積分方法的探索與補充
——輔助積分法*

吳邦昆

(合肥職業技術學院，安徽巢湖238000)

積分方法的探索與補充
——輔助積分法*

吳邦昆

(合肥職業技術學院，安徽巢湖238000)

有些三角函數有理式的積分，用傳統的萬能代換法化為代數有理式積分仍然比較復雜，求積分過程相當困難，有時甚至無法積出.而用輔助積分法解決這類三角函數有理式的積分有時過程簡潔，思路清晰明了，為我們求三角函數有理式的積分提供了一種新方法和新思路，是對傳統積分方法的有益補充.

積分方法;補充;輔助積分法

解決一些用常規的萬能代換法不易求出的三角函數有理式積分，用輔助積分法積分有時過程簡潔，思路清晰明了.輔助積分法就是選擇與原積分結構相似的輔助積分，利用輔助積分求出原積分的積分方法，這種方法無疑是對傳統積分方法的有益補充和探索.

1 輔助積分法的使用原則及步驟

運用輔助積分法的關鍵是要選擇好輔助積分，尋求輔助積分應注意4條原則.①輔助積分與原積分在結構上相似;②輔助積分之間或輔助積分與原積分之間能通過恰當組合化成一個易求積分;③原積分與輔助積分之間關系要明確;④對于三角函數有理式的積分，它的輔助積分應該仍為一個三角函數有理式積分.

運用輔助積分法求三角函數有理式積分的步驟是:首先應根據原積分的三角函數有理式特點選擇好輔助積分(一個或多個);再利用輔助積分之間的不同組合(有幾個輔助積分就要形成幾個不同組合)構成不同的方程;最后解這個關于輔助積分的方程組，求出輔助積分，從而求出原積分.

2 輔助積分法的應用

顯然要求出此有理式積分比較繁瑣，而用輔助積分法，求解過程就簡單得多.

于是有

由式(1)及式(2)解得

分析:此題若用萬能代換方法將其化成代數有理式求積分，其過程一定繁瑣，甚至求不出來，但用輔助積分法就可以得到比較清晰明了的解答.

解 令I1=(輔助積分)，I2=(輔 助 積 分 )，I3=d x(輔助積分)，則I=3I1+I2+4I3.

于是有

從而(3)+(4)得

代入式(3)得

將I1、I3代入式(5)得

所以，I = 3I1+ I2+ 4I3= sin x +

解 令I1=(輔助積分)，I23d x(輔助積分)，則I=2I1－I2.

從而有

由式(6)、(7)解得

解 令I1=(輔助積分)，I2=(輔助積分)，則I=2I1.于是有

由式(8)、式(9)解得

解 令I1=(輔助積分)，I2=(輔助積分)，則I=3I1+4I2.于是有

O231.2

:A

:1008－7974(2016)06－0044－03

10.13877/j.cnki.cn22－1284.2016.12.014

2016－07－20

安徽省高校省級質量工程項目“《高等數學》精品資源共享課程”(2013gxk161);合肥職業技術學院質量工程項目“《高等數學》精品課程”(JPKC201302);安徽省高校人文社科重點項目“大數據背景下高職學生學習力研究”(SK2015A734)

吳邦昆，安徽廬江縣人，副教授.