銅仁市控制紅綠燈車行時間的數學模型

摘 要：文章針對銅仁市北門十字路口處的交通流運用調查法、分析法、模擬法、對比法等進行研究，用MATLAB繪制出該處的車流密度與時間的變化圖像。結合統計的數據，整理后利用上述函數解出銅仁市北門十字路口處在高峰期時車隊由堵塞狀態到正常狀態所需的時間在33到60秒之間，在非高峰期時所需的時間在13到45秒之間；并且此處交通信號燈車行時間安排在72到78秒之間是合理的。進而推斷銅仁市對紅綠燈車行時間的安排是合理的。

關鍵詞：交通流；堵塞狀態；MATLAB；銅仁市

1 概述

英國專家經過調查，得出“行人在過馬路時，等待時間最大限度為60s”而中國很多城市的交通信號燈（紅燈）的時間幾乎都超過了60s。銅仁市也不例外，文章針對此問題結合銅仁市的實際情況進行了探討。

2 交通流的基本函數

我們將同一車道上的所有車輛看成一個連續的流體，即交通流。在車道上選定一個點作為坐標原點，記為x=0，以車流運動的方向作為x軸的正方向。因此車道上的任意一點都可以用x軸上的點表示，于是對于每一點x和每一時刻t引入三個基本函數：

（1）車流流量函數（q（x，t）），它表示時刻t在單位時間內通過x點的車輛數

（2）車流密度函數（ρ（x，t）），它表示時刻t點x處單位長度內的車輛數

（3）車流速度函數（v（x，t）），它表示時刻t通過點x的車流速度

以上三個函數有著密切的關系——單位時間內通過x點的車輛數等于單位長度內的車輛數與車流速度的乘積[1]，即q（x，t）=ρ（x，t）v（x，t）

于是，知道車流速度v與車流密度ρ是成反比的，而實際生活中也確實如此。

為了便于研究，假定初始狀態是平衡狀態。比如：銅仁市北門十字路口處在初始狀態下，車流密度為0.2輛/每米左右。我們可以假定ρ是v的線性函數，即

顯然，q的極大值點為ρ*=。也就是說，當車道沒有阻礙時車流密度達到此車道上的最大密度的一半時，車流流量最大[4]。

3 間斷交通流模型

然而，實際生活中車流密度函數ρ（x，t）是會出現間斷的。它可能有一個，也可能有多個甚至無窮多個間斷點，但由于每個間斷點都有相同的性質，所以文章只討論一個間斷點的情況。假設該間斷點xs（t）存在于區間[x1，x2]上，那么在區間[x1，xS（t））和（xs（t），x2]上三個基本函數還是連續、可微的[3]，于是有

（6）式就是間斷交通流方程[3]，這對后面的解答非常重要。

4 銅仁市控制紅綠燈車行時間的數學模型

假定銅仁市北門廣場十字路口的交通信號燈處為原點，即此處x=0，當t=0+時交通燈變為紅燈，在t=σ時交通燈由紅燈變為綠燈，當t=tx時紅燈再次亮。那么紅綠燈時間應該控制的哪個范圍內才算合理，怎樣運用基本函數的變化來描述？下面運用車流密度函數就銅仁市北門廣場十字路口處的交通流的變化進行描述，從而驗證該處的紅綠燈車行時間是否合理。假定每次塞車都使車流密度達到了最大，速度減小到0。

4.1 銅仁市北門十字路口處交通流圖形

說明：當車隊行駛35S左右時，密度接近最大密度的一半，此時車流流量接近最大。根據（3）式知道，銅仁市北門十字路口處因紅燈形成的堵塞狀態在綠燈亮時大概需35秒才會消失。

4.2 銅仁市紅綠燈車行時間是否合理

通過統計知道銅仁市北門十字路口處的交通信號燈在高峰期時紅燈時間約σ1==72秒，綠燈時間約σ2==43秒。此時用ρ0/ρm=使堵塞狀態消失的車輛數/紅燈使所停下的車輛數來計算，知ρ0/ρm的最小值為5/11、最大值為14/17。用同種方法可算出在非高峰期時紅燈時間約為78秒，綠燈時間約為42秒，ρ0/ρm的最小值為1/6、最大值為7/12。

在高峰期時，結合數據以及（11）式，在運用MATLAB可以繪制出圖2。

說明：該圖可以很直觀的反應出在現實生活中由于車流密度的不連續性，導致了td的波動現象。

同樣，在非高峰期時也有圖3

說明：和圖2比較知道車流在非高峰期時密度相對要穩定。

事實上，在（11）式中，如果將td取為60秒（行人過馬路能忍受時間的最大限度），那么結合（11）式解得銅仁市北門十字路口處在高峰期的紅燈時間σ∈[108，330]（單位：秒），在非高峰期的紅燈時間σ∈[72，144]，而該處紅燈亮的實際時間（72秒、78秒）都接近108秒、72秒（上述理論區間的最小值）。所以，銅仁市北門十字路口處控制紅燈時間是合理的。

另一方面，由于當交通燈由紅變綠時，密度由最大值ρm逐漸減小至初始值ρ0，并且在交通信號燈快變成紅燈，即t=σ-時，密度取得最大值ρm；之后密度才逐漸減小到初始值ρ0。又因為以上這個變化過程所需要的時間就是車隊由堵塞狀態到正常狀態所需的時間，所以根據銅仁市北門十字路口處在高峰期時ρ0/ρm在[5/11，14/17]內，并且紅燈時間為72秒，知道車流從堵塞狀態到正常狀態所需的時間在[33，60]。同理可算出在非高峰期時所需的時間在[13，45]；而該處在高峰期和非高峰期時綠燈亮的實際時間分別是43秒和42秒，都屬于上述兩個區間。由此知道，銅仁市北門十字路口處控制紅綠燈時間是合理的。

5 結束語

文章主要針對銅仁市北門十字路口處的交通流進行了研究，得出了此處紅綠燈車行時間安排是合理的。但由于時間的限制，所以統計的數據不足，由此推斷出銅仁市的紅綠燈車行時間的合理性有些牽強，這也是本篇論文不足之處。

參考文獻

[1]楊開春，段勝軍.交通流的紅綠燈模型[D].西安文理學院.

[2]王高雄，等.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社，1983：9.

[3]龍小強，晏啟鵬.信號燈控制下的交通流模型[D].西安交通大學交通運輸學院.

[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第三版）[M].高等教育出版社，2003：8.

[5]薛定宇，陳陽泉.高等應用數學問題的MATLAB求解[M].清華大學出版社，2004：8.