一類不連續生態系統的半穩定性分析

摘 要：通過對一類不連續的生態系統的穩定性問題進行了分析，得出此類問題的研究方法以及使用的工具，并利用圖論的知識和Lyapunov穩定性的方法，給出了此系統全局半穩定性的一個結論。

關鍵詞：不連續生態系統；半穩定性；Lyapunov函數

1 概述

生態學作為一個和我們生活息息相關的學科，例如害蟲防治、物種滅絕、氣候變暖等，再加上現在全球氣候問題的影響，受到了越來越多人的關注。種群生態學作為生態學的一個重要的分支，同時它的很多問題都要用到數學知識來解決，捕食者-食餌系統[1]，是種群生態學的一個重要的領域，描述的是物種間的相互關系，這種關系可能是彼此依賴的，也可能是相互競爭的。捕食者-食餌系統的研究能作為現代生態學的一個中心課題，很重要的原因是捕食現象在現實生活中很普遍，并且對我們的生活很有意義，首先捕食能夠限制種群的數量，我們防治害蟲，去除雜草，甚至是抑制細菌滋生都能用到。捕食和競爭一樣，都是能夠影響群落結構的主要生態過程，捕食同時也是一個主要的生存機制，生物的很多適應性都能夠用捕食者-食餌間的協同進化來進行說明。

捕獲策略在捕食者-食餌系統中有著十分重要的作用。文獻[2][3]等從不同方面對捕食者-食餌系統的捕獲策略進行了研究，這些策略都是建立在連續函數的基礎之上。在實際生產生活中，我們往往采用不連續捕獲策略，例如漁業管理部門規定休漁期以保護魚類繁殖和幼魚生長，保證了漁業資源的可持續發展，具有明顯的生態效益和經濟效益，由此看來，不連續捕獲策略更加符合實際情況，更有應用價值。文章主要討論了一類不連續的N種群的捕食者-食餌系統的半穩定性問題，借助于圖論和Lyapunov函數等工具，給出了系統全局半穩定性的結論。

2 基本知識與問題描述

推論3.1 如果系統的平衡點E*是唯一的一個正的平衡點，則該平衡點是全局漸進穩定的。這正是文獻[8]中的定理6.1。

4 結束語

文章利用圖論中的基爾霍夫矩陣樹定理，把一類食餌在n個斑塊之間擴散的不連續的捕食者-食餌模型構造成耦合系統，通過已有的半穩定性的判據和LaSalle不變原理及Lyapunov函數方法，得到了系統的半穩定的結論，并在此基礎上對結論進行了推廣，得到了該系統全局穩定性的推論。

參考文獻

[1]黃旭玲.關于幾類捕食者-食餌模型的研究[D].大連：大連理工大學，2008.

[2]李棟梁.生態系統中兩種群的捕食者一食餌系統的研究[D].長春：東北師范大學，2007.

[3]李軍.一類具有相互干擾的捕食-食餌系統的定性分析[D].南京：南京理工大學，2010.

[4]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006：248-301.

[5]胡躍明.非線性控制系統理論與應用[M].北京：國防工業出版社，2002：58-59.

[6]S.P. Bhat and D. S.Bernstein，Lyapunov analysis of semistability[J].in Proceedings of the American Control Conference，San Diego，CA，June 1999，pp. 1608-1612.

[7]D.E. Knuth， The Art of Computer Programming， vol. 1， 3rd ed.， Addison-Wesley， Reading，1997.

[8]M. Y. Li and Z. Shuai，Global-stability problem for coupled systems of differential equations on networks[J].Journal of Differential Equations，2010，vol.248，no.1，pp.1-20.

作者簡介：高永良（1973-），男，河南固始人，講師，博士，主要從事非線性系統方面的研究。