Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛傅里葉擬譜格式

張宇, 鄧子辰, 胡偉鵬, 楊小鋒

(1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 楊凌 712100)

Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛傅里葉擬譜格式

張宇1, 鄧子辰1, 胡偉鵬1, 楊小鋒2

(1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.西北農(nóng)林科技大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 楊凌 712100)

Landau-Ginzburg-Higgs方程是一個(gè)重要的非線(xiàn)性波動(dòng)方程,應(yīng)用多辛保結(jié)構(gòu)理論研究了其多辛算法。首先,利用哈密頓變分原理構(gòu)造了Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛格式;隨后,通過(guò)空間方向上的傅里葉擬譜離散和時(shí)間方向上的辛歐拉離散得到了Landau-Ginzburg-Higgs方程的一種顯式多辛離散格式;數(shù)值實(shí)驗(yàn)?zāi)M了非周期邊界的扭狀孤立波,結(jié)果展示了多辛離散格式的精確性和保持局部守恒量的特性。

Landau-Ginzburg-Higgs方程;多辛積分;傅里葉擬譜方法;孤立波;局部守恒律

隨著科學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)水平的不斷發(fā)展,數(shù)值分析在科學(xué)與工程界發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。在具體的應(yīng)用過(guò)程中,隨著處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題難度的不斷加大,需要更好的數(shù)值方法作為基礎(chǔ)。科研人員對(duì)數(shù)值算法的發(fā)展要求是不僅與精確解誤差要盡可能小,更重要的是要保持長(zhǎng)時(shí)間數(shù)值穩(wěn)定性以及能夠體現(xiàn)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)內(nèi)在幾何性質(zhì)。馮康等[1]在“數(shù)值算法應(yīng)盡可能保持原問(wèn)題的本質(zhì)特征”的原則下,基于辛幾何原理，提出和發(fā)展了一套哈密頓系統(tǒng)辛算法,取得了一系列顯著的成果。然而在處理偏微分發(fā)展方程時(shí),卻沒(méi)有好的方法保證空間離散后的方程組仍保持哈密頓特性。針對(duì)辛算法處理偏微分方程時(shí)的缺陷,依照保結(jié)構(gòu)思想,Marsden[2]和Bridges[3-4]分別提出了無(wú)窮維保守哈密頓系統(tǒng)的多辛結(jié)構(gòu)和多辛算法的理論。作為辛算法的直接推廣,近年來(lái),由于在理論和大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中展現(xiàn)出了諸如精度高、穩(wěn)定性好以及保結(jié)構(gòu)等數(shù)值特性,多辛算法受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注:Moore等[5]提出和發(fā)展了多辛積分的后向誤差分析理論;王雨順等[6-8]在各種離散格式的構(gòu)造,如高階算法、保能量、保動(dòng)量算法等方面做了大量工作;洪佳林等[9]研究了隨機(jī)非線(xiàn)性發(fā)展方程的多辛算法;胡偉鵬等[10]將多辛算法引入到應(yīng)用力學(xué)領(lǐng)域的非保守系統(tǒng),提出和發(fā)展了廣義多辛算法。

非線(xiàn)性孤子理論在物理學(xué)、力學(xué)及自然科學(xué)的很多領(lǐng)域得到了大量的應(yīng)用。Landau-Ginzburg-Higgs方程是一個(gè)典型的非線(xiàn)性發(fā)展方程[11],胡偉鵬等[12]研究了其隱式多辛Runge-Kutta離散格式的數(shù)值行為,給出了算法高精度、長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定和保結(jié)構(gòu)等數(shù)值特性,并依照廣義多辛理論的思路[13],研究了微擾效應(yīng)對(duì)孤立波傳播過(guò)程中振幅和波速的影響。眾所周知,隱式格式在每一時(shí)間步都要迭代求解復(fù)雜的非線(xiàn)性方程(組),計(jì)算效率將受到影響。本文將構(gòu)造一種Landau-Ginzburg-Higgs方程的顯式多辛傅里葉擬譜格式,并對(duì)這種格式的數(shù)值特性進(jìn)行了研究。

1 Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛形式

依照Bridges構(gòu)造多辛形式的思想[4],其基本思路是通過(guò)引入適當(dāng)?shù)恼齽t變量,將高階偏微分方程(組)系統(tǒng)降階為一階偏微分方程組對(duì)稱(chēng)形式,并通

過(guò)哈密頓函數(shù)來(lái)得到標(biāo)準(zhǔn)的多辛方程組。

Landau-Ginzburg-Higgs方程的形式如下

utt-γ2uxx+αu-βu3=0

(1)

式中，α, β, γ∈R為系數(shù)。

通過(guò)引入正則動(dòng)量v=?tu, w=?xu可得到Landau-Ginzburg-Higgs方程(1)的一階多辛偏微分方程組

vt-γ2wx=βu3-αu

-ut=-v

γ2ux=γ2w

(2)

如定義反對(duì)稱(chēng)系數(shù)矩陣M和K如下

則(2)式可以寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)的多辛形式

M?tz+K?xz=zS(z)

(3)

之所以稱(chēng)一階偏微分方程組(3)為多辛形式,因?yàn)槠錆M(mǎn)足多辛守恒律。依據(jù)多辛積分理論[4],其多辛守恒律具體形式可以表示為

?t(du∧dv)+?x(γ2dw∧du)=0

(4)

式中，∧為外積算子。

由于系數(shù)矩陣M和K的反對(duì)稱(chēng)性,通過(guò)(3)式兩邊分別對(duì)?tz和?xz做內(nèi)積,還可以得到另外2種重要的守恒量:局部能量和局部動(dòng)量守恒律。依照多辛積分理論[4],局部能量守恒律的具體形式為

(5)

局部動(dòng)量守恒律的具體形式為

(6)

局部保結(jié)構(gòu)算法的核心思想是把整個(gè)時(shí)間層上所保的結(jié)構(gòu)推廣到局部,使得算法能在局部領(lǐng)域和每個(gè)點(diǎn)上保持守恒性質(zhì),從而克服不同邊界條件的限制。這正是多辛算法在處理偏微分方程時(shí)的優(yōu)勢(shì)所在,可以應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域。在算例分析中將分析(5)式和(6)式的守恒性質(zhì)。

2 多辛形式的傅里葉擬譜離散格式

對(duì)多辛偏微分方程組(3)在空間方向進(jìn)行傅里葉擬譜離散、在時(shí)間方向進(jìn)行辛歐拉離散[14],可得到一種多辛離散方法,即傅里葉擬譜離散格式。

(7)

式中，μ=2π/(b-a)。

考慮對(duì)多辛形(3)式空間方向進(jìn)行傅里葉擬譜離散,可得

vt-γ2Dw=βu3-αu

-ut=-v

γ2Du=γ2w

(8)

如將(8)式寫(xiě)成緊湊形式,則有

(9)

對(duì)半離散格(9)式的變分方程兩邊取dzn的外積,由矩陣Szz(zn)的對(duì)稱(chēng)性,可得到傅里葉擬譜離散格(9)式滿(mǎn)足N個(gè)半離散多辛守恒律

(10)

式中

zn=[un,vn,wn]T

(9)式是空間方向采用傅里葉擬譜方法的半離散形式,如要得到全離散格式則需將時(shí)間方向進(jìn)一步離散。本文采用辛歐拉格式在時(shí)間方向?qū)?9)式進(jìn)行離散,可得到

(11)

式中矩陣M+和M-滿(mǎn)足關(guān)系

(n=0,1,…,N-1)

(12)

式中

(n=0,1,…,N-1)

(13)

由于格式(13)滿(mǎn)足離散多辛守恒律(12)式,則可稱(chēng)其為多辛離散格式。在下一節(jié)中將考察離散格式(13)的數(shù)值特性。

3 數(shù)值算例

為了研究離散格式(13)的數(shù)值行為,本節(jié)將給出一些算例結(jié)果。不同于隱式格式,(13)式為顯式格式,這避免了復(fù)雜的迭代過(guò)程,計(jì)算效率將得到提高。

考慮Landau-Ginzburg-Higgs方程(2)非周期邊界的扭狀孤波解如下

(14)

式中，c表示孤波波速。(13)式是一個(gè)3層的離散格式,在計(jì)算過(guò)程中應(yīng)給出前2層初值條件如下

(15)

圖1給出了傳播過(guò)程中不同時(shí)刻(t=5,t=10, t=15, t=20)的波形圖,其中實(shí)線(xiàn)為精確解的值,“·”號(hào)為數(shù)值解的值。由圖1可以看出,在孤波傳播的各個(gè)時(shí)刻,數(shù)值解和精確解都吻合良好,沒(méi)有隨著時(shí)間增長(zhǎng)出現(xiàn)明顯偏差。這說(shuō)明離散格式(13)很好地模擬了孤波演化過(guò)程,保持了孤波的基本幾何性質(zhì)。值得一提的是,本文中格式(13)在模擬非周期邊界孤波演化過(guò)程中給出了較好的結(jié)果。

圖1 不同時(shí)刻數(shù)值解和精確解的波形圖(其中實(shí)線(xiàn)為精確解,“·”為數(shù)值解)

為了研究數(shù)值精度,記錄了孤波傳播過(guò)程中不同時(shí)刻的數(shù)值誤差,在t=jΔt時(shí)刻的最大數(shù)值誤差可以表達(dá)如下

(16)

(17)

圖2 不同時(shí)刻數(shù)值解的最大誤差 圖3 不同時(shí)刻數(shù)值解局部能量和局部動(dòng)量最大誤差

4 結(jié) 論

多辛方法是一種局部保結(jié)構(gòu)算法,強(qiáng)調(diào)保持離散動(dòng)力系統(tǒng)的局部特性,其提出和發(fā)展拓寬了保結(jié)構(gòu)算法的適用性。本文基于多辛理論,得到了Landau-Ginzburg-Higgs方程的一種顯式多辛擬譜離散格式,給出了其多辛守恒律、局部能量守恒律和局部動(dòng)量守恒律的表達(dá)形式。數(shù)值模擬顯示了該離散格式的優(yōu)越性:在數(shù)值計(jì)算中很好地保持了動(dòng)力系統(tǒng)基本幾何性質(zhì);隨著孤波演化的過(guò)程中沒(méi)有出現(xiàn)明顯誤差累計(jì)過(guò)程;系統(tǒng)局部特性(局部能量和局部動(dòng)量守恒律)保持良好。數(shù)值結(jié)果體現(xiàn)了高效、穩(wěn)定的數(shù)值行為,這也正是多辛算法的優(yōu)勢(shì)所在。

[1] Feng K. Difference Schemes for Hamiltonian Formulism and Symplectic Geometry[J]. Journal of Computational Mathematics, 1986, 4(3): 279-289

[2] Marsden J E, Shkoller S. Multisymplectic Geometry, Covariant Hamiltonians, and Water Waves[J]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1999, 125(3): 553-575

[3] Bridges T J. Multi-Symplectic Structures and Wave Propagation[J]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1997, 121(1): 147-190

[4] Bridges T J, Reich S. Multi-Symplectic Integrators: Numerical Schemes for Hamiltonian PDEs that Conserve Symplecticity[J]. Physics Letters A, 2001, 284(4/5): 184-193

[5] Moore B, Reich S. Backward Error Analysis for Multi-Symplectic Integration Methods[J]. Numerische Mathematik, 2003, 95(4): 625-652

[6] Wang Y S, Wang B, Qin M Z. Numerical Implementation of the Multisymplectic Preissman Scheme and Its Equivalent Schemes[J]. Applied Mathematics and Computation, 2004, 149(2): 299-326

[7] Wang Y S, Wang B. High-Order Multi-Symplectic Schemes for the Nonlinear Klein-Gordon Equation[J]. Applied Mathematics and Computation, 2005, 166(3): 608-632

[8] Cai J X, Wang Y S. Local Structure-Preserving Algorithms for the “Good” Boussinesq Equation[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 239(239): 72-89

[9] Jiang S S, Wang L J, Hong J L. Stochastic Multi-Symplectic Integrator for Stochastic Nonlinear Schrdinger Equation[J]. Communications in Computational Physics, 2013, 14(2): 393-411

[10] Hu W P, Deng Z C, Han S M, Zhang W R. Generalized Multi-Symplectic Integrators for a Class of Hamiltonian Nonlinear Wave PDEs[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 235(4): 394-406

[11] 莫嘉琪, 王輝, 林一驊. 廣義Landau-Ginzburg-Higgs方程孤子解的擾動(dòng)理論[J]. 物理學(xué)報(bào), 2005, 54(12): 5581-5584 Mo Jiaqi, Wang Hui, Lin Yihua. Perturbation Theory of Soliton Solution for the Generalized Landau-Ginzburg-Higgs Equation[J]. Acta Physica Sinica, 2005, 54(12): 5581-5584 (in Chinese)

[12] Hu W P, Deng Z C, Han S M, Fan W. Multi-Symplectic Runge-Kutta Methods for Landau-Ginzburg-Higgs Equation[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2009, 30(8): 1027-1034

[13] 胡偉鵬, 張宇, 鄧子辰. 微擾Landau-Ginzburg-Higgs方程的保結(jié)構(gòu)數(shù)值分析[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 30(6): 957-960 Hu Weipeng, Zhang Yu, Deng Zichen. Structure-Preserving Analysis of Perturbed Landau-Ginzburg-Higgs Equation[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2012, 30(6): 957-960 (in Chinese)

[14] Chen J B. Symplectic and Multisymplectic Fourier Pseudospectral Discretizations for the Klein-Gordon Equation[J]. Letters in Mathematical Physics 2006, 75(3): 293-305

Multi-symplectic Fourier Pseudospectral Method for the Landau-Ginzburg-Higgs Equation

Zhang Yu1, Deng Zichen1, Hu Weipeng1, Yang Xiaofeng2

1.School of Mechanics, Civil Engineering and Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China 2.College of Science, Northwest A & F University, Yangling 712100, China

In this paper, the multi-symplectic method is used to study an important nonlinear wave equation, named Landau-Ginzburg-Higgs equation. Firstly, the multi-symplectic form of the Landau-Ginzburg-Higgs equation is deduced using the Hamiltonian variational principle. Then, the explicit multi-symplectic discrete scheme is derived by applying the Fourier pseudospectral method to space derivatives and the symplectic Euler method to time derivatives in the multi-symplectic form. The soliton solution with non-periodic boundary is simulated by the proposed scheme. The numerical results show that: the proposed scheme can simulate the soliton solution well and can preserve the local conservation quantities.

Landau-Ginzburg-Higgs equation; multi-symplectic integrator; Fourier pseudospectral method; solitary wave; local conservation laws

2016-03-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(11372252)資助

張宇(1988—),西北工業(yè)大學(xué)博士研究生,主要從事多辛方法在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用研究。

O241.82

A

1000-2758(2016)06-1011-05