航空制導炸彈軌跡快速優化研究

聶聰, 張科, 張明環, 王佩

(1.西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 2.航天飛行動力學國家級重點實驗室, 陜西 西安 710072)

航空制導炸彈軌跡快速優化研究

聶聰1,2, 張科1,2, 張明環1,2, 王佩1,2

(1.西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072; 2.航天飛行動力學國家級重點實驗室, 陜西 西安 710072)

針對制導炸彈對地攻擊的垂直打擊的彈道特點,研究了多約束條件下的軌跡優化問題,提出了一種基于hp自適應Radau偽譜法(hp-RPM)的迭代求解策略。該方法允許不同區間的插值多項式的階次不同,并以軌跡曲率作為重新分配配點以提高區間求解精度的依據,當各配點處的計算精度達到設定的誤差允許范圍時,迭代停止。以某航空制導炸彈為對象進行軌跡快速優化,仿真結果表明,該方法能夠在多約束條件下快速生成滿足要求的軌跡,且解的Hamilton函數滿足最優性條件,與常規方法相比,平均增程效果達到11.45%。

制導炸彈;軌跡優化;殘差;hp自適應;Radau偽譜法

航空制導炸彈具有有效載荷比高、命中精度高、成本相對低廉等優點,是作戰飛機近距空中支援、執行縱深打擊、壓制和摧毀敵方防控系統等任務最有效的內埋式武器[1]。由于無發動機提供動力,其射程主要取決于投放時的高度、速度,因此需要進行軌跡優化,一般采用“滑翔+俯沖攻擊”的方案,但這種做法并不能得到最優的軌跡。

從原理上講,軌跡優化問題可歸結為多約束下的非線性最優控制問題,有間接法和直接法[2]2大類求解方法。間接法能夠求得精確解,但存在初值難以估計,收斂性無法保證的問題[3]。而直接法是將最優控制問題轉化為有限維的非線性規劃問題(NLP),應用NLP求解器進行求解。直接法中的配點法,尤其是近期發展起來的偽譜法,因其計算效率上的優勢,逐漸成為求解NLP問題的研究熱點。

Elnagar等[4]首次對偽譜法的轉換原理,收斂速度、求解效率等方面做了深入研究,奠定了偽譜法求解最優控制問題的基礎。偽譜法是將時間離散化為若干離散點,指標函數、微分方程和約束條件由離散點上的狀態變量、控制變量表示,再利用NLP求解器求解,相比于傳統的智能優化算法在計算時間、控制律的平滑度等方面具有明顯的優越性[5]。常見的偽譜法包括:Legendre偽譜法(LPM)、Gauss偽譜法(GPM)、Radau偽譜法(RPM)。Huntington等[6]指出上述3種方法在計算精度方面,GPM、RPM相當,均高于LPM;Gandhi等[7]研究表明在給定求解精度的條件下,RPM比GPM的計算代價更小;Rexius等[8]基于RPM研究了在氣動加熱、禁飛區等多種約束條件下的高超聲速飛行器的軌跡優化問題;袁宴波等[9]研究了Radau偽譜法在最優滑翔彈道應用方面的問題,給出了基于協態映射原理的數值解驗證方法。上述方法由于其節點分布形狀固定,容易導致需要較高維的插值多項式才能得到理想的近似解,甚至在采用高維多項式后仍然得不到理想的近似解。而自適應hp偽譜法具有計算稀疏性、快速收斂性的特點,對于需要改進求解精度的區間,可細化網格或提高多項式的階次,這種方法能夠大大減小計算代價,在多約束下的軌跡快速優化問題中,具有較大的優勢。本文利用基于hp自適應Radau偽譜法(hp-RPM)的優點,采用hp-RPM求解策略對航空制導炸彈在多約束條件下的滑翔軌跡進行快速優化。

1 軌跡優化問題

1.1 航空制導炸彈縱向運動模型

軌跡優化任務中,一般只考慮縱向運動的情況,為加快算法的收斂速度,宜采用無量綱化的制導炸彈縱向運動模型。

引入參考量Lr、Vr,則無量綱縱向運動模型為:

(1)

升力系數CL、阻力系數CD可近似為攻角的函數:

(2)

式中,Ma為飛行馬赫數;CL1、CD0、CD2為在不同馬赫數下根據攻角α擬合得到的氣動力系數。氣動參數根據某航空制導炸彈的啟動數據擬合獲得,擬合結果如圖1所示。

圖1 某航空制導炸彈升阻曲線

大氣密度、音速采用標準大氣擬合模型,其精確度能夠滿足航空制導炸彈的飛行空間。

(3)

1.2 約束條件

根據制導炸彈攻擊目標的特點,對邊界條件有一定的約束,如大的彈著角、末端速度,這樣能夠保證制導炸彈具有一定的侵徹能力。

1) 邊值約束

初值約束:

(4)

終端約束:

航空制導炸彈對地攻擊對彈道傾角和碰撞速度有一定的要求,以保持一定的動能侵徹目標,即

y(tf)=yfV(tf)=yfθ(tf)=θf

(5)

2) 過程約束

航空制導炸彈因無推力,操縱舵效率有限等因素,其需要滿足一些諸如過載、攻角變化率、攻角幅值等的限制,建立如下過程約束條件:

(6)

1.3 目標函數

對于軌跡優化,在滿足約束條件的前提下,射程越遠意味著攻擊范圍更廣,因此,取目標函數為

minJ=-x(tf)

(7)

2 hp-RPM求解最優軌跡

2.1 Radau基本原理

Radau偽譜法將控制變量和狀態變量離散化為時間軸上子區間[tk-1,tk]的一系列Legendre-Gauss-Radau(LGR)點,通過構造Lagrange插值多項式對其進行逼近,并對該多項式的求導以代替動力學微分方程[10]。

1) 時域變換

Radau偽譜法的定義域為[-1,1],而實際問題的定義域為[t0,tf],將[t0,tf]分成K個網格,且?t∈[tk-1,tk],k=1,…,K,t0=t1<…

(8)

2) 狀態變量與控制變量的插值近似

(9)

(10)

3) 動力學微分方程約束轉換為代數約束

對(9)式求導,有

(11)

則Nk個LGR點上的動力學微分方程約束變為代數方程約束,即

(12)

4) 約束條件的離散化

子區間內Nk個配點上的路徑不等式約束為

(13)

邊界條件

(14)

網點約束,有

(15)

5) LGR積分的性能指標函數

用LGR積分近似性能指標函數

(16)

(17)

經過上述變換后,最優控制問題轉化為求解離散節點上的狀態Xi和控制變量Uk,(i,k=1,…,K),以及初末時刻t0、tf(未給定),使得性能指標(7)最小,并滿足動力學方程約束(1),終端條件約束(5),以及過程約束條件(6)的最優控制問題。

2.2 hp-RPM自適應策略設計

hp自適應方法根據網格的曲率和約束方程的誤差判定自動調整網格數量和多項式階次[11]。通過判斷路徑約束誤差決定是否新增區間。在區間內通過判斷軌跡的曲率來決定采用增加配點數的策略,還是增加多項式階次的策略。設允許的最大誤差為εmax,最大允許曲率為rmax,則誤差和曲率比判據為:

1) 誤差判據

(18)

式中,i=1,…,Nk為第k個子區間的第i個配點。

則該區間上的采樣點在約束方程上的殘差為:

(19)

(20)

2) 曲率比判據

(21)

于是,第l個狀態在第p個采樣點處的曲率為

(22)

(23)

(24)

因此,曲率判據為e

2.3 算法步驟

hp-RPM求解航空制導炸彈軌跡優化設計問題的步驟如下所示,其迭代流程如圖2所示。

圖2 hp-RPM迭代流程圖

1) 初始化,給定初始狀態x0,誤差門限值εmax,選取K個區間,每個區間設定N個點;

4) 在局部殘差最大值所對應的采樣點上將區間進一步細化,新增區間配點數為N;

5) 若e

6) 所有子區間更新后,返回步驟2)。

3 仿真算例與結果分析

3.1 仿真條件

初始條件:

y(t0)=7 000 m V(t0)=240 m/s

終端條件:

y(tf)=0 m V(tf)=220 m/s θ(tf)=-75°

過程約束:

120 m/s≤V≤340 m/s

3.2 仿真結果

根據上述條件,選取Vr=240 m/s,Lr=7 400 m代入(1)式的無量綱化模型,采用第2節的hp-RPM優化求解策略對制導炸彈軌跡進行優化,優化后的狀態變量和控制變量曲線如圖3所示。

圖3 軌跡優化結果

其中,CM代表常規方法,Hamilton函數曲線如圖4所示。為驗證該增程效果,對其他不同初始條件下的軌跡快速優化問題進行了仿真,表1為在不同初始條件下經hp-RPM優化后和與常規方案相比的仿真結果。

圖4 hp-RPM算法給出的Hamilton函數曲線

如圖3a)所示,經hp-RPM優化后的曲線顯得更加平緩光滑,特別是彈道的后半段,這樣的安排,使得制導炸彈飛的更遠。圖3b)顯示,兩者在速度方面,常規方案的波動幅度要大,圖3c)展示,兩者的彈道傾角基本變化趨勢基本一致,但優化后的方案速度變化更加平滑,圖3d)～圖3f)所示兩者在彈道初始段和彈道末段的控制量相差較大,在30～100 s的中段兩者基本一致,兩者都滿足了攻角、過載、攻角速率、終端速度、終端彈道傾角的約束,而優化后,制導炸彈的飛行時間由原來的180 s增加至195 s。另外,若終端時刻自由,由極小值原理可知,哈密爾頓函數應該保持為零,圖4可知,哈密頓函數在10-5量級,在一定程度上說明了解的最優性。

該優化計算在CPU為3.3GHz/i5-4590,內存8G,Windows 7系統,Matlab環境下編程實現。算例中,優化的時間開銷為1.14 s,而在Matlab環境下求解一個二維優化問題,一般需要30分鐘。因此,hp-RPM在計算速度上具有很大的優勢。

表1 不同初始條件下hp-RPM優化算法增程情況

從表1可知,經hp-RPM優化后制導炸彈的射程得到了較大的改善,均有不同程度的提高。其中在序號1和2的條件下,增程小于10%,這主要在于這2個初始條件的初始高度較高,制導炸彈滑翔段時間較長,占比整個彈道的比例較大,常規方案中俯沖攻擊段使得飛行時間減少。在7 000 m高度,240 m/s速度投放,能夠增程10.94%,而在180 m/s時能夠增程8.42%,這是因為220 m/s的末端速度約束,迫使俯沖攻擊段需要調整較大的角度,導致飛行時間減少。在5 000 m高度投放,最大可以增加17.37%的射程,增程比較明顯。

綜上,hp-RPM能在多約束條件下快速生成符合要求的軌跡,計算量小,計算精度高,適合于工程應用。

4 結 論

本文采用了一種基于hp自適應的Radau偽譜法對航空制導炸彈進行快速軌跡優化,首先建立了優化模型,將優化問題轉換為NLP問題后,利用hp-RPM對其進行求解。仿真結果表明,在多約束條件下,該方法能夠快速的生成符合要求的軌跡,Hamilton函數曲線表明優化結果滿足一階最優性條件,計算速度快,射程增加幅度平均達到11.46%。對多約束條件下的軌跡優化問題,具有一定的參考價值。

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Rapid Trajectory Optimization for Air Guided Bomb

Nie Cong1,2, Zhang Ke1,2, Zhang Minghuan1,2, Wang Pei1,2

1.School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China 2.National Key Laboratory of Aerospace Flight Dynamics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China

According to the ballistic characteristics of the vertical attack by an aerial guided bomb, we optimize its trajectory and design the iterative variable-order solution strategy based on the hp-adaptive Radau pseudospectral method (hp-RPM) to rapidly optimize the glide trajectory under multiple constraints. The strategy allows for different orders of polynomial approximation in different intervals. We enhance the accuracy of the intervals by redistributing allocation points with the trajectory curvature. We iterate the redistribution of allocation points until their computational accuracy is acceptable to an error-tolerant degree. Then we simulate the rapid optimization of the trajectory of a certain aerial guided bomb. The simulation results show that the strategy can rapidly generate satisfactory trajectories under multiple constraints and that the Hamilton function of the solution satisfies optimal performance conditions. Compared with the conventional strategies, the trajectory optimized with our strategy is improved by an average of 11.46%.

guided bomb; trajectory optimization; residual; hp-adaptive; Radau pseudospectral method

2016-09-04

國家自然基金(61502391)與航天支撐基金(N2015KC0121)資助

聶聰(1986—)，西北工業大學博士研究生，主要從事飛行器導航、制導與控制的研究。

TJ761.5

A

1000-2758(2016)06-0963-06