活潑靈動 感悟智慧

謝立光

在全國第九屆“卡西歐杯”初中青年教師數學優質課展示與研討活動中，江西省贛州市章源中學許萍老師執教了一節數學活動展示課——“從月歷到數陣初步”，獲得了在場評委及觀摩教師的一致好評，被組委會評定為全國一等獎。許老師從“有框”到“無框”，從月歷到數陣初步，設計了一系列數學活動，通過學生動手操作、觀察、猜想、交流、反思、驗證、運用數學規律，啟發、引導學生從數學的角度發現和提出問題，運用已有的知識和經驗解決問題。整節課活潑靈動，引領學生從活動經驗中感悟數學智慧，彰顯了數學活動課的魅力。現擷取部分教學片段與大家共賞。

【片段1】創設情境，引入課題

師：今天，我們從大家熟悉的月歷中，開展一次數學活動。首先，我們一起來做一個“你說我猜”游戲。

活動1：請你用一個學具“十字框”在2015年10月的月歷表中框出5個數，然后告訴老師這5個數的和，讓老師猜猜你框出的是哪5個數。

生1：我用“十字框”框出的5個數之和為100。

師： 見證奇跡的時刻到了，框出的中間的數是20，20的左、右、上、下對應的數分別是19，21，13，27。

生（齊聲）：啊！老師猜對了。

生2：生1可能是老師的“托”，我來試一試。 我框出的5個數之和為60。

師：框出的中間的數是12，12的左右上下對應的數分別是11，13，5，19。

生：老師真厲害！

師：同學們想知道其中的奧秘嗎？讓我們一起來揭示其中的數學奧秘。

【賞析】許老師從學生熟悉的月歷入手，游戲激趣，開展了“你說我猜”的數學游戲活動，設置了懸念，創設了一個寬松活潑的活動氛圍，學生踴躍參與其中，有效地激發了學生參與活動的濃厚興趣與探究數學問題的強烈動機。同時，讓學生再一次深切地感受到“數學植根于生活，生活中處處有數學”。

【片段2】互動合作，探究規律

活動2：如圖是2015年10月的月歷。

（1）請你在該月歷中用1×3（行×列）的“橫條框”框出三個數，這三個數有什么規律？它們的和與中間這個數有什么關系？移動方框再試一試。

（2）再用3×1（行×列）的“豎條框”框出三個數，你能得出什么結論？

（3）設其中一個數為a，你能證明（1）、（2）中的結論嗎？

（學生紛紛利用學具“條形框”框數，觀察思考，尋找規律；計算所框3個數的和與中間這個數的數量關系；利用含a的式子驗證規律。而后小組交流學習活動成果，學生展示探究過程與結論。）

活動小組1：我們的“橫條框”所框1×3（行×列）的數是：5，6，7。發現這3個數從左到右依次大1，它們是一組連續正整數，它們的和是中間這個數的3倍。移動方框后，發現規律也是一樣的，也就是“同行3個數從左到右依次大1” “同行3個數的和是中間這個數的3倍”。

活動小組2：我們的“豎條框”所框3×1（行×列）的數是：9，16，23。發現這3個數從上到下依次大7，我們認為其中的原因是由于月歷中“一個星期有7天”周期性排列造成的。它們的和是中間這個數的3倍。移動方框后，發現規律也是一樣的。也就是“同列3個數從上到下依次大7” “同列3個數的和是中間這個數的3倍”。

師：同學們真棒！觀察仔細，思考嚴密，對規律歸納得很好！

活動小組3：證明“同列3個數的和是中間這個數的3倍”的思路也有3種，其中最簡便的是：設中間的數為a，可得（a-7）+ a +（a+7）=3a。

師：同學們利用字母代表數，運用整式的有關知識，對結論進行了證明，思路清晰，方法多樣，老師為你們點贊！

【賞析】學生興趣盎然地利用學具“橫條框”“豎條框”，分別對月歷中的1×3（行×列）、3×1（行×列）中的3個數蘊含的數字規律、數量關系，進行動手操作、觀察實驗、分析歸納、概括總結、推理論證，積累了數學活動經驗，體會了“用字母代表數更具一般性”的事實，體驗了解決問題方法的個性化、多樣化、簡單化，同時增強了學生用語言、符號表示數學規律的意識與能力。

活動3：如圖，在2015年9月的月歷中用3×3（行×列）的“方形框”框出9個數，請思考下列問題：

（1）方框中這9個數的和與方框正中心的數有什么關系？

（2）移動方框，（1）中的結論還成立嗎？你能證明這個結論嗎？

（3）這個結論對任何一個月的月歷都成立嗎？

（根據活動2的經驗，問題得到快速的解決，學生躍躍欲試，紛紛展示自己的探究活動成果。）

生1：我發現方框中這9個數的和是方框正中心數的9倍。移動方框，只要框中是9個數，結論仍然成立。

生2：可設方框正中心數為a，則（a-8）+（a-7）+（a-6）+（a-1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）=9a。通過證明，說明該結論是正確的。

生3：這個結論對任何一個月的月歷都成立，因為每個月的月歷的數字排列規律是一樣的。

師：說得真好！我們通過“觀察—猜想—驗證”發現了不少月歷中隱含的數學問題及規律。接下來，我們運用所發現的規律，來解決一些數學問題。

【賞析】從“條形框”到“方形框”探究月歷中的數字規律，通過知識的正遷移進行相關的數學活動。啟迪學生的數學智慧，鼓勵學生從不同的角度發現規律，從數學的角度發現問題，提出問題，解決問題。學生運用所學的“整式”知識對發現的規律進行解釋、驗證，從特殊到一般，推廣到每個月的月歷均蘊含其中規律，體現了結論的一般性。

【片段3】拓展應用，能力提升

活動4：如圖的10×5（行×列）的數陣，是由一些連續奇數組成的。

（1）請你選擇手中的學具方框框出幾個數，你發現有類似于月歷中的規律嗎？

（2）若用如圖所示的“平行四邊形框”框出四個數：

①若設框中的第一行第一個數為x，用含x的代數式表示另外三個數；

②若這樣框出的四個數的和是200，求出這四個數；

③能否框出這樣的四個數，它們的和為256，為什么？

（學生讀題、審題，運用學具“橫條框”“豎條框”“十字框”“方形框”框數，自主探究，合作交流，揭示連續奇數數陣隱含的規律，展示活動成果。）

生1：我用的是“橫條框”，發現所框3個數從左到右依次大2，3個數的和是中間這個數的3倍。

生2：我用的是“豎條框”，發現所框3個數從上到下依次大10，3個數的和是中間這個數的3倍。

生3：我用的是“十字框”， 發現所框5個數的和是中間這個數的5倍。

生4：我用的是“方形框”， 發現所框9個數的和是中間這個數的9倍。

生5（補充）：上述規律與月歷中的規律類似。

生6：設框中的第一行第一個數為x，“平行四邊形框”框出的另外三個數可表示為：x+2，x+8，x+10。列方程可得：x+（x+2）+（x+8）+（x+10）=200，解得x=45，這4個數分別是：45，47，53，55。

師：不錯，根據規律，列方程求解。

生7（解法同生6）：可得和為256的4個數分別是：59，61，67，69，能框出這4個數。

（學生們各抒己見，爭論不休，而后恍然大悟。）

生：“平行四邊形框”不能框出這樣的4個數，因為59與61，67，69在數陣的兩端。

師：看來，解得的結果要回歸到數陣中去檢驗它的存在性。

【賞析】教學中，許老師從“月歷”到“連續奇數數陣”，從“橫條框”“豎條框”“十字框”“方形框”到“平行四邊形框”，從簡單到復雜，引導學生發現數陣的數字排列規律。由于有前面的數學活動經驗的積累，學生能快速、敏銳地發現數陣隱含的數字規律，問題迎刃而解，學生進一步感受到運用數學活動經驗解決數學問題帶來的成功愉悅。學生動手操作，質疑反思，合作交流，展示匯報，將實際問題轉化為數學模型求解，展示了學生的聰明才智、獨特個性與創新成果，積累了活動經驗，提煉了思想方法，使學生在活動中理解數學本質，感悟數學智慧。

（作者單位：江西省贛縣教育局教研室）