基于ADI格式算法的二維拋物型方程的初值問題研究*

趙瑜

(江蘇食品藥品職業(yè)技術學院，江蘇淮安223003))

基于ADI格式算法的二維拋物型方程的初值問題研究*

趙瑜

(江蘇食品藥品職業(yè)技術學院，江蘇淮安223003))

以二維拋物型方程為研究對象，建立交替方向隱格式的差分格式(ADI)，用追趕法分別對ADI格式的三對角線性方程組進行求解，并將該方法應用于具體算例，根據(jù)MATLAB仿真結果可知，ADI格式是一種穩(wěn)定性較好，精度較高的差分格式.

二維拋物型方程;ADI格式;追趕法;MATLAB仿真

眾所周知，電磁場傳播、氣體擴散現(xiàn)象、熱傳導過程等諸多問題都可以用偏微分方程來刻畫［1］.其中，拋物型偏微分方程對于物質濃度彌散、微波熱處理及電纜的輸導等有著較強的應用背景［2］.一方面，諸多國內外學者致力于研究偏微分方程解的存在性與穩(wěn)定性，并且獲得了很多較好的結果［3－5］;另一方面，偏微分方程的數(shù)值解法也是該方向的熱點問題之一，特別是對拋物型偏微分方程在有限格式的差分解法的高精度研究方面已經(jīng)獲得了許多有突出的結果，文獻［6－8］指出Crank－Nicolson格式和向后Euler格式在解決一維拋物型方程問題時有著穩(wěn)定性高、計算量小以及精度高等優(yōu)點.然而，在研究拋物型方程高維條件的問題時，我們發(fā)現(xiàn)，向前Euler格式雖然運算過程較為簡單，但對于穩(wěn)定性的需求要比一維情形苛刻很多，我們通過該格式整理所得方程組已經(jīng)不再是三對角線性的，而是一個大型的線性方程組，這里是針對每一時間層上的差分方程組來說的，要想求解這樣的線性方程組，無論是理論推導工作還是數(shù)值計算量都是困難和巨大的.因而，構造出一種無條件的、數(shù)值計算工作量較小的、算法穩(wěn)定的新的差分格式解法是非常重要的.針對求解拋物型方程的高維問題，我們的基本思想是將高維問題轉換成一個個具有三對角線性特征的一維拋物問題來解決.本文將介紹一種能用追趕法計算且無條件穩(wěn)定的理想算法，即ADI格式算法.

1 差分格式的建立

本文主要研究二維熱傳導方程的初邊值問題

其中Ω=(0，1)×(0，1)，Γ為Ω的邊界，且當(x，y) ∈Γ時有(x，y，0)=φ(x，y).

定義Ωh×Ωr上的網(wǎng)格函數(shù)U={Ukij，|0≤i，j≤m，0≤k≤n}，其中

uKij=u(xi，yi，tk)，0≤i，j≤m，0≤k≤n.

由Taylor展開式，有

將以上三式代入(4)，得

上式又可進一步寫為

其中

2 仿真算例

計算拋物方程的二維初邊值問題

它的精確解為u(x，y，t)=sinπx cosπy exp(－.若xj=jh(j=0，1，…，J)，yk=kh(k=0，1，…，K)，tn=nτ(n=0，1，…，N)差分格式解為，則對應的初邊值條件為初值條件為=sinπxjcosπyk.

若令時間分割τ=1/1600，空間分割h=h1= h2=1/40，網(wǎng)格剖分比r=τ/h2=1.利用ADI格式法依次運算到時間層t=1.

2.1 計算過程

再對下面一系列三對角方程組按行采用追趕法求解:

再對下面一系列的三對角方程組按列采用追趕法推導出:

2.2 求解結果

數(shù)值解圖像與精確解圖像分別如圖1與圖2所示.

O357.1

A

1008－7974(2016)06－0038－04

10.13877/j.cnki.cn22－1284.2016.12.012

2016－04－26

國家自然科學基金資助項目(11301001);江蘇省“十二五”規(guī)劃課題“高職數(shù)學實驗課開展的研究與實踐”(C－c/2013/03/039)

趙瑜，江蘇泰州人，講師.