例談幾何畫板在一次函數應用題的教學嘗試

張惠瑜

摘 要：讓學生經歷將實際問題抽象成數學模型，并利用模型解決問題，可以使學生獲得對數學理解，同時在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展.幾何畫板具有準確性、快速性、動態性等優點，運用它來探究一次函數模型應用題，可以改變以往的學習方式，讓學生以更加積極主動的姿態參與到問題的研究中，從而讓學生獲得更多的數學活動經驗.

關鍵詞：一次函數；模型；應用題；幾何畫板

引言

一次函數是初中階段學生學習的第一種函數，在一次函數學習中，學生可以體會函數的特點及函數的思維方式、研究方法和應用模式.學好一次函數可為學習其他函數奠定堅實的基礎.一次函數模型的應用問題是初中函數學習的重要內容.幾何畫板是一個優秀的教學軟件，它提供一個通用的數學和物理的教學環境，具有豐富而方便的創造功能.作為一個有力的幾何作圖工具，它可以把點和各類函數的圖象在坐標系中準確快速地描繪出來[1 ].幾何畫板與一次函數模型的應用題整合，可為師生的教學構建一個做數學的實驗平臺，能充分調動學生學習的積極性和主動性，彌補傳統教學方式的直觀性、動態性等不足，有利于重點難點的突破，提高學習的效率，優化課堂的教學.

筆者參加了《數學建模視角下的初中數學實驗教學研究》課題，展開了相關內容的學習和實踐.下面談談幾何畫板運用于一次函數模型應用題的實踐：

1 比較大小問題

一次函數方案選擇問題是一次函數應用題中一個重要題型，其中往往需要比較兩個函數的大小關系。

1.1 問題實踐

例1 一種節能燈的功率為10瓦（即0.01千瓦）售價為60元，一種白熾燈功率為60瓦（即0.06千瓦）售價為3元.兩種燈的照明效果一樣，使用壽命也相同（3000小時以上）.如果電費價格為0.5元/千瓦·時，消費者選用哪種燈省錢？

分析可得，用節能燈的總費用為：y1=0.5×0.01x+60，使用白熾燈的總費用為：y2=0.5×0.06x+3，引導學生利用幾何畫板生成的y1，y2圖象，用圖象法比較大小，在x軸的正半軸取點D，作過點D垂直于x軸的直線與y1，y2的圖象分別交于B、C兩點，隨著D點在x軸上運動，可以追蹤B、C兩點的坐標的變化情況，如圖1.

由圖1學生可以直觀地感受隨著x的變化y1，y2的大小關系的變化情況.從而體會用圖象法比較函數大小的直觀性.

1.2 體會

借助圖象比較兩函數的大小是比較函數大小常見的方法.以往動態問題的教授要在黑板上不斷比劃或者是畫出多圖，比較費時費力.而現在讓學生借助幾何畫板制圖，能讓原本靜止的直線動起來，交點也隨之動起來，進而生成兩動點的坐標，圖象的信息準確而豐富，讓學生進行分析和討論，激發學生學習熱情.學生在對比動態中兩交點的橫縱坐標時，能夠更加清晰地了解函數的大小隨自變量的變化情況.

2 擬合函數問題

函數與圖形的擬合，是指通過觀察圖形，讀取問題中的數據，合理地選擇相關的函數，并利用待定系數法求出函數解析式，從而解決問題.

2.1 問題實踐

例2 奧運會每4年舉辦一次，奧運會的游泳成績不斷地被刷新.如男子400m自由泳項目，1996年奧運冠軍的成績比1960年的約提高了30s，下面是該項目冠軍的一些數據：見表1.

根據上面資料，能否估計2012年倫敦奧運的冠軍成績？

可以利用幾何畫板把年份和對應的冠軍的成績作為坐標畫在平面直角坐標系中，為了更好地觀察點，可以把1980年認為橫坐標為0，從而有（0，231.31），（4，231.23），……，如下圖2，可直觀感受到這一串點基本在同一直線上，且從左到右呈下降趨勢，從而確定選用一次函數來擬合，此時引導學生利用幾何畫板畫直線的功能，選取其中兩點作一條直線，進行觀察.經多次選取觀察可得，當直線過第2點和第8點時，則這八個點有的這直線上，有的在直線兩側且比較接近直線，如圖2.

用第2點（4，231.23）及第8點（28，221.86）的坐標，求得冠軍成績與年份的近似符合的函數關系為y=-0.3904x+ 232.792.

運用所求得的函數可得：2012年時的x值為32，得y=-0.3904×32+232.792=220.2992（s）.因此，可以預測2012年奧運會男子400m自由泳的冠軍的成績約是220.2992s（事實上，2012年倫敦奧運會我國選手孫楊以3分40秒14的成績，即220.23s取得了冠軍，與預測的值相僅0.0008s！此次預測非常準確！）2016年時的x值為36，得y=-0.3904×36 +232.792=219.7376s，預測2016年的冠軍成績為219.7376s.從而體會通過擬合函數可以建立數學模型進行研究和預測的實際意義.

2.2 體會

生活中利用函數進行擬合分析是很有用的，但一些實際應用問題，數據可能比較大，比較不規整，若手工作圖，既費時費力且誤差會比較大，不利于分析，幾何畫板能夠準確快速生成坐標和函數，能克服這些問題.其次，對于給定的離散的點，需要嘗試才能確定函數的形式，正如上述的操作，需要多次作出圖象來判定其接近程度，使用幾何畫板能夠快速地進行擬合，建立模型，為后續運用函數解決問題節約了時間.

3 分段函數問題

分段函數是指自變量在不同的取值范圍內，其關系式（或圖象）也不同的函數.分段函數的應用題多設計成兩種情況以上，解答時需分段討論.在現實生活中存在著很多需分段的實際問題，例如分段計費、分段路程、分段面積等，因此，分段計算的應用題成了近幾年中考應用題的一種重要題型.

3.1 問題呈現

例3 依法納稅是每個公民應盡的義務，國家征收個人工資、薪金所得稅是分段計算的：總收入不超過2 000元的，免征個人工資、薪金所得稅；超過2 000元部分需征稅，設全月納稅所得額（所得額指工資、薪金中應納稅的部分）為x，x=全月總收入-2 000元，稅率如表2所示.

（1）若應納稅額為f（x），試用分段函數表示1～3級納稅額f（x）的計算公式；

（2）小張2008年10月份工資總收入為4 200元，試計算小張10月份應納個人所得稅多少元？

（3）已知小吳2008年11月份的應納個人所得稅額為475元，試計算小吳當月的工資總收入.

以下利用幾何畫板進行實踐活動.

經過分析得函數解析式化簡得：

借助幾何畫板生成函數圖象（由于不能重復命名，第二、三段函數暫時分別以g（x）、h（x）表示），將圖象生成為如圖3所示，第（2）問：當小張的工資總收入為4200元時，則此時的全月應納稅所得額x=2200，代入第三段函數解析式可得應納稅額為205元.也可利用幾何畫板作直線x=2200與分段函數的交點，所得交點的縱坐標即為應納個人所得稅額.第（3）問：以往的做法是令f（x）=475，分別代入三段函數的解析式，求得對于的x的值，再檢驗所得的x的值是否在對于的自變量的取值范圍之內.這樣做需要進行多次的計算.而學生利用畫板作出直線y=475與分段函數圖象的交點，則易得交點的橫坐標為4000，如圖3，即為全月應納稅所得額4000元，則當月的工資總收入為6000元.

3.2 體會

利用幾何畫板模擬分段函數圖像可讓我們直觀地感受到在不同的自變量的取值范圍下，函數的不同的變化趨勢，能夠方便得出每一個分段的最值，利用函數圖象可解決已知自變量的值求函數值的問題，或者已知函數值求自變量的值的問題，在分段函數中第二個問題往往需要討論，利用圖形法提高解題的效率，從而進一步體會數形結合方法的妙用。

4 體會與感悟

讓學生經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，并利用模型解決問題，可以使學生獲得對數學的理解，同時在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步與發展.幾何畫板具有準確性、快速性、動態性等優點，運用它來探究一次函數模型應用題，可以改變以往的學習方式，讓學生以更加積極主動的姿態參與到問題的研究中，通過觀察、猜想、交流、實驗、驗證、推理、自主探究，有利于學生數學建模、數形結合、分類討論等數學思想的形成，提高了學生解決問題的能力，體驗了數學的實用性，體驗了科技的便捷性.正如新課標所倡導的“把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現實的、探索性的數學活動中去.”“信息技術與課程整合”是我國面向21世紀教育教學改革的新視點.教師要積極主動地更新觀念，在學科教學中多嘗試各種教育技術工具，為學生創設更多實驗教學環境，以提高教學的效率.

參考文獻：

[1]李發斌. 利用“幾何畫板”動態學習一次函數的圖象和性質[J]. 軟件導刊，2005（2）：32-33.