一種基于大氣層外解析動力學模型的最優迭代制導方法

鄭旭, 高長生, 陳爾康, 荊武興

(哈爾濱工業大學 航天工程系, 黑龍江 哈爾濱 150001)

一種基于大氣層外解析動力學模型的最優迭代制導方法

鄭旭, 高長生, 陳爾康, 荊武興

(哈爾濱工業大學 航天工程系, 黑龍江 哈爾濱 150001)

固體火箭在實際飛行過程中其發動機參數會產生較大的攝動偏差,而傳統的攝動制導很難保證較高的制導精度,甚至會發散。另外,采用動力學數值積分的顯式制導算法進行實時計算又會帶來較大的計算量,從而難以滿足實際飛行的要求。針對這一問題,提出了一種基于大氣層外解析動力學模型的最優迭代制導方法。首先在大氣層外推導了解析動力學模型,然后基于Pontryagin極大值原理推導了最省燃料的推力控制方法,以共軛狀態向量和飛行時間為迭代變量給出了帶有多種終端約束的迭代制導算法。仿真分析了發動機參數和火箭初始狀態在最大正偏差以及最大負偏差情況下迭代制導精度,并進行了蒙特卡羅打靶仿真。仿真結果表明,提出的基于大氣層外解析動力學模型的迭代制導算法計算時間少、制導精度高、魯棒性強,具有較好的工程應用價值。

固體火箭；迭代制導方法；解析解；極大值原理；蒙特卡羅打靶

固體火箭推進技術以其結構簡單、維護簡便、比沖高、反應快速、成本低等[1]優點在各類火箭、導彈武器中得到了廣泛應用。世界各軍事大國投入了大量經費對固體火箭進行了研究,據統計,固體火箭在彈道式火箭中的比例達到了90%以上。雖然固體火箭較液體火箭具有諸多優點,但是其自身存在的缺陷也不容忽視,如固體火箭具有易燃易爆、對藥柱澆鑄質量嚴格、容易造成燃燒不穩定等缺點。其中固體火箭發動機在實際工作中的燃燒不穩定會造成發動機較大的推力偏差和比沖偏差[2],而這對火箭要實現高精度制導提出了很高的要求。

為了消除干擾以保證較高的交班點精度,傳統的運載器大多采用攝動制導策略。采用攝動制導的運載器射前參數裝訂到彈載計算機,計算量小,但攝動制導存在致命缺陷,如火箭發射前要進行大量的計算工作,而且其理論依據是基于小擾動的假設,因此像固體火箭發動機這樣在大參數攝動情況下其制導精度會顯著降低。針對固體火箭在飛行過程中面臨參數大擾動的問題,迭代制導方法得到了廣泛應用研究。迭代制導不需要在火箭發射前進行大量計算,其優勢是利用彈載計算機進行實時制導計算,其主要特點是運載器(火箭、彈道導彈、航天飛機等)在標稱彈道附近存在多條飛行軌跡,是一種路線自適應制導方法,具有很高的制導精度[3]。

目前,在迭代制導計算中動力學模型大多采用數值計算方法,需要消耗大量時間,難以滿足實時計算的要求。文獻[4-5]將狀態方程和代價函數分別進行線性近似和二次近似,提出了一種新的迭代算法來解決滿足多重約束條件下的最優控制問題。文獻[6-7]通過數值方法研究了運載器上升段閉環迭代制導方法,得出了滿足多種過程和終端約束條件下最優軌跡。文獻[8]在線性化的引力場中提出了一種迭代算法用于解決脈沖燃料最優交會問題,給出了詳細的迭代算法流程。文獻[9-10]在研究共面有限推力軌道轉移和運載器上升段大參數攝動問題時,基于極大值原理推導了最省燃料的控制模型,給出了兩點邊值問題的迭代算法。文獻[11-12]從最優控制出發,以推力的3個分量為控制變量,推導出了液體運載火箭的一種迭代制導算法,并分析了火箭發動機參數偏差對入軌點精度的影響。文獻[13]推導了運載火箭大氣層外滿足大姿態機動的自適應制導方法,仿真得出了最優飛行軌跡。

雖然迭代制導方法具有較高的制導精度,但動力學模型中采用數值計算方法將會消耗大量時間,導致工程適用性不強。當固體火箭穿過稠密的大氣層后,由于氣動力影響很小,因此可以簡化動力學模型,給出具有解析動力學模型迭代制導算法,進而減少彈上計算時間。本文首先在發射慣性系中推導固體火箭大氣層外動力學模型的解析解,然后基于極大值原理給出以最省燃料為性能指標的迭代制導算法,以共軛狀態向量和飛行時間為迭代變量求解滿足關機點狀態約束的最優姿態角,最后對固體火箭發動機參數存在大偏差情況下進行仿真分析,驗證該迭代制導算法的有效性、實用性和魯棒性。

1 大氣層外飛行動力學模型的解析解

固體火箭二級飛行時已在大氣層外,此時可忽略氣動力的影響。假設發動機的推力沿著彈體軸方向,則火箭在發射慣性下的動力學模型為

(1)

式中,r為火箭相對發射慣性系下的位置矢量,v為火箭相對發射慣性系下的速度矢量,g(r)為引力加速度矢量,aP為推力加速度向量。

由于g(r)是位置的函數,為求得動力學模型的解析解,取g(r)為飛行時間內的平均值,即

(2)

式中:g(r0)為初始位置r0時的引力加速度;g(rk)為關機點位置rk時的引力加速度。

首先令g(r)=g(r0),代入動力學模型的解析解(13)、(18)式得到關機點狀態參數,然后通過關機點位置rk求得g(rk),于是得到了(2)式中的g(r),然后再代入后面的動力學模型解析解得到rk,進而求得g(rk)和g(r)。重復以上過程,直到g(r)變化不大。

推力加速度aP可表示為

(3)

推力方向u可以表示成姿態角的函數,即

(4)

式中，φ為火箭相對于發射慣性系下的俯仰角。這里保持偏航角ψ和滾轉角γ為零。

在進行彈道設計時,設定俯仰角飛行程序為

(5)

圖1 設計的俯仰角變化值

將(4)、(5)式代入(3)式中,得到推力加速度為[17]

(6)

式中

于是動力學模型(1)可以改寫成

(12)

(13)

(14)

其漸進表達式為

(15)

式中

(16)

令

(17)

于是,積分微分方程(12)可得解析解為

(18)

于是,我們就得到了發射慣性系下大氣層外飛行動力學模型的解析解,即公式(13)、(18)。

2 最省燃料的控制模型

為了得到最省燃料的控制模型,需要將動力學模型與最優控制相結合,求解最優姿態角φopt。

動力學模型(1)中g(r)可以簡化為

g(r)=-ω2r

(19)

動力學模型(1)可以改寫成

(20)

最省燃料的控制模型可以描述成:根據火箭當前的狀態r(t)和v(t),選取最優的控制變量u(t),滿足關機點的約束狀態r(tk)和v(tk),且使火箭以最短的時間到達關機點,即使指標

(21)

達到極大。這里我們可以看出,此性能指標極大與時間最短達到關機點等價。

達到極大。這里我們可以看出,此性能指標極大與時間最短達到關機點等價。

選取哈密頓函數為

(22)

式中,λr、λv分別為r、v的共軛狀態。

由Pontryagin極大值原理,最優的推力方向u應使哈密頓函數H達到極大,由此我們可以得出

(23)

可見,最優的推力方向為共軛狀態λv的單位向量。

于是由(4)式可以得出最優φopt的表達式為

(24)

動力學模型(20)的共軛狀態方程滿足

(25)

具體展開為

(26)

由此得到共軛狀態向量λr和λv的解析表達式為

(27)

式中,λv0、λr0為共軛狀態向量初始值。

3 邊界條件

3.1 終端約束條件

由于火箭在每個制導周期內進行迭代制導過程中必須保證火箭關機點狀態滿足相應的約束條件,這里給出關機點處的約束誤差表達式。

橫向誤差

(28)

式中,rz為位置向量r的z方向分量,rzk為標稱關機點z方向位置分量。

高度誤差

(29)

式中,re為火箭實際關機點地心矢徑,為re=r+R0,rke為火箭標稱關機點地心矢徑,rke=rk+R0。R0為發射點地心矢徑,rk為標稱關機點位置向量。

射程誤差

(30)

式中,Re為地球平均半徑,為6 378.140 km。

速度傾角誤差

(31)

式中,rk、vk為標稱關機點的位置和速度矢量。

橫向速度誤差

(32)

式中,vz為速度向量v的z方向分量,vzk為標稱關機點z方向的速度分量。

速度誤差

(33)

由(28)～(33)式得到終端約束的向量為

(34)

3.2 橫截條件

由前面所得到的終端約束向量g,可得出滿足共軛狀態的橫截條件為

(35)

式中,k∈R6×1,為拉格朗日乘子向量,tk為助推段飛行時間。

哈密頓函數在最優軌跡終點處的取值滿足

(36)

4 迭代變量和迭代制導算法

4.1 迭代變量

由前面的論述可以看出,火箭的俯仰角φ與發動機的推力矢量方向u密切相關,而u又是共軛向量λv的單位向量。

因此,可以選擇迭代變量λv0、λr0和tk來規劃火箭的飛行軌跡。通過λv0和λr0可以解析得到λv和λr,進而可以得出火箭在剩余飛行時間段內的推力方向u,再根據當前的狀態和剩余飛行時間可以通過動力學模型解析解,得到關機點處的狀態rk和vk,這里只有滿足終端約束向量g和橫截條件(35)、(36)的λv0、λr0和tk才是符合要求的。因此,通過多次迭代得到在每個制導周期內的最優飛行軌跡,直至滿足終端約束條件時關機,迭代制導流程如圖2所示。

圖2 迭代制導流程圖

4.2 迭代制導算法

根據以上分析,將滿足終端約束向量g和H(tk)記為終端約束條件G,即

(37)

取迭代變量為

(38)

在飛行過程中某個制導周期內,假設存在ξ*,通過(23)式、(24)式、(27)式得到火箭最優姿態角,然后利用動力學模型的解析解求解關機點狀態量。ξ*需滿足G(ξ*)=0,設經過j步迭代得到ξj,在ξj附近進行一階泰勒展開,則

(39)

于是得到

(40)

迭代終止條件為

(41)

式中,ε為給定的精度值。當在某個制導周期內滿足終止條件時,迭代停止,火箭按照當前的姿態角飛行至關機點。

5 仿真計算

發射點為東經117.3°,北緯39.9°,目標點西經74°,北緯40.7°,發射方位角為31.4°。火箭相關參數為:推力為750 000 N,比沖為3 000 m/s,燃料質量為55 000 kg,有效載荷為1 000 kg,總質量為63 000 kg。火箭在給定的初始狀態下按照設計的姿態角程序飛行至關機點,得到了關機點狀態參數。火箭的初始狀態和終端狀態參數如表1所示。

表1 初始狀態和終端狀態參數

5.1 最大偏差條件下的仿真分析

固體火箭相關誤差參數的最大偏差值如表2所示,制導周期T=10 s。另外,仿真設定固體火箭初始位置偏差為Δr0=[700 600 500]Tm,初始速度偏差為Δv0=[8 7 5]Tm/s。 在兩種最大偏差條件下,仿真得到結果如表3、圖3和圖4所示。

表2 誤差參數的標稱值、最大正偏差(Case1)

表3 Case1和Case2情形下迭代變量計算值

圖3 Case1、Case2情形下迭代制導軌跡

圖4 Case1、Case2情形下姿態角變化

仿真采用的計算機配置為:Intel(R) Core(TM) i3-2100 3.10GHz 的CPU,內存3GB。當采用數值迭代算法在一個制導周期內得到制導指令所用時間為8.56 s,而本文采用的解析模型迭代制導算法所用時間僅為0.18 s,提高了幾十倍的計算效率,可以滿足實時計算的要求。

表3為固體火箭在2種大參數偏差情況下迭代變量優化值，圖3、圖4為迭代制導得出的三維飛行軌跡和姿態角變化，可以得出，火箭在2種大參數偏差條件下的制導軌跡滿足標稱關機點狀態約束條件，制導精度高、魯棒性強。

5.2 蒙特卡洛打靶仿真

假設各偏差均服從正態分布,仿真加入的3σ偏差值如表4所示。進行1 000次打靶仿真,得到的誤差參數如圖5～圖7所示。

表4 各誤差參數3σ值

從圖5～圖7看出,在給定誤差參數條件下,固體火箭關機點高度誤差最大為0.1 m,關機點橫向誤差最大為0.001 m,關機點射程偏差最大為0.25 m,落點縱向偏差最大為25 m,落點橫向偏差最大為4 m。另外,各偏差參數均集中在零附近。仿真表明本文提出的大氣層外基于解析動力學模型的迭代制導算法不僅計算效率高、實時性強,而且還可以保證較高的制導精度和較強地魯棒性。

圖5 關機點橫向、高度誤差 圖6 關機點射程誤差 圖7 落點縱向、橫向偏差

6 結 論

本文針對固體火箭飛行過程中存在大偏差以及顯式制導計算耗時的問題,結合最優控制提出了一種基于大氣層外解析動力學模型的最省燃料迭代制導方法,以共軛狀態向量和飛行時間為迭代變量求解了滿足多種關機點狀態約束的最優姿態角。最后仿真分析了固體火箭發動機參數和初始狀態參數存在最大正負偏差情況下的迭代制導精度,并進行了蒙特卡洛打靶仿真。仿真結果表明所提出的迭代制導方法計算時間少、精度高、魯棒性強,具有較好地工程實用價值。

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An Optimal Iterative Guidance Method Based on Exoatmospheric Analytical Dynamic Model

Zheng Xu,Gao Changsheng, Chen Erkang, Jing Wuxing

(Department of Astronautics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

The large perturbation deviations of engine parameters of solid rocket would appear in the process of actual flight, which is hard to guarantee superior guidance precision and even causes divergency. Additionally, a large amount of calculation would emerge in terms of explicit guidance of adopting numerical integration of dynamic model, which is hard to satisfy the requirements of the actual flight. To solve the problems, this paper presents an optimal iterative guidance method based on exoatmospheric analytical dynamics model. On the basis of flight dynamics model, the thrust control method of the most-saving fuel is deduced based on the Pontryagin maximum principle, and the iteration guidance algorithm whose iterative variables are conjugate state vector and flight time is given under the condition of a variety of terminal constraints. The iterative guidance precision is analyzed by simulation in the case of maximum positive and negative deviation concerned with solid rocket engine parameters and initial state, followed by monte carlo targeting simulation. The simulation results demonstrate that the proposed iterative guidance method based on exoatmospheric analytical dynamics model displays less computation, high precision, strong robustness and superior engineering application.

solid rocket; iterative guidance method; analytical solution; Pontryagin maximum principle; Monte Carlo targeting

2016-04-01

鄭旭(1988—),哈爾濱工業大學博士研究生，主要從事飛行動力學、制導與控制的研究。

V448.131

A

1000-2758(2016)06-1093-08