基于最小二乘原理的影子定位分析

摘 要：文章利用與太陽照射相關的若干角度參數，分析在太陽照射下，直桿的影子長度變化及影子軌跡，進而確定直桿所處位置。首先建立了以直桿長度，測量地的經緯度，測量時間為參數的影子長度的變化模型。在此基礎上，結合最小二乘原理，建立了一個影子定位模型來確定測量地的經緯度。

關鍵詞：太陽角度；影子長度；定位分析；最小二乘原理

1 問題描述

日照形成的影子會隨著太陽光線的變化而發生變化，而太陽對地球的照射會因照射時間、照射地點的經緯度的不同而不同。通過分析太陽照射下直桿影子的長度和位置變化，可以得出太陽的運動軌跡，進而確定出直桿所處的地理位置。

2 太陽角度相關量說明和計算公式[1]

3.2 影子長度變化規律

從上述所建立的模型中可以看出，影子的長度直接與直桿的高度h和太陽高度角有關，可得到以下結論：

（1）對于同一地點，同一時刻，桿子越長，影子的長度越大；（2）對于同一直桿，同一緯度地區，影子長度變化軌跡相同，且越往東，影子出現最短的時刻越早；（3）對于同一直桿，同一地點，同一日期，時刻越靠近正午，影子長度越小。（4）對于同一直桿，同一時刻，在太陽直射點處的桿子影子長度最小，影子長度隨著桿子位置向南北兩側遞減。

這都符合日常客觀規律。

4 影子定位模型[4]

很多情況下，我們想知道某次影子測量的測量地點，但是我們只知道測量時間和影子的頂點坐標，且不明確影子頂點坐標系的建立規則。因此，我們建立一個影子定位模型來確定影子的測量地點。

4.1 基于最小二乘的影子定位模型

在這個模型中，已知：某直角坐標系下影子n個頂點坐標（x[n]，y[n]）；影子頂點坐標測量時間間隔為t0，影子開始測量時間為北京時間t1，影子結束測量時間為北京時間t2。

4.2 實例說明

4.2.1 實例介紹

有一組數據[5]坐標系以直桿底端為原點，水平地面為XY平面。直桿垂直于地面。測量日期：2015年4月18日。

4.2.2 約束范圍確定

在北京時間14：42到15：42測量地點處于白天。由于時區之間的差異得到經度范圍在西經0.5度到東經169度之間，且在北京時間14：42到15：42測量地點的影子長度是在逐漸增加的，可以得出，此時當地時間已經過了正午12點，則當當地時間為正午12點時，北京時間t<14.7，根據公式（2）可得經度大于東經79.5度，則測量地點：E79.5°<？準

4.2.3 測量地點確定

利用基于最小二乘的影子定位模型，得：

根據地圖查找，該點處于南海區域。考慮到測量的實際操作性，以及模型存在的誤差，我們將范圍擴大到了距離該點最近的沿岸區域。將直桿所在地點大致定在中國海南樂東黎族自治縣的鶯歌海鎮，立國鎮等地區（N18.52°，E108.69°）或越南順化峰牙-已傍國家公園（N17.34°，E106.76°）。

5 結束語

在影子長度變化模型中，建立以正北方向為X軸，正東方向為Y軸的平面直角坐標系，利用太陽高度角？茁和太陽方位角？琢，確立了長為h的直桿的影子的頂點坐標，并進一步確定了直桿長度變化計算公式。

在直桿影子定位模型中，由于如何建立XY直角坐標平面未知，不能直接以arctan的值來當作實際測得的？琢值，因此，通過利用兩個測量時間之間的影子夾角建立了基于最小二乘的影子定位模型。

參考文獻

[1]劉海波，王建芳，于海芹，等.太陽能工程中幾種相關角度的計算及應用[J].創新與技術.

[2]于賀軍.氣象用太陽赤緯和時差計算方法研究[J].氣象水文海洋儀器，2006（3）：50-53.

[3]夏利江.青藏鐵路旱橋橋面遮陽對橋下及周邊凍土太陽輻射影響[J].地球科學進展，2014，29（3）：380-387.

[3]汽車減振器的發展與現狀[D].吉林：吉林大學珠海學院.

[4]武琳.基于太陽陰影軌跡的經緯度估計技術研究[J].Computer Vision and Image Understanding，2010，114（8）：915-927.

[5]2015年高教社杯全國大學生數學建模競賽A題附件[Z].