H. Jia， M. Ke， Z. J. He， S. S. Peng， G. Q. Liu， X. F. Mei， and Z.Liu， Experimental demonstration of surface acoustic waves in two-dimensional phononic crystals with fluid background， J. Appl. Phys，2009，106.

作者簡介：鄧科（1978-），男，湖南湘潭人，博士，副教授，從事凝聚態物理研究工作。