打通算法多樣化與算法優化的脈絡

錢金勇

摘要：課程改革以來，算法多樣化深入人心。許多一線教師熱衷于算法多樣化，但是由于缺乏對算法優化理念的深入解析，產生了一些誤區：為算法多樣化而多樣化，沒有及時優化，導致教學中的一些遺憾。本文力求從“多樣化”和“優化”兩個角度去把握算法多樣化，打通它們之間的脈絡。算法多樣化是算法優化的前提和基礎，在尊重算法多樣化的前提下，要及時的優化。算法多樣化走向算理上的最優化，也是必然的趨勢。重視算法優化，會不斷地促進算法的“多樣化”。算法的優化，是在體驗與反思基礎上的內化過程。算法優化會促進個體的發展。只有打通算法多樣化與優化的脈絡，給學生一個扎實有效的課堂學習氛圍，激發學生的創造思維，打通算法多樣化與算法優化的脈絡，促進知識的內化。

關鍵詞：誤區；意義；打通脈絡；知識的內化

一、緣由

課程改革以來，對學生計算要求有所降低，也減去教材中一些偏、難、繁瑣的計算，但學生的計算能力不升反降。這是什么原因，這會跟我們所提倡的算法多樣化有關嗎？我針對自己課程改革教學多年的感受，以及與同事，同行交流的一些心得整理出來，確實我們計算教學的算法多樣化確實存在一些誤區。

二、算法多樣化的一些誤區

1、為算法多樣化而多樣化。（1）把算法多樣化等同于“一題多解”。“一題多解”是學生個體能力的表現，是一種很高的學習要求，在某種程度上說是很難達到的要求。算法多樣化是群體學習能力的表現，是學生集體的一題多解，是學習個性化的表現。因此，個體在解決問題時沒有必要掌握多種算法，讓個體掌握多種算法的教學定位無疑加重了學生的學習負擔，違背了算法多樣化的精神實質。（2）老師“索要”多樣化的算法。不能為了體現多樣化而多樣化，讓學生絞盡腦汁，想出與眾不同的、費解的算法，甚至引導學生尋求“低層次算法”。更不要為了湊數量，而介紹后續知識方法來充當現存的算法，學生不明白道理，只能死記硬背，結果是拔苗助長，事與愿違。

2、沒有及時優化。（1）算法是多樣化，但卻表面化。算法多的熱鬧，但都是浮于表面，造成了算法多樣化的表面化、形式化。（2）恰當使用“你喜歡怎么算就怎么算”。計算課教學中，教師常常會用“你喜歡那種算法就用那種算法”。急于讓學生去選擇“喜歡哪種算法”，沒有要回頭對各種方法進行評價與反思，通過對各種方法的辨析，來認識不同方法的特點與優勢，以此來達到“去偽存真、去粗取精”的目的，實現“優化選擇”。

以上情況的發生導致的結果是計算錯誤率的提高，以至于一些教師在懷疑算法多樣化的必要性，究其原因主要是教師對算法多樣化的認識存在著偏差。一方面認為要尊重學生，要讓學生的個性得到發展，另一方面又急于對算法進行歸納提升，使算法多樣化和算法優化失去關聯脈絡不通，達不到預期的效果。如何打通算法多樣化與優化的脈絡，需要先從了解什么是算法多樣化，什么是算法的優化？

三、算法多樣化與優化的意義

算法即算術方法。小學算法多樣化是指在小學數學教學中，特別是在四則運算中，鼓勵學生用多種多樣的方法進行計算，從而使學生的思維獲得某種訓練，使學生具有開放的思維和意識。所謂的“多樣化”是指“群體的多樣化”。小學算法優化，是指在小學數學教學中，根據學生的認知特點、積累的運算經驗以及學生擅長的計算思維方式，引導學生強化某種思維運算方式，從而使學生獲得一種基于自身個性的優化思維運算。有了對意義的深入理解，我們不難看出，多樣化與優化其實誰也離不了誰，它們是交融在一起。而如何恰當運用多樣化與優化，打通它們之間的脈絡，將是下面我要闡述的觀點。

四、打通算方法多樣化與優化之間的脈絡

1、尊重算法多樣化，是優化的根基。

（1）算法多樣化是算法優化的前提和基礎。愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決一個問題也許僅僅是一個數學的或實驗的技能而已，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創造性的想像力，而且標志著科學的真正進步。”這充分說明了從不同的角度思考問題的重要性。算法多樣化正是提倡引導學生在解決問題時，嘗試從不同角度、不同思路去考慮。同時，每個學生都有自己獨特的思維方式和解決問題的策略。有比較才有鑒別，有特殊才有一般，有多樣化才會有優化。只有引導學生算法多樣化，才能引導學生嘗試評價不同算法之間的差異，才能尋找解決問題的最佳途徑。這種最佳途徑是相對學生自身條件來說最好的思維運算，是相對優化的。

案例片段：20以內的退位減法。

例如，在“20以內的退位減法”“12—9”的教學中。學生得出了下面一些算法：①數數法；②破十法：10—9=1，2+1=3。③連續減：12—2=10，l0一7=3。④想加算減：9+3=12，12—9=3。⑤其他，聯想：11—9=2，2+1=3等……

這是我并沒有急于下結論，而是問：你認為那種方法好，你是怎么想的？

生1：我覺得破十法好，因為它好算。

生2：我是用第三種的，我爸爸教我的。

生3：我是用第四種的，我只用記一道算式就夠了。因為9+3=12。所以12——9=3……學生各有各的理由，在學生看來，他們的方法就是最好，而我們的教師自己要清楚那些是最好的，如何讓他們在這么多的方法中比較出來，感受算法優化的過程。這過程是一個促進學生學會反思、自我完善的過程。所以，教師應該把選擇判斷的主動權放給學生，為學生提供足夠的時間，充分交流的機會。教師引導學生進行討論交流、分析比較，讓學生在用自己的算法和用別人的算法計算時。認識到差距，產生修正自我的內需，從而“悟出”屬于自己的最佳方法。如上面“12—9”的多種算法呈現后，學生經歷以上過程就可以選擇出一般性算法，如第②～④種，即破十法、連續減、想加算減。教師要注意在引導評價算法時，不要講“優點”，而要講“特點”，把優點讓給學生自己去感悟，為學生多留一點思考的空間，使得所有學生都能在原有基礎上得到發展，才能達到優化算法的目的。從以上案例不難看出，如果沒有學生的多種方法，何來的比較，何來的方法優化。

（2）算法多樣化走向算理上的最優化，也是必然的趨勢。“算法優化意味著學生有一種基于天賦特點的優化思維運算，這是在算法多樣化的過程中符合邏輯的自然結果。”隨著小學生學段的增加，小學生數學思維逐步發展，算法多樣化走向算理上的最優化，也是必然的趨勢。

案例：（片斷）

12×4=48

師：請同學們想一想用什么方法這么快就算出是48呢。能把你的想法互相告訴你的同桌同學

生1：10×4=40，2×4=8，12×4=48

生2：12×4=12×2×2=24×2=48

生3：12×4=12+12+12+12=48

生4：6×4=24，6×4=24，12×4=48

師：以上幾種方法，你覺得那種口算方法比較快，那種口算方法比較慢？

經過討論學生一致得出方法1、2、4，都是比較快的。方法3是比較慢的。

師再追問：第四種真的快嗎？

如果是這樣的23×7=（ ），你會用那種方法？

生經過一會思考說：第一種……

兩位數乘一位數，按人們長期總結的經驗是直接從高位算起，并注意個位乘積的進位，再寫得數，這樣的速度比較快。為了使學生既能掌握這一方法，又能實現算法多樣化，所以在以上教學中教師首先放手讓學生充分展示自己的不同思考方法，緊接著引導學生比較那種口算速度快。學生在比較中至少感受到方法3是不快的，對于其他的方法，而是在計算23×7的環節中，使自己去感悟采用從十位開始的口算方法的優越性。

2、重視算法優化，體驗萬變不離其宗。

（1）學生算法的優化，是學生在體驗與反思基礎上的內化過程。算法多樣化是一種手段不是目的，出現多樣化的算法后，選擇哪一種方法，是每個學生面臨的問題。那么，對算法進行優化，則是學生數學思維質的飛躍。只有學生思維的飛躍，才有更多的想法，從而促進法的多樣化，算法的群體化。

案例：《小數加減法》（北師大課標實驗教科書四年級下冊）

心語陪媽媽到百聯超市購物，買了一瓶酸牛奶，單價1.25元；一袋餅干，單價2.41元。收銀臺要媽媽交3.66元，對嗎？

創設情境學生根據情境提出數學問題并列出算“1.25+2.41”后，教師讓學生自主思考計算方法。結果學生的想法主要有三種：

①利用生活經驗，結合實際情境來解決。1.25元等于1元2角5分，2.41元等于2元4角1分。1元加2元等于3元，2角加4角等于6角，5分加1分等于6分，合起來就是3元6角6分，以元作單位就是3.66元，算式是1.25+2.41=3.66元；

②運用整數加減法進行推理（如圖）。1.25元、2.41元可以分別看作125分、241分。

③借助數形結合直觀圖來解決（如圖）。

比較上述三類方法，從解決問題的策略來講，它們的確都能解決情境中的問題，也都能幫助學生理解小數加減法的本質意義。但是，教者如果僅僅滿足于此，那么，這眾多的方法在學生頭腦中就必然是孤立的、零散的、沒有結構的，甚至是相互干擾的。因此作為教師，有義務引領學生觀察、比較、分析、歸納、發現其中的奧秘，幫助學生理解方法表象后面的本質內涵。下面是一位老師對此思考后的嘗試：在學生交流介紹的時候，教師適時地抓住學生的關鍵語句，加以提煉：對于第一種類型，教師抓住了學生的“元+元”、“角+角”、“分+分”；對于第二種類型，提煉出了“塊+塊”、“條+條”、“格+格”；對于第三種類型，重點突出“個位+個位”、“十分位+十分位”、“百分位+百分位”。

由于有了這樣的提煉，學生很容易理解了三種方法的共同點：相同數位對齊，相同數位上的數相加減。舉一綱而萬目張，解一卷而眾篇明！對展示交流進行減法運算的意義正在于此。上述案例中，課堂雖然展示了多種方法，但是這些方法在學生頭腦中卻并不蕪雜。這是因為各種方法都有一個共同的繩——相同數位對齊，相同數位上的數相加減。只要一拎這根共同的繩，那么各種方法就會一拎而百順，綱舉而目張！

（2）個體的差異促進算法優化。小學生每個人都有自己的生活背景、家庭環境、特定的生活與社會文化氛圍，這導致了不同的小學生有著不同的思維方式，不同的興趣愛好，不同的發展潛能。小學生的差異是客觀存在的，教師應持一種客觀的態度，使不同的學生得到不同的發展。

案例《找規律》片段。

教師先讓學生聽一段有規律的鼓點音頻節奏，讓學生思考：

①找一找，它的規律是什么？

②想出一種自己喜歡的方法把這個規律表示出來，讓別人一眼就能看明白。

③在你的表示方法中，照這個規律排列下去。它的第17個是什么？

學生由于家庭環境不同、思維方式不同、文化背景不同，其對同一問題的理解和建構也各不相同。因此，學生紛紛展示了各自富有個性化的想法：

①用文字表示：強弱弱強弱弱……第十七個為弱；

②用數字表示：123123……第十七個為“2”；

③用符號表示：△□△○□……第十七個為“○”；

④計算：ABCABC……因為17÷3=5…2，所以第十七個應該是“B”。

“那么，哪一種方法更簡單呢？”隨著老師的詢問，學生幾乎異口同聲地認為第四種方法也就是計算的方法最簡單。

“為什么？”教師追問。

“因為計算省時，一道算式就夠了，不像字母、符號、漢字那樣要一個一個地板書，這樣數字大的時候就非常麻煩，比如說問第101個鼓點，想一想，如果用漢字寫要寫到什么時候？”

“那么其他方法就一點優點都沒有了嗎？”教師反問。

學生陷入了沉思，很快有學生發言了：“文字、圖形、漢字清楚直觀，答案是什么，一眼就能看清楚。而且它能保證答案絕對正確！”

“那么你覺得什么時候用什么方法就比較合適？”

“數字小時，比如說七八個時選擇圖形、文字、字母等方法比較合適；如果數字大了，用計算的方法相對來說簡單一些。

沒有“最好”的算法，只有“最適合”的算法。只有經過優化，多樣化才有意義。上述教學的意義正在于此。教學中，學生通過分析、比較，不僅明了了各種算法的價值和適用范圍，體悟了具體問題具體分析的策略，同時更重要的，學生在反思中形成了溝通接納的思想和并蓄包容的多元價值理念。而這不正是新興人才必備的基本素質嗎？

在對算法優化的認識上，也是如此。不同的小學生對算法優化的認識有差異。也許在多數人看來是不好的算法，但他卻認為是優秀的，因為他能理解，能應用，能幫他解決數學問題。教師不要急于評價學生的各種算法，應引導學生通過比較各種算法的特點，選擇適合自己的方法。只要是適合的，就是相對優化的算法。

算法優化與算法多樣化都有利于學生思維的發展，算法優化有利于培養學生思維的深刻性，算法多樣化有利于培養學生思維的靈活性和開放性。算法優化和算法多樣化如同一枚硬幣的兩面，二者密不可分，共同促使學生的思維從低級階段向高級階段發展。沒有算法優化，只有算法多樣化，只會使算法多樣化成為形式上的多樣化，不符合人類認知的規律。由此可見，算法多樣化和算法優化二者實質上并不矛盾。它們在本質上是兩種思維訓練。因此，在小學數學教學中，只要我們打通算法多樣和算法優化的脈絡，引導學生進行體驗與反思，自覺進行算法的優化，促進知識的內化。最終讓每一個學生在數學上都有所發展。

參考文獻

[1] 斯苗兒《小學教學教學案例專題研究》浙江大學出版社2005年3月第一版.

[2] 張奠宙著——《小學數學研究》高等教育出版社2009年一月第一版.

[3] 朱慕菊《走進新課程》北京師范大學出版社2002年6月第一版.

[4] 陸建霞“把握五個平衡，提高計算能力”《小學教學參考》2010年12月版.