基于纖維墊滲濾的細小顆粒留著三維模型

基于纖維墊滲濾的細小顆粒留著三維模型

細小顆粒通常通過篩分留著在纖維墊中。迄今為止，尚未有理論將纖維和纖維墊性能與預測性留著模型結(jié)合在一起。該研究開發(fā)的多層分析留著模型，通過建模預測了顆粒穿過一連串非常薄的纖維墊時在纖維墊內(nèi)的留著情況。使用人造絲纖維墊過濾粒徑5～75 μm色粉顆粒的懸浮液。只有在顆粒直徑與纖維直徑之比增大至2.0（人造絲纖維墊數(shù)據(jù)集內(nèi)的上限）時，模型預測結(jié)果才接近實驗數(shù)據(jù)。同時使用模擬的纖維墊（通過該纖維墊，4～20 mm珠子滴落），采用試驗方式在宏觀程度上確定了留著情況。對于所有的宏觀實驗數(shù)據(jù)，顆粒直徑至少是纖維直徑的2.2倍，這解釋了由這些試驗得到的結(jié)果更加貼近模型預測結(jié)果。通過建模模擬了細小顆粒的留著，將模型預測結(jié)果與試驗結(jié)果對比，證明了在某種程度上即使非常小的顆粒也可通過篩分留著在纖維墊中。

鑒于各種原因，必須將懸浮固體顆粒（包括油墨和填料顆粒）從紙漿中洗滌掉，尤其是在紙張的回收利用過程中。有關(guān)細小顆粒通過篩分留著在纖維墊中的文獻中相關(guān)理論并不多。

有研究者提出，多孔過濾介質(zhì)可以通過3種機理捕捉小顆粒：表面拉緊、深度拉緊和吸附（以下分別稱作“纖維墊表面捕捉”、“內(nèi)部篩分捕捉”和“纖維表面捕捉”），見圖1。

圖1 顆粒捕捉機理

“纖維墊表面捕捉”在幾乎所有的通往墊的小孔直徑均比顆粒粒徑小時發(fā)生。這導致顆粒積聚在纖維墊的面向流動方向的表面上，即形成濾餅。“內(nèi)部篩分捕捉”在一些內(nèi)部通道不能使平均顆粒尺寸的顆粒通過（從而顆粒被從貫穿纖維墊深度的通道中濾出）時發(fā)生。“纖維表面捕捉”通常在比纖維直徑或孔直徑小很多的顆粒與纖維碰撞，并通過動電和范德瓦爾斯力留著時發(fā)生。這被確認為造紙過程中，填料（粒徑＜1 μm）在纖維墊中留著的主要機理。

1 留著建模的統(tǒng)計幾何學方法

有研究者推導得出了證明平面中隨機線形成的多邊形的面積，平均來說，與任一邊長的平方成比例的解析表達式。他們得出結(jié)論：紙張的孔尺寸分布不受纖維長度和纖維寬度影響，因為寬纖維完全堵塞了一些較小的孔，而較大孔的尺寸減小，因此孔尺寸分布保持不變。這意味著，多孔性減小，但是對于任何尺寸的顆粒，過濾效率是相同的。研究人員通過使用不含細小組分的未磨漿纖維抄制定量為2.5 g/m2的手抄片證實了其分析結(jié)果。

也有研究者推導得出了通過纖維墊滲濾的顆粒遇到直徑不大于dp（顆粒直徑或當量直徑）的孔的可能性的表達式。他們一般采納上述研究者的處理方法。他們將孔當量直徑模型的預測結(jié)果與文獻中的孔尺寸分布實驗數(shù)據(jù)進行了比較。2個研究小組均得到如下結(jié)論：孔的分布呈對數(shù)正態(tài)分布，并且纖維寬度不影響二維（2D）纖維墊的孔尺寸分布。

另有研究者使用多邊形內(nèi)切圓的尺寸分布開發(fā)了2D纖維墊內(nèi)留著情況的解析表達式；留著率，作為線密度（λ）的函數(shù)，表示為每單位墊觀察窗直徑中線（纖維）的數(shù)量。纖維墊觀察窗直徑（dw）用于實現(xiàn)泊松線場；泊松線場沒有線（纖維）終止于dw內(nèi)。他們證明了，小于給定大小的內(nèi)切圓面積與總內(nèi)切圓面積之比可以寫為：

式中，無量綱變量φ=λdp。通過模擬對留著情況的分析模型進行了驗證。多位研究者提出，實際厚度的纖維墊[即三維（3D）纖維網(wǎng)絡]可以通過數(shù)學方式，描述為一疊2D纖維網(wǎng)絡。其中有位研究者認為3D纖維網(wǎng)絡中纖維間相互作用的解析表達式“不適宜”。

2 之前的實驗研究

造紙行業(yè)文獻中報道的試驗工作的絕大多數(shù)討論的是粒徑小于1～3 μm顆粒的留著。這些文獻通常使用多孔活塞滲濾裝置。在墊孔隙率恒定的情況下，每單位墊厚度的水力阻力載荷恒定，但是總阻力荷載累積。這意味著，在流體進入墊的位置，總阻力荷載為零，并且在流體進入點處，等于墊面積與整個墊厚度上流體壓降的乘積。如果該墊采用機械方式被壓縮，而不是水力阻力荷載通過一個多孔活塞滲濾裝置對其進行壓縮，則水力阻力荷載將不會進一步對其進行壓縮。合適壓縮后的墊保持已知厚度，并且因受到流體阻力荷載，孔隙率在整個墊厚度上一致。

研究者證明，這可以通過數(shù)學方式表示為：

式中：d[P]為整個墊厚度增量d t上顆粒濃度的變化；k為留著系數(shù)。方程式（2）可以重新整理和合并得到更為方便的形式：

如果所有顆粒濃度表示為進入濃度[P]0的分數(shù)，則表達式簡化為ln[P]t=kt。鑒于留著率=1-[P]t，方程式（3）重新整理并簡化為試驗留著率方程式：

尚未見有用方程式（4）描述較大顆粒通過內(nèi)部篩分進行留著情況的報道。

有研究者在45℃溫度和pH=8.5下，在一個多孔活塞裝置中，使用商品漂白硫酸鹽云杉漿墊（去除了100目細小組分），以10%漿濃進行了苯胺印刷油墨和鈣皂凝集顆粒（dp=0.5～3.0 μm）的置換洗滌。他們確定了表面吸引力是油墨和鈣皂凝集顆粒留著的主要原因。通過篩分發(fā)生的留著作用非常小。雖然該研究工作未能將纖維墊性能和dp與顆粒的留著作用之間建立聯(lián)系，但卻是少有的懸浮體的置換洗滌公開結(jié)果之一。

多項研究均報告了在控制相對不嚴格環(huán)境下，較大顆粒的滲濾結(jié)果，包括在對通過表面吸引力進行的留著作用不利的化學條件下，手抄片成形過程中發(fā)生的留著。所有這些參考文獻表明，通過篩分進行的留著作用較小，但是對粒徑dp小至2.5 μm（通常留著率=0.01～0.03）的顆粒非常重要；并且表明，在定量為20～60 g/m2的手抄片成形過程中，留著率隨lg（dp）呈線性增大。由于在手抄片抄制過程中，纖維墊孔隙率不恒定，因此該信息只適用于與類似的手抄片研究作對比。

3 多層分析留著模型開發(fā)

3D纖維墊可以用一系列2D纖維墊模擬，見圖2。

圖2 用一系列薄纖維墊模擬厚纖維墊

一層內(nèi)的留著率可以通過將該層內(nèi)的所有纖維投影到一個平面內(nèi)，根據(jù)方程式（1）計算得到。假設各層相互獨立，并假定層厚度tl=dp，因為在纖維墊厚度方向上相互距離超過dp的纖維無法相互作用，從而將直徑=dp的顆粒留住。n=t/dp層（每層的厚度=tl=dp）上的留著率可以寫為：

實際纖維墊的λ和λl值（分別表示纖維墊內(nèi)和纖維墊某一層內(nèi)的纖維濃度）可以根據(jù)基本的纖維、纖維墊和顆粒性能計算。整個厚度=t上纖維的總數(shù)量（在此情況下，纖維段理論上可以用一個圓形觀察窗內(nèi)的弦線表示）可以通過用直徑=dw的觀察窗內(nèi)的總纖維長度除以平均弦線長度=dwπ/4計算得到：

式中，ρf=截面為圓形的纖維的密度。在λ的計算過程中，dw內(nèi)的纖維段數(shù)相當于Nf。用方程式（6）除以dw，乘以一層的層厚度分數(shù)（對于λl，層厚度分數(shù)為dp/tm），然后再進行簡化，即得到λ和λl的定義：

和

式中，BW=厚度為t的纖維墊的定量。注意，方程式（7）和（8）的簡化形式中未出現(xiàn)dw。這是因為某一層或整個纖維墊內(nèi)的纖維濃度不受觀察窗直徑的選擇影響。觀察窗直徑在概念上僅適用于實際纖維墊。

多層分析留著模型的基礎(chǔ)是較厚纖維墊可以用一系列2D纖維墊模擬，每一個2D纖維墊表示的厚度為tl=3D纖維墊的dp。總體來說，這可以稱作基礎(chǔ)層概念。

可以通過調(diào)整使實驗數(shù)據(jù)與通過多層模型預測的留著率值擬合，測試該概念在整體意義上的擬合度。如果針對dp的某些值，以通過2D分析模型[方程式（1）]和實驗模型[方程式（4）]預測的單一一層的留著率值和t為坐標繪制曲線，則模型只有在t的唯一值（基礎(chǔ)層厚度；理想情況下，當層厚度t=dp時）處，預測得到的留著率值相同。如果對實驗數(shù)據(jù)可知的dp的所有值，重復該過程，則可以針對一系列dp值，以留著率預測值相同時的墊厚度和dp為坐標繪制曲線。如果這些數(shù)據(jù)點落在直線t=dp上或附近，則可以斷定，2D留著率分析模型可以通過厚度t=dp的3D纖維墊預測留著率。

研究人員通過試驗方法，確定了留著系數(shù)k為-ln[P]與 t的最佳配合情況下，線性回歸線的斜率。分析推導得出的可比較留著率可以通過設置使用多層分析模型[方程式（5）]等于實驗模型[方程式（4）]，然后求解k[對于分析性3D模型，重新命名為k（a）]計算：

推導過程通過在tl=t=dp情況下，求解單一一層的k（a）稍微進行簡化，并通過試驗方法進行了驗證。

4 實驗方法

4.1 人造絲纖維墊滲濾試驗

在多孔活塞滲濾裝置中，通過之前形成的纖維墊對顆粒進行了滲濾，從而確保墊的孔隙率已知，與流體流動速率無關(guān)。多孔活塞滲濾裝置如圖3所示。

圖3 多孔活塞滲濾裝置的截面圖

由于人造絲纖維化學性質(zhì)與天然纖維素纖維相似，因此選用了截面為圓形的人造絲纖維進行滲濾試驗。與疏水性較大的纖維（比如聚酯）相比，人造絲纖維比較容易分散在水性懸浮液中。

選用色粉顆粒作為本研究的懸浮固體顆粒。將色粉顆粒研磨，并通過空氣分類至所需的尺寸范圍，但是不對它們進行加熱熔化處理，因為它們將以普通方式使用。本研究選用的色粉為含10%～15%炭黑的苯乙烯/丙烯酸鹽聚合物。顆粒尺寸范圍較寬，顆粒平均尺寸比市場上可買到的色粉大很多。

所有滲濾使用去離子水，在溫度20℃下進行；所使用的去離子水用NaOH溶液將pH調(diào)節(jié)至10.0。滲濾過程中添加了濁點為74℃、親水親油平衡值（HLB）為13∶1、臨界膠束濃度（CMC）為0.001 8%的非離子表面活性劑，用于消去通過表面吸引力產(chǎn)生的留著作用。廢水懸浮液樣品使用孔隙大小為0.8 μm的47 mm微濾器膜（GN-4測量用混合纖維素醚膜）過濾。膜在干燥后，用蓖麻油清洗干凈，圖像使用透色光，在1.75 μm/像素校準度下進行分析。數(shù)據(jù)使用5 μm當量直徑數(shù)據(jù)箱進行報告；報告每一數(shù)據(jù)箱中點處的顆粒尺寸。

使用3種直徑（df=0.016 8、0.022 8和0.048 5 mm）、定量（BW=218、872和1 744 g/m2）和孔隙率值（ε= 0.80、0.85和0.90）均不同的隨機取向和偏倚取向人造絲纖維墊對粒徑5～75 μm的色粉顆粒懸浮液進行了滲濾。本文所涉及的所有滲濾過程的表面速度均為10 mm/s。

4.2 宏觀滲濾試驗

物理模型的厚度約為10 mm。使用這些物理模型在此厚度（孔隙率=0.967 6）和在一個壓縮架（圖4）內(nèi)壓縮至所述厚度的一半（孔隙率=0.935 0）后進行滲濾。也使用了通過將多個隨機取向或偏倚取向物理模型堆疊在一起得到的較厚墊進行了滲濾。滲濾在空氣中，使用直徑dp=4～20 mm的珠子進行。珠子分布在一個網(wǎng)格上，以確保在整個墊模型區(qū)域上的分布均勻。

圖4 宏觀滲濾試驗裝置示意圖

5 試驗結(jié)果

5.1 宏觀結(jié)果

將宏觀模型回歸至方程式（3），以確定留著系數(shù)k的試驗值（圖5）。圖中列出了留著系數(shù)（經(jīng)過原點的回歸線的斜率）和每一條回歸線的R2值（斜率=k的試驗值）。

圖5 隨機取向模擬纖維墊在λ=0.0125t（1/mm2）（ε=0.9679）情況下的宏觀滲濾數(shù)據(jù)（-1n[P]對t）的回歸

圖6為用于確定對于特定的顆粒直徑，分析模型[方程式（1）]與實驗模型[方程式（4）]預測的留著率值相同時的墊厚度的圖解法實例。

該墊厚度是基礎(chǔ)層厚度，理想情況下為t=dp。針對所有宏觀滲濾數(shù)據(jù)重復進行了該程序（28次圖解分析），以所得到的基礎(chǔ)層厚度值和dp為坐標繪制了曲線圖，見圖7。

考慮到墊面積較小和所滲濾的珠子的數(shù)量有限，由圖7可以看出，數(shù)據(jù)點的離散度較高，這是在意料之中的。

圖6 λ=0.0125t（1/mm2）情況下，隨機纖維墊的宏觀滲濾數(shù)據(jù)、實驗模型和分析模型的留著率-墊厚度關(guān)系曲線（珠子dp=16 mm）

圖7 所有宏觀滲濾實驗數(shù)據(jù)與二維分析模型數(shù)據(jù)一致情況下的基礎(chǔ)層厚度-顆粒直徑關(guān)系

現(xiàn)在可以方便地假設基礎(chǔ)層厚度等于顆粒直徑，以便將通過多層分析模型[方程式（5）]預測的留著數(shù)據(jù)與通過試驗得到的留著數(shù)據(jù)進行對比（圖8）。擬合度非常接近平價關(guān)系線。經(jīng)過原點的最佳擬合線的斜率為1.023，R2值為0.853 9。該值僅僅稍小于通過相同數(shù)據(jù)的回歸確定，用于確定留著系數(shù)k的平均R2值（圖5）。

5.2 人造絲纖維墊滲濾結(jié)果

圖9（df=0.022 8 mm，孔隙率=0.85）、圖11（df= 0.048 5 mm，定量=872 g/m2）和圖13（定量=872 g/m2，孔隙率=0.85）給出了原始留著數(shù)據(jù)，以證明定量、孔隙率和纖維直徑的影響。為了進行比較，圖10（df= 0.022 8 mm，孔隙率=0.85）、圖12（df=0.048 5 mm，定量=872 g/m2）和圖14（定量=872 g/m2，孔隙率=0.85）給出了通過多層分析模型和方程式（10）預測的可比較留著數(shù)據(jù)值。

圖8 留著率實驗數(shù)據(jù)——多層分析模型預測留著率關(guān)系圖（所有宏觀滲濾數(shù)據(jù)）

圖9 隨機取向人造絲纖維墊的留著率和留著率的標準差與dp和定量的影響之間的關(guān)系曲線

圖10 多層分析模型預測留著率與dp和定量的影響之間的關(guān)系曲線圖

圖11 隨機取向人造絲纖維墊的留著率和留著率的

圖12 多層分析模型預測留著率與dp和孔隙率的影響之間的關(guān)系曲線圖

圖13 隨機取向人造絲纖維墊的留著率和留著率的標

圖14 多層分析模型預測留著率和留著率的標準差與dp和纖維直徑的影響之間的關(guān)系曲線

將人造絲纖維墊滲濾數(shù)據(jù)回歸至方程式（3），以標準差與dp和孔隙率的影響之間的關(guān)系曲線準差與dp和纖維直徑的影響之間的關(guān)系曲線通過試驗方式，確定留著系數(shù)k值。在進行該步驟前，進行了數(shù)據(jù)修正。圖13的數(shù)據(jù)清楚地表明，隨著dp增大，留著率漸近地接近一個比1.0略小的值。這可能是由于滲濾過程中，通過墊邊緣的顆粒懸浮液發(fā)生泄漏。可以通過用該滲濾過程的所有留著率值除以數(shù)據(jù)漸近接近的留著率值加以修正。在以下情況下應用了該修正法：dp的最大的5個值的平均留著率至少為0.90，并且針對dp的最大的5個值，以留著率和dp為坐標的曲線的最佳擬合線斜率的絕對值一致小于0.001 5時。回歸中，未考慮留著率大于0.95的數(shù)據(jù)，因為纖維墊下游側(cè)的顆粒數(shù)量不足。

如前所述，將數(shù)據(jù)整理后，確定了數(shù)據(jù)可知的所有情況的k值。以所得到的k值和dp為坐標繪制曲線，如圖15所示。對于dp＞22.5 μm的情況，各k值的R2值一般大于0.80。

圖15 所有隨機取向人造絲纖維墊滲濾過程的k-dp關(guān)系曲線

數(shù)據(jù)曲線和模型預測結(jié)果（圖9～15）的趨勢正如所預期的，留著率隨dp和定量增大而增大，并隨著df和孔隙率減小而增大。但是，多層分析模型未能很好地預測留著率的絕對值，尤其是在dp值較小情況下。多層分析模型在選定參數(shù)范圍內(nèi)預測留著率的能力可以用比值k/k（a）表示。當該比值接近1.0時，多層分析模型能夠精確地預測留著率值。針對圖15中曲線繪制使用的所有k值，以比值k/k（a）和dp為坐標繪制了曲線，如圖16所示。

圖16 圖15中所示的所有k值和根據(jù)方程式（9）計算的對應k（a）值的k/k（a）-dp關(guān)系曲線

圖16揭示了纖維直徑與k/k（a）接近1.0時的顆粒直徑之間的緊密相關(guān)關(guān)系。這表明，確定使通過試驗方式確定的留著率與通過多層分析模型預測的留著率合理一致的條件是有可能的。如果比值dp/df比較關(guān)鍵，則在以k/k（a）和dp/df，而不是dp為坐標繪制曲線圖時，圖16各分開的線應塌落（collapse）到單一數(shù)據(jù)序列上。

圖17顯示了圖15所示的所有k值和根據(jù)方程式（9）計算的對應k（a）值的k/k（a）-dp/df關(guān)系曲線[k/k（a）數(shù)據(jù)也可以由所有宏觀滲濾過程獲知。對于纖維墊取向，R=隨機，B=偏倚]。

圖17表明，數(shù)據(jù)發(fā)生嚴重塌落，但是并未塌落到單一數(shù)據(jù)序列上。這表明，k/k（a）的變化在很大程度上可以，但并不能完全由比值dp/df解釋。遺憾地是，由人造絲纖維墊滲濾試驗得到的數(shù)據(jù)幾乎完全超出了k與k（a）之間存在合理對應關(guān)系的范圍。從宏觀滲濾實驗數(shù)據(jù)到人造絲纖維墊數(shù)據(jù)（也列在圖17中），可以進一步看出k/k（a）與dp/df之間的強依賴關(guān)系。很顯然，只有在dp/df增大超過1.0時，k/ k（a）才接近1.0。這一現(xiàn)象的直觀解釋是，當df變得與dp相比可忽略時，k/k（a）接近1.0。

圖17 圖15中所示的所有k值和根據(jù)方程式（9）計算的對應k（a）值的k/k（a）-dp/df關(guān)系曲線

針對所有隨機取向人造絲纖維墊滲濾數(shù)據(jù)，以通過實驗模型[方程式（4）][k的值由方程式（9）所示模型預測]預測的留著率和人造絲纖維墊試驗留著率為坐標繪制曲線，如圖18所示。

圖18 隨機取向人造絲纖維墊的留著率實驗數(shù)據(jù)與通過實驗模型[方程式（4）]預測的留著率之間的關(guān)系

正如預期的，對于dp值較小的情況，殘差傾向于較大，因為對于dp值較小的情況，留著率的標準差高很多。

6 結(jié)論

多孔活塞滲濾裝置允許人造絲纖維墊在已知和恒定孔隙率下進行滲濾，從而可以探索顆粒和纖維直徑、孔隙率與留著率之間的關(guān)系。在本研究中，多孔活塞裝置使用的顆粒粒徑遠大于之前報道研究中使用的顆粒，因此，留著的主要機理為內(nèi)部篩分。粒徑大小在5～10 μm范圍內(nèi)的大量顆粒通過篩分留著在商業(yè)常見定量和纖維直徑纖維墊中，這與最近的研究結(jié)論是一致的。

宏觀滲濾試驗，雖然比較簡陋，但是允許厚度接近顆粒直徑的纖維墊進行滲濾，這對微觀纖維而言是不實際的。如果只知道宏觀或只知道人造絲纖維墊試驗結(jié)果，或許還不能注意到k/k（a）與dp或與dp/df的關(guān)系趨勢。多層分析模型只有在dp的值比df的值大很多的情況下，才可以以合理的精確度預測通過篩分發(fā)生留著的留著率。遺憾地是，這意味著，這對通常的造紙行業(yè)應用場合不是很實用；在通常造紙行業(yè)應用場合中，顆粒尺寸常常基本等于或小于纖維直徑。這可能是由于2D分析模型假設纖維寬度為零。這對于預測孔尺寸分布或甚至是2D墊（即紙張）的留著率或許可以接受，但是對于預測實際纖維墊的3D層內(nèi)的留著率是不合理的。看來，纖維的薄3D層與這些纖維的2D零寬度投影f的留著性能之間存在根本差異。

（馬倩倩 編譯）