基于選權迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法

馬洪磊，劉成龍

(1.中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710043；2.軌道交通工程信息化國家重點實驗室(中鐵一院)，陜西 西安 710043；3.西南交通大學 地球科學與環境工程學院，四川 成都 611756)

基于選權迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法

馬洪磊1,2，劉成龍3

(1.中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710043；2.軌道交通工程信息化國家重點實驗室(中鐵一院)，陜西 西安 710043；3.西南交通大學 地球科學與環境工程學院，四川 成都 611756)

當采用最小二乘法進行既有鐵路平面線形擬合時，需首先判斷測點所在位置的平面線形(即線形識別)并將實測數據分組，然后依據相應擬合模型對各組實測數據進行線形擬合。然而，既有鐵路平面線形的實測坐標數據不可避免地存在偶然誤差或粗差，這將對線形識別產生不利影響，從而導致實測數據分組不準確，進而造成線形擬合的效果較差。鑒于以上原因，提出基于選權迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法。該方法將各分組內不屬于待擬合線形內的測點視作含粗差的測點，并利用選權迭代法具備的較強抗差能力對其進行檢測和剔除，最終實現無需精確分組的既有鐵路平面線形擬合，獲得可靠的線形擬合參數估值。

最小二乘；既有鐵路；擬合；線形識別；粗差；選權迭代法

受列車重力、離心力以及其他各種因素的影響，鐵路軌道的空間位置及軌道不同位置間的相對位置會發生變化，從而造成既有鐵路軌道不平順和線形的整體偏移[1-2]。軌道不平順必將對列車運行的穩定性和舒適度產生不利影響，嚴重時甚至危及行車安全[2-4]，因此，需要定期對既有鐵路的幾何狀態進行檢測并對軌道進行調整以保證軌道的高平順性。常規調整方法是以設計線形為基準進行軌道調整，但當既有鐵路軌道位置發生較大的整體一致性偏移時，若仍以設計線形為基準進行軌道調整勢必會增加工作量和維護成本，嚴重時甚至無法進行軌道調整。針對常規調整方法存在的問題，文獻[5]在滿足《鐵路線路設計規范》的前提下，通過實測坐標構建平面及縱斷面上的優化線形，并依據優化線形進行軌道調整，最終使得在軌道調整量較小的同時實現軌道的高平順性，這對降低鐵路維護成本和提高維護效率具有重要意義。線形擬合是線形優化的前提，鐵路平面線形由直線、圓曲線、緩和曲線3種基本線形單元構成。由于不同線形的擬合模型不同，因此，采用最小二乘法進行線形擬合時，需首先進行線形識別并將實測數據分組[5]。因抗差能力較差，故用最小二乘法進行既有鐵路平面線形擬合對實測數據分組提出了較高的精度要求。針對上述問題，陳海軍[5]提出高精度的分段方法，但該方法是在假設實測坐標數據中不存在粗差的情況下提出來的，一旦數據存在較大或較多粗差，該方法便無法得到可靠的分組結果，進而導致所估線形參數不可靠。鑒于上述原因，本文提出無需對實測數據精確分組并具有較強抵抗粗差能力的既有鐵路平面線形擬合方法，稱之為基于選權迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法。

1 理論基礎

1.1 選權迭代法

最小二乘估計是建立在觀測值來源于正態分布基礎上的。在觀測值服從正態分布的情況下，最小二乘估計是最優線形無偏估計，具有最優統計特性[6]。然而正態分布是一種在假設或理想情況下的數據分布，大量實驗證明，嚴格地服從正態分布的觀測數據幾乎沒有[7-9]。統計學家研究發現，含有粗差的觀測量約占總觀測量的1%～10%?？共罟烙嬚轻槍ψ钚《朔ǖ挚勾植钅芰Σ钸@一缺陷提出來的，抗差估計對模型誤差，特別是粗差具有一定的抵抗能力，所估參數能夠排除或減弱受粗差的干擾[6]。抗差估計有很多種方法，但只有Huber提出的M估計有較強的實用價值，且比較容易實施[6]，選權迭代法是M估計的一種[6]。選權迭代法從第二次迭代開始利用權函數計算各觀測值的權，如果權函數選擇得當，且粗差是可定位的[9]，則迭代過程中含粗差的觀測值的權將越來越小，直到趨近于0。迭代終止時，相應的殘差將直接反映粗差的大小和位置[9]。實際作業中，外業采集的坐標數據很多，其中難免會存在一些包含粗差的數據，這些包含粗差的數據會對數據分組和線形擬合產生不良影響[10]。選權迭代法具有抵抗粗差能力強和易于編程實現的優點，可較好地顧及粗差的干擾，從而獲得可靠的線形參數。

1.2 權函數及其選擇

1.2.1 權函數

權函數是選權迭代法的關鍵，下面介紹幾種常用的權函數。

1)Huber權函數

(1)

式中：pi為初始權；c為常數，一般取值為2.0；Vi為觀測值改正數；σ為單位權中誤差。

2)丹麥法權函數

(2)

式中：pi為初始權；c為常數，一般取值為1.5；Vi為觀測值改正數；σ為單位權中誤差。

3)IGGⅢ方案權函數

(3)

式中：pi為初始權；Vi為標準化殘差[10]；k0通常取值為1.5～2.0；k1通常取值為3.0～8.5。

1.2.2 權函數的選擇

現有的權函數有許多種，除了上文提及的3種權函數外，還有Hampel權函數、Fair權函數和Tukey權函數等。選權迭代法抗差效果的好壞很大程度上取決于所使用的權函數，權函數的良好選擇取決于測量數據的誤差分布情況，但誤差分布難以準確獲知，故目前只能在若干種有代表性的類型中去選擇。馬洪磊[10]根據經驗和實際應用效果，認為丹麥法權函數進行粗差檢驗比較有效。楊元喜[11]則認為選用的權函數應包含3段：1)自然段：當觀測誤差很小時，觀測值應該取原始權；2)可疑段：當觀測誤差較大，但并不顯著時，觀測值應降權；3)淘汰段：當觀測值顯著異常時，應將其淘汰，即取零權；楊元喜[11]對幾種權函數進行分析，認為Huber權函數和丹麥法權函數均少淘汰段，這不利于提高權函數的抗差能力；IGGⅢ方案更適用于測量計算。由此可見，權函數的選取尚未固定，為找出適用于既有鐵路平面線形擬合的權函數，對幾種常用的權函數的計算結果進行比對，最終確定適用的權函數。

1.3 迭代終止條件

任何迭代計算都需要對應的終止條件，選權迭代法也不例外。相鄰2次迭代的平差結果可作為判斷迭代是否終止的基本信息，平差結果包括：1)待估參數平差值；2)觀測值殘差；3)單位權中誤差等。迭代終止與否的判斷可通過分析相鄰兩次迭代所得平差結果中某一項或某幾項的差異大小來實現(如當相鄰2次迭代所得平差結果中的待估參數平差值的差異很小時，便可終止迭代)。另外，相鄰2次迭代過程中所得權陣的差異情況也可用來判斷迭代是否終止，即當相鄰2次迭代過程中所得權陣相同或差異很小時，便可終止迭代。由于迭代終止條件非本文的研究重點，故本文將沿用最常用的迭代終止判斷條件，即由相鄰2次迭代所得待估參數平差值的差異大小來決定是否繼續迭代。

2 基于選權迭代法的既有鐵路平面線形擬合模型

鐵路平面線形由直線、圓曲線和緩和曲線3種基本線形單元組合而成。由于緩和曲線參數可由直線和圓曲線參數計算得到，因此，只需對直線段和圓曲線段進行線形擬合。不同線形的擬合模型不同，但選權迭代法具有較強抵抗粗差的能力，因此，該方法對實測數據分組的精度要求不高，現有實測數據分組方法便可滿足要求，包括：1)基于超高的實測數據分組方法；2)基于斜率的實測數據分組方法；3)基于正矢的實測數據分組方法。為充分利用實測數據信息，建議把模糊測點(即無法確定其是否處于待擬合線形中的測點)歸入待擬合線形的實測數據分組中。如圖1，當擬合直線AB時，由于A和B兩端都與緩和曲線相連，通過實測數據很難找到直線AB的端點，此時，只需將兩端的模糊測點納入該直線段的實測數據分組中即可。

圖1 某鐵路平面線形示意圖Fig.1 Schematic diagram of a railway horizontal alignment

2.1 直線擬合模型

直線是組成鐵路平面線形的基本線形單元之一，設直線方程為：

yi=kxi+b

(4)

式中：(xi,yi)為測點平面坐標；k和b為直線的斜率和截距。

由式(4)可得直線誤差方程：

(5)

(6)

殘差V可由下式計算：

(7)

驗后單位權方差為：

(8)

式中：n為觀測值數；t為必要觀測值數。

至此，第1次最小二乘平差計算完畢?；谶x權迭代法的直線參數計算還需進行以下步驟：1)依照所選取的權函數(權函數的選擇將在下文討論)計算新權陣并平差；2)重復步驟1，直到滿足迭代終止條件。

2.2 圓曲線擬合模型

(9)

(10)

由式(9)～(10)可得圓曲線誤差方程：

(11)

設觀測值權陣為P(常取單位陣)，令

B=

則圓曲線參數近似值改正數的最小二乘解為：

(12)

殘差V可由下式計算：

V=B·δx-l

(13)

驗后單位權方差為：

(14)

式中：n為觀測值數；t為必要觀測值數。

至此，第1次最小二乘平差計算完畢?；谶x權迭代法圓曲線參數計算還需進行以下步驟：1)依照所選取的權函數(權函數的選擇將在下文討論)計算新權陣并平差；2)重復步驟1，直到滿足迭代終止條件。

利用選權迭代法計算出各直線段和圓曲線段的線形參數后，便可進行緩和曲線段線形參數的計算工作。計算方法詳見文獻[5]或其他相關文獻。

3 對比分析

根據本文提出的方法，筆者用C#語言在.Net平臺上編程實現了既有鐵路平面線形的擬合計算。為選擇適用的權函數并驗證本文方法的正確性和可行性，進行一系列對比和分析。由于緩和曲線參數是由直線和圓曲線參數計算得到，故緩和曲線參數的精度取決于直線和圓曲線參數的精度，為縮減篇幅，只進行前、后夾直線斜率和圓曲線半徑的對比。

為獲得較好的擬合效果需選擇良好的權函數，而抵抗粗差能力的大小是權函數好壞的直接表現，因此，可通過對比不同權函數抵抗粗差能力的大小來選擇權函數。為此，在AutoCAD上模擬一段鐵路軌道線形(包括前、后夾直線、緩和曲線和圓曲線)，并每隔約0.65 m讀取一個軌道中線坐標組成坐標觀測文件(共獲得7 314個測點坐標)。分別用Huber權函數、丹麥法權函數和IGGⅢ方案權函數進行擬合計算，將計算結果與真值對比。對比情況見表1。

表1 不同權函數計算結果對比Table 1 Results of different weight functions

由表1可知：1)Huber權函數的計算結果與真值差異較大；2)丹麥法權函數和IGGⅢ方案權函數的計算結果均與真值差異較小。

為對比本文方法與最小二乘擬合方法，進行以下計算和對比，見表2～4。

表2 最小二乘擬合法計算結果Table 2 Results of least-square fitting method

表3 觀測文件中的特征點附近加入10個1 cm的粗差后2種擬合法計算結果
Table 3 Results of two fitting methods after adding 10 1 cm-gross-errors to feature points randomly in observation file

項目前夾直線斜率圓曲線半徑/m后夾直線斜率最小二乘擬合法-0.08407000.0025-0.5394選權迭代擬合法-0.08406999.9991-0.5394

表4 觀測文件中的特征點附近加入20個2 cm的粗差后2種擬合法計算結果
Table 4 Results of two fitting methods after adding 20 2 cm-gross-errors to feature points randomly in observation file

項目前夾直線斜率圓曲線半徑/m后夾直線斜率最小二乘擬合法-0.08407000.0103-0.5394選權迭代擬合法-0.08407000.0009-0.5394

注：1)以上各表中選權迭代擬合法的權函數采用丹麥法權函數；2)以上各表中計算結果是在迭代終止條件為相鄰2次迭代所得線形參數差值均小于0.02 mm的情況下得到的；3)斜率為無量綱

由表2和表1可知：無粗差情況下，最小二乘擬合法的計算結果較本文方法的計算結果更接近于真值。由表3和表1可知：在觀測文件中的特征點附近加入10個1 cm的粗差后，本文方法的計算結果較最小二乘擬合法的計算結果更接近于真值。由表4、表3和表1可知：在觀測文件中的特征點附近加入20個2 cm的粗差后，最小二乘擬合法的擬合結果與真值的偏離更加明顯，本文方法的計算結果基本保持不變。

由以上對比分析可知：1)IGGⅢ方案權函數和丹麥法權函數均具有較強抵抗粗差的能力，可作為選權迭代法的權函數；2)最小二乘擬合法的擬合結果易受粗差干擾偏離真值，且粗差越多、越大，擬合結果偏離真值越明顯。在粗差越多、越大情況下，本文方法的計算結果更接近于真值。

4 結論

1)基于選權迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法降低了對實測數據分組的精度要求，使用現有實測數據分組方法便可滿足要求；

2)Huber權函數識別和剔除粗差的能力較弱，IGGⅢ方案權函數和丹麥法權函數具有較強的識別和剔除粗差的能力。IGGⅢ方案權函數和丹麥法權函數均可作為選權迭代法的權函數來進行既有鐵路平面線形擬合；

3)基于選權迭代法的既有鐵路平面線形擬合方法彌補了最小二乘擬合法抵抗粗差能力差的缺點，使得實測數據存在少量粗差的情況下仍然能夠得到可靠的線形參數估值，是一種更適于實際應用的既有鐵路平面線形擬合方法。

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The linear fitting method of existing railway horizontalalignment based on iteration method with variable weights

MA Honglei1,2, LIU Chenglong3

(1.China Railway First Survey & Design Institute Group Co., Ltd, Xi’an 710043, China；2.State Key Laboratory of Rail Transit Engineering Informatization(FSDI), Xi’an 710043, China；3.Faculty of Geosciences and Environmental Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China)

When existing railway plane is fitted least square multiplication, the first step is to determine horizontal alignment of measuring points’ locations( i.e., linear identification), and cluster the measured data. Then according to the corresponding fitting model, the measured data groups are fitted linearly. However, there are unavoidable errors and gross errors in the measured coordinate data of existing railway horizontal alignment, which have adverse effects on linear identification. It will lead to inaccurate measured data grouping and cause poor quality of linear fitting. For these reasons, we propose the linear fitting method of existing railway horizontal alignment in this paper based on iteration method with variable weights. In this method, it regards the measured points beyond being fitted linearly in different groups as measured points with gross errors. It detects and eliminates points by using the robust correction ability of iteration method with variable weights. Ultimately, it can realize existing railway horizontal alignment without accurate grouping, and obtain the reliable parameters valuation of linear fitting.Key words: least square method; existing railway; fitting; linear identification; gross error; iteration method with variable weights

2015-10-10

劉成龍(1962-)，男，福建莆田人，教授，從事精密工程測量與變形監測；E-mail: lclzwy@vip.sina.com

P207

A

1672-7029(2016)12-2375-06