“因式分解”的巧分解

周紅星

因式分解是乘法公式的逆向運用，與整式乘法運算有密切的聯(lián)系。學生在解因式分解題時，往往會發(fā)生結(jié)果不是乘積形式，分解不測底等錯誤，如何讓學生真正會分解、巧分解呢？對于初中階段，常用的因式分解方法有：提公因式法、公式法、十字相乘分組分解法等。

【例1】 下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（ ）。

A.a（x+y）=ax+ay

B.y2-4y+4=y（y-4）+4

C.10a2-5a=5a（2a-1）

D.y2-16+y=（y+4）（y-4）+y

答案：C

分析：此題是考查對因式分解的理解，A是整式乘法，B、D等號右邊不是整式積的形式，而是和的形式，不是因式分解。

【例2】 把多項式6a3b2-3a2b2-12a2b3分解因式時，應提取的公因式是（ ）。

A.3a2b B.3ab2

C.3a3b3 D.3a2b2

答案：D

分析：在多項式6a3b2-3a2b2-12a2b3中，這三項系數(shù)的最大公約數(shù)是3，各項都含有字母a，b，字母a的最低次冪是a2，字母b的最低次冪是b2，所以各項的公因式是3a2b2，故選D。

確定公因式的方法：（1）對于系數(shù)（只考慮正數(shù)），取各項系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)；（2）對于字母，需考慮兩條，一是取各項相同的字母；二是各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低次，即取相同字母的最低次冪。最后還要根據(jù)情況確定符號。

【例3】把下列多項式分解因式：

（1）a2（x-y）+4b2（y-x）；（2）2x2y-8xy+8y

分析：（1）因式分解的平方差公式

兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即a2-b2=（a+b）（a-b）。

這個公式就是把整式乘法的平方差公式等號左右兩邊顛倒過來。

（2）因式分解的完全平方公式

兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方，即a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2。

①直接提取公因式（x-y），進而利用平方差公式進行分解即可；

a2（x-y）+4b2（y-x）=（x-y）（a2-4b2）=（x-y）（a+2b）（a-2b）；

②直接利用平方差公式分解因式，進而利用完全平方公式分解即可；

2x2y-8xy+8y=2y（x2-4x+4）=2y（x-2）2.

【例4】把下列多項式分解因式：

（1）3ax2-6ax-9a；（2）3x2+7xy+2y2

分析：（1）首先提取公因式3a，進而利用十字相乘法分解因式得出；3ax2-6ax-9a=3a（x2-2x-3）=3a（x-3）（x+1）.

（2）對于x2的系數(shù)不為1，我們可將系數(shù)化為1×3，3x2+7xy+2y2=（x+2y）（3x+y）；上述方法，就是十字相乘法，對于十字相乘法，書本中在“閱讀與思考”中出現(xiàn)，沒有直接講授，而是讓學生自己去探索，主動建構因式分解的方法。學生可以逆向思考從整式乘法入手，即先確定因式分解的形式，x2+px+q=（x+a）（x+b），再確定a，b的值。讓學生初步體會待定系數(shù)法及方程思想。把這種方法豎式表示出來，就得到了十字相乘法。

【例5】把下列多項式分解因式：

（1）4a2-b2-4a+1；（2）4（x-y）2-4x+4y+1

分析：（1）首先將4a2-4a+1組合，進而利用完全平方公式以及平方差公式分解即可；

4a2-b2-4a+1=（4a2-4a+1）-b2=（2a-1）2-b2=（2a-1+b）（2a-1-b）；

（2）將（x-y）看作整體，進而利用完全平方公式分解因式即可；

4（x-y）2-4x+4y+1=4（x-y）2-4（x-y）+1=[2（x-y）-1]2=（2x-2y-1）2

上述方法就是分組分解法，分組分解是分解因式的一種簡潔的方法，下面是這個方法的詳細講解。能分組分解的多項式有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）

我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。

同樣，這道題也可以這樣做。

ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）

因式分解時，根據(jù)多項式的特點靈活選擇分解因式的方法是關鍵，其一般步驟可概括為：一提、二套、三分組、四查。一提：如果多項式的各項有公因式，首先考慮提取公因式；二套：提公因式后或沒有公因式可提，就要考慮運用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三分組：就是合理分組再分解：四查：因式分解一定要分解到不能分解為止，要檢查每個因式是否還可以繼續(xù)分解。