任意帶任意投影面的平面坐標轉換方法在高速公路用地紅線坐標和土地利用圖件套合的應用

摘 要：文章通過橢球變換方法和坐標轉換公式與步驟探討了任意帶任意投影面的平面坐標轉換方法，以通過平面坐標轉換方法的應用解決高速公路規劃路線坐標和土地利用圖件套合的問題。通過此方法在某一高速公路實際應用的數據分析結果表明，不同橢球變換方法在控制定位精度、長度變形上是一致的，且符合高速公路規劃路線坐標和土地利用圖件套合的精度要求。

關鍵詞：橢球變換；獨立坐標系；坐標轉換；高速公路

高速公路在工程測量中為了減少投影長度變形，通常建立獨立工程坐標系，此坐標系仍采用高斯投影方法，但投影面不是標準的參考橢球面，而是選定的補償高程面，一般選擇區的平均高程面，投影帶不采用國家6°帶或3°帶，而采用任意帶，投影的中央子午線通常設在測區中央，這樣就形成了任意帶任意投影面的獨立工程坐標系。因此實際高速公路用地紅線坐標通常是獨立工程坐標系下坐標，這和國土資源管理部門的以標準橢球面和標準分帶為投影的土地利用現狀圖數據不一致，不能簡單套合，從而帶來了不能準確計算和展示高速公路范圍內土地利用規劃情況、占用土地利用現狀地類等一系列業務問題。兩者之間的數據轉換問題實際就是任意帶任意投影面的坐標轉換計算問題，這必然涉及到坐標換帶問題和橢球變換問題，文章探討了各種橢球變換方法，橢球變換后計算大地坐標的不同方式及坐標換帶計算，實現了任意帶任意投影面的坐標換算，從而實現了高速公路用地紅線坐標和土地利用圖件套合問題的解決。

1 問題模型

問題的實質是不同橢球體上的大地坐標轉換，因此轉換主要分兩步進行，首先是建立起轉換前后橢球體元素之間的數學關系，即建立新橢球元素和舊橢球元素關系；其次是建立新舊橢球體之間坐標轉換的具體公式。在新舊橢球體之間坐標轉換前，需要用高斯投影反算公式求出平面坐標（新橢球體1上）在舊橢球（標準橢球）的大地坐標，即（x，y，h）I到（B，L，H）I。大地坐標轉換后則需要用高斯投影正算公式求轉換出的大地坐標（新橢球體2上）的平面坐標，即（B，L，H）Ⅱ到（x，y，h）Ⅱ。

1.1 橢球變換方法

選定任意高程面投影會引起標準橢球參數的變化，實際上是建立起了新橢球體并在此橢球體上投影計算。在工程測量中，通常選擇實際觀測的某一點或者多個點歸算得到的一個等效虛擬點作為基準進行橢球變換，得到新橢球。常用的橢球變換方法會引起坐標系原點、橢球長軸及扁率的變化，但一般不會引起坐標軸的旋轉和尺度的變化。假設橢球變換的基準點為P0（B0，L0，H0），此坐標為基準點在舊橢球上的大地坐標，投影面大地高為△H，此投影面大地高是新橢球面相對于舊橢球的大地高差。為了使用舊橢球和新橢球之間的大地坐標微分公式實現大地坐標的轉換，通常需確定新舊橢球體元素之間的關系式，新舊橢球體元素之間的關系式由幾何關系導出，通常將此幾何關系概括為以下述幾種方式。

1.1.1 橢球膨脹法

橢球膨脹法僅橢球長軸變化，橢球扁率、平移、旋轉、尺度參數均不變。橢球膨脹方法有多種，一種以投影面大地高△H作為長半徑的變化量，即

1.1.2 橢球平移法

橢球平移法將橢球沿法線平移至補償高程面處， 因此僅橢球中心變動，即 dX0≠0，dY0≠0，dZ0≠0，橢球長軸、扁率、旋轉、尺度參數均不變。其值為如下：

1.1.3 橢球變形法

橢球變形法使變換基準點上法線不變，橢球擴大變形至補償高程面處，這種方法橢球長軸及扁率均變化，平移、旋轉、尺度參數均不變，其變化量為：

1.2 大地坐標轉換計算

在橢球變換的基礎上，再應用新橢球面上大地坐標和舊橢球大地坐標的轉換方式可計算出新橢球面上大地坐標。轉換新舊大地坐標有兩種途徑。一種是：原大地坐標（B原，L原，H原）→空間直角坐標1（X1，Y1，Z1）（對應舊橢球）→空間直角坐標2（X2，Y2，Z2）（對應新橢球）→轉換后大地坐標（B轉，L轉，H轉）；另一種是：原大地坐標（B原，L原，H原）→大地坐標微分量（dB，dL，dH）→轉換后大地坐標（B轉，L轉，H轉）。由于前一種轉換方式涉及迭代計算，求解不甚方便，因此只討論以大地坐標微分公式為主要工具進行轉換。

1.2.1 廣義大地坐標微分公式

廣義大地坐標微分公式是融入橢球中心位移、參數變化、歐拉角和尺度變化的大地坐標微分公式，式如下：

式中A、B、C、D分為中心位移、歐拉角、尺度變化和參數變化的系數矩陣，詳見文獻[1]，代入（5）公式中的自變量向量的具體值，可以得到大地坐標的變化量。以上是通用公式，具體在不同橢球變換方法中有區別（不同的自變量分量取0或者不為0）。如果采用橢球膨脹法，根據式（6）可計算出各點大地坐標的改正量。

以上各式中變量意義如下：

α-舊橢球扁率；e-舊橢球第一偏心率；Mi-任意轉換點在舊橢球上子午圈曲率半徑；Ni-任意轉換點在舊橢球上卯酉圈曲率半徑；Hi-任意轉換點在舊橢球面上的大地高；Bi-任意轉換點在舊橢球面上的緯度；Li-任意轉換點在舊橢球面上的經度；dX0，dY0，dZ0-橢球中心坐標變化量（新橢球體相對舊橢球體）。

1.2.2 任意帶任意投影面的坐標轉換計算步驟

由于文章轉換過程步中都將標準橢球體視為舊橢球體，因此轉換步驟中以標準橢球體代替舊橢球體的表述。轉換分兩步，如下所述：

（1）將第一帶、指定高程投影面上的平面坐標（x， y， h）Ⅰ換算為標準橢球面上的大地坐標（B，L，H）Ⅰ

若根據廣義大地坐標微分公式計算，其步驟為：a.根據標準橢球參數和第一帶中央子午線，按高斯投影反算公式，將第一帶的平面坐標換算為標準橢球上的大地坐標，其目的是為了后面計算大地坐標改正量；b.選擇一定的橢球變換方法，根據式（1）、式（2）、式（3）、式（4）計算橢球長軸或扁率或橢球中心的變化量；c.根據式（6）、式（7）、式（8）計算出dB，dL，dH；d.計算新橢球參數aI=a+da，αI=α+dα，并根據新橢球參數和第一帶中央子午線，按高斯投影反算公式，將第一帶的平面坐標換算為新橢球上的大地坐標（B2，L2，H2）；e.根據下式得到標準橢球上的大地坐標結果B=B2-dB，L=L2-dL，H=H2-dH；

（2）將第一步得到的標準橢球面上的大地坐標（B，L，H）I投影到第二帶指定補償高程面的平面坐標（x，y，h）Ⅱ。

若根據廣義大地坐標微分公式計算，其步驟為：a.選擇一定的橢球變換方法，根據式（1）、式（2）、式（3）、式（4）計算橢球長軸或扁率或橢球中心的變化量。b.根據式（6）、式（7）、式（8）計算出dB，dL，dH。c.計算新橢球參數aI=a+da，αI=α+dα，及新大地坐標B2=B+dB，L2=L+dL，H2=H+dH。d.根據新橢球參數和第二帶中央子午線，用新橢球上的大地坐標（B，L，H），按高斯投影正算公式計算第二帶指定投影面上的平面坐標（x，y，h）Ⅱ。

2 應用實例-高速公路坐標轉換

根據上述公式和計算步驟在EXCEL下編制相應軟件，并選取了廣東省某在建高速公路某標段的全部用地紅線坐標點進行計算。該標段的用地紅線平面坐標中央子午線為114°16′，投影面大地高為160m，標準橢球體為西安80參考橢球體（IAG75），坐標形式為高斯坐標。根據土地部門的需求，要求將該標段的用地紅線坐標轉換為中央子午線為114°、投影面大地高為0m，亦即西安80標準橢球體上的標準分帶高斯平面坐標。由上分析知，本次轉換只需要轉換到第一步為止，是將各橢球變換后的坐標還原（還原轉換）到標準橢球面上的坐標，是實際任意帶任意投影面的平面坐標轉換中的比較特殊的情況。分別采用不同的橢球變換方法及不同的計算大地坐標變化量的方式進行坐標轉換。計算對象為此高速公路用地紅線坐標的全部807個坐標點，基準點選取全部點的幾何中心點作為等效虛擬點。表1是利用廣義大地坐標微分公式，不同的橢球變換方法求解的平面坐標結果（限于篇幅只列出了其中三個點）。

通過上表計算各點投影值的平面相對偏離值，可得橢球膨脹1與橢球膨脹法2的投影偏離最小，計算值達到了0.000008m，幾乎為0，說明兩種膨脹法坐標轉換的效果基本一致。橢球變形法和橢球膨脹法1的差距最大，點位偏離達到了0.030783m，但也屬于厘米級的誤差，由此可見，各種橢球變換的各個平面點的相對偏離值屬于厘米級誤差以下，因而對于1：10000土地利用圖件圖上2mm，實地2m以內的精度要求，轉換后的坐標誤差足夠達到精度要求，即坐標轉換后可以以厘米級的定位精度套合國土資源部門的土地利用圖件。

以807個坐標點中的1、2號點為基準，分別在原投影面和變換橢球后的新投影面上求出各點至1、2號點的距離（為全面衡量全標段誤差，增加跨度最大的4號點），將對應的距離相減得到長度變形值，其中兩條邊的結果見下表2。長度距離值的對比結果表明，采用不同的橢球變換方法得到的距離變形值基本相等，差距都在毫米及毫米以下，說明采用不同的橢球變換方法所產生的距離變形是一致的。從限制長度變形的角度來說，各種橢球變換方法結果一致。

3 結束語

通過研究分析了任意帶任意投影面的平面坐標換算方法及其在高速公路用地紅線坐標中應用，通過新舊橢球元素關系式和相應的廣義大地坐標微分公式并在EXCEL下編制相應軟件，解決了此類問題的坐標換算問題，并以某高速公路為實例，分析計算了高程補償面上的投影平面坐標換算至西安80坐標橢球和標準分帶投影平面坐標，通過進行點位精度和長度變形分析表明，各種橢球變換方法前提下的坐標轉換的結果基本一致，算例中定位誤差在厘米級，轉換后的高速公路用地紅線坐標也符合相應比例尺土地利用圖件套合后的點定位精度要求。

參考文獻

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作者簡介：羅可（1981-），男，助理工程師，碩士，從事環境地質、土地生態工作。