一種任意曲線曲率中心、半徑及Frenet標(biāo)架的圖解算法

鄭鵬飛, 劉 青, 趙菊娣, 林大鈞, 安 琦

(1. 華東理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院, 上海 200237; 2. 義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 浙江 義烏 322000)

一種任意曲線曲率中心、半徑及Frenet標(biāo)架的圖解算法

鄭鵬飛1, 2, 劉 青2, 趙菊娣1, 林大鈞1, 安 琦1

(1. 華東理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院, 上海 200237;
2. 義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 浙江 義烏 322000)

通過(guò)分析現(xiàn)有曲線曲率中心、曲率半徑的求解方法, 與微分幾何中Frenet標(biāo)架的定義及求解方法, 提出了一種基于離散點(diǎn)分段構(gòu)建平面曲線逼近空間任意曲線的方法， 并以此建立以兩中垂面與密切平面求交的方式求解曲線曲率中心和Frenet標(biāo)架的圖解及解析模型. 所給出的求解任意曲線曲率中心、曲率半徑及Frenet標(biāo)架的圖解算法簡(jiǎn)便可行, 試驗(yàn)證明，該算法穩(wěn)定可靠, 適應(yīng)性廣.

曲率中心; 曲率半徑; Frenet標(biāo)架; 圖解

在機(jī)械設(shè)計(jì)中, 經(jīng)常涉及到復(fù)雜曲線的曲率半徑和曲率中心的計(jì)算, 很多研究者提出了相應(yīng)的計(jì)算方法[1-3], 如切線向量解法[4]、解析法[5-6]、施密特正交法[7]、圖解法[8]、公式改進(jìn)法[9]、復(fù)矢量法[10]、坐標(biāo)變換法[11]等. 另外, 曲線曲率與Frenet標(biāo)架在工程中有廣泛的應(yīng)用, 如車(chē)輛運(yùn)行路線仿真、橋梁設(shè)計(jì)[12-16]等. 因此, 研究曲線曲率半徑、曲率中心、Frenet標(biāo)架問(wèn)題在微分幾何和工程應(yīng)用領(lǐng)域均有重大現(xiàn)實(shí)意義. 雖然這些問(wèn)題曾被廣泛研究并應(yīng)用, 但大多數(shù)研究局限于平面曲線, 或是將微分幾何中已有的計(jì)算公式加以應(yīng)用解決. 對(duì)于離散曲線或未知曲線方程情況下的曲率半徑、曲率中心及Frenet標(biāo)架求解問(wèn)題的研究甚少. 本文針對(duì)這一問(wèn)題, 提出了一種任意離散空間曲線曲率及Frenet標(biāo)架求解算法.

1 曲線曲率及Frenet標(biāo)架

設(shè)曲線C的方程為γ(s), 其中s為曲線的弧長(zhǎng)參數(shù), 則

(1)

在正則曲線上曲率κ(s)不為零的點(diǎn)有一個(gè)完全確定的右手單位正交標(biāo)架{r(s);α(s),β(s),γ(s)}, 它與表示曲線的笛卡爾直角坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān), 也不受曲線作保持定向的允許參數(shù)變換的影響, 稱為曲線在該點(diǎn)的Frenet標(biāo)架[17].

Frenet標(biāo)架的3根軸分別稱為曲線的切線、主法線和副法線; 3個(gè)坐標(biāo)面分別稱為曲線的法平面(以α為法向量的平面)、從切平面(以β為法向量的平面)和密切平面(以γ為法向量的平面), 它們的方程分別為

法平面: (X-r(s))·α(s)=0

(2)

從切平面: (X-r(s))·β(s)=0

(3)

密切平面: (X-r(s))·γ(s)=0

(4)

將曲線C的方程換成自然參數(shù), 則曲線C方程為r=r(t), 對(duì)應(yīng)的曲率及Frenet標(biāo)架可表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

2 曲線曲率及Frenet標(biāo)架圖解算法

Frenet標(biāo)架由3個(gè)相互垂直的平面(法平面、從切平面、密切平面)組成, 3個(gè)平面的交線分別為主法線、副法線和切線, 其中主法線位于密切平面內(nèi). 根據(jù)密切平面的定義, 可以在曲線某點(diǎn)P1附近取兩個(gè)點(diǎn)P2和P3, 分別連接直線P1P3、P1P2, 可得過(guò)直線P1P3中點(diǎn)A, 且以直線P1P3為法線的中垂面n1, 同理求得中垂面n2. 最后求得3個(gè)平面n1、n2、P1P2P3的交點(diǎn)P0, 即為曲線在P1點(diǎn)的曲率中心點(diǎn). 如圖1所示, 點(diǎn)P1和P0間的距離值即為曲率半徑. 曲率半徑的精度取決于P1附近點(diǎn)與P1的逼近程度, 即點(diǎn)P2和P3越逼近點(diǎn)P1, 曲率中心點(diǎn)的精度越高. 這一圖解過(guò)程對(duì)于平面曲線, 其結(jié)果是顯然的. 對(duì)于空間曲線, 這一圖解模型同樣適用, 因?yàn)榭臻g三維曲線可看成離散的多段平面曲線依次連接而成. 換言之, 可將空間曲線離散化, 用一系列點(diǎn)將曲線離散表示, 這樣具有避開(kāi)求解復(fù)雜偏導(dǎo)數(shù)方程組的優(yōu)點(diǎn), 即適用于曲線方程未知的情況.

圖1 曲率中心圖解模型Fig.1 Graphical model of the curvature center

據(jù)此建立其數(shù)學(xué)模型, 已知點(diǎn)P1(x1, y1, z2), P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3), 其平面的三點(diǎn)式方程為

(9)

平面n1的方程為

(10)

其中:A1=x3-x1=V2,B1=y3-y1=V4,C1=z3-z1=V6.

同理, 平面n2的方程為

(11)

其中:A2=x2-x1=V1,B2=y2-y1=V3,C2=z2-z1=V5.

為了簡(jiǎn)便起見(jiàn), 令

聯(lián)立式(9)～(11), 可得曲率中心點(diǎn)P0的坐標(biāo)為

(12)

因此, 曲線C在點(diǎn)P1處的曲率半徑R1=d(P0,P1), 曲率k1=1/d(P0,P1).

顯然, 求得的曲率半徑P0P1即為曲線在該點(diǎn)處的主法線. 副法線的向量即為平面P1P2P3的法向量γ, 而該向量在上述過(guò)程中已求得. 因此, 副法線即為過(guò)P0點(diǎn), 并以γ為向量的直線. 同樣, 切線即為過(guò)P0點(diǎn), 并以主法線、副法線所在平面的法向量為向量的直線, 該直線較易得到, 在此不再贅述.

根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型, 將其應(yīng)用于求解離散空間曲線的曲率半徑、曲率中心以及Frenet標(biāo)架中， 可分為以下兩類(lèi)加以簡(jiǎn)述.

(1) 無(wú)顯式曲線. 曲線用離散點(diǎn)表示, 可將該離散點(diǎn)組按就近原則將其排序, 使其滿足連續(xù)化條件. 按其順序, 依次取3點(diǎn)坐標(biāo), 即可根據(jù)上述模型計(jì)算出該離散曲線的Frenet標(biāo)架.

(2) 顯式曲線. 將曲線均勻分段, 并獲取分段坐標(biāo)值, 然后依次取點(diǎn)計(jì)算Frenet標(biāo)架.

3 算例驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本圖解算法的有效性和適用性, 本文通過(guò)3個(gè)實(shí)例加以驗(yàn)證. 利用AutoCAD軟件中的vlax-curve-getFirstDeriv、vlax-curve-getSecondDeriv函數(shù)獲得曲線的一次、二次偏導(dǎo)數(shù), 再根據(jù)式(5)～(8)求解出曲線的曲率與Frenet標(biāo)架, 以此作為驗(yàn)證的參照.

3.1 平面圓弧曲線

如圖2(a)所示為一平面圓弧曲線, 測(cè)量該圓弧的半徑可知為16.705 mm, 現(xiàn)將曲線均分為10段, 在每個(gè)分段點(diǎn)計(jì)算其Frenet標(biāo)架與曲率半徑. 圖2(b)為利用本文算法與微分幾何法求得的Frenet標(biāo)架對(duì)比圖, 本文算法計(jì)算出的曲率中心即為該圓弧圓心, 曲率半徑也是16.705 mm, 精確率為100%. 圖2(c)是圖2(b)的局部放大圖. 從圖2(c)中可以看出, 本文算法標(biāo)架與微分幾何法標(biāo)架完全吻合, 證明了本文算法對(duì)于求解平面曲線的Frenet標(biāo)架、曲率中心、曲率半徑是有效的.

(a) 任意圓弧線 (b) 本文算法與微分幾何法所得標(biāo)架圖 (c) 標(biāo)架放大圖圖2 平面曲線的Frenet標(biāo)架求解過(guò)程Fig.2 Computing the Frenet frame of planar curve

3.2 圓錐面上測(cè)地線

圖3(a)為點(diǎn)云圓錐面模型上的一條測(cè)地線, 圖3(b)為用本文算法與微分幾何法計(jì)算結(jié)果的疊加對(duì)比圖. 由圖3(b)可知, 本文算法同樣適用于空間曲線的Frenet標(biāo)架求解問(wèn)題. 將圖3(b)局部放大得到圖3(c), 可見(jiàn)本文算法所得結(jié)果的精度很高.

(a)圓錐面上一測(cè)地線 (b)本文算法與微分幾何法所得標(biāo)架圖 (c) 標(biāo)架放大圖圖3 圓錐面上測(cè)地線的Frenet標(biāo)架求解過(guò)程Fig.3 Computing the Frenet frame of geodesic curve on conical surface

3.3 空間變徑螺旋線

圖4(a)為一變直徑的空間螺旋線, 圖4(b)為兩種計(jì)算方法的運(yùn)行對(duì)比結(jié)果. 從局部放大圖4(c)可見(jiàn), 本文算法與微分幾何法計(jì)算結(jié)果有細(xì)小偏差. 分析該誤差產(chǎn)生的原因可知, 由于在曲線上的取點(diǎn)密度(分段數(shù))不同, 會(huì)造成Frenet標(biāo)架計(jì)算誤差, 因?yàn)榍€上三點(diǎn)取值間隔越大, 就會(huì)違反本文算法中三點(diǎn)共面, 用分段平面曲線逼近空間三維曲線的理論基礎(chǔ), 造成圖4(c)中的偏移誤差. 換言之, 取點(diǎn)間距越大, 誤差越大, 間距越小, 精度越高. 因此, 利用本文算法計(jì)算Frenet標(biāo)架、曲線曲率、曲率半徑、曲率中心點(diǎn)坐標(biāo)時(shí), 需將取點(diǎn)間距設(shè)置成較小數(shù)值.

(a) 空間變徑螺旋線 (b) 本文算法與微分幾何法所得標(biāo)架圖 (c) 標(biāo)架放大圖圖4 空間變徑螺旋線的Frenet標(biāo)架求解過(guò)程Fig.4 The solution process of Frenet frame on space variable helix

最后, 調(diào)整取點(diǎn)間距后, 針對(duì)平面曲線、空間測(cè)地線和空間變徑螺旋線進(jìn)行了多次重復(fù)試驗(yàn), 試驗(yàn)結(jié)果表明本文算法對(duì)空間任意曲線的精度可達(dá)到99.9%, 可滿足各種工程應(yīng)用的需求, 具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

3.4 曲線在Frenet標(biāo)架上的投影

Frenet標(biāo)架是用于描述歐幾里得空間中的粒子在連續(xù)可微曲線上的運(yùn)動(dòng), 它反映了曲線的切向、法向、副法方向之間的關(guān)系. 因此, 在獲取曲面各點(diǎn)處的Frenet標(biāo)架之后, 可將該曲線向Frenet標(biāo)架的基本三平面作正投影, 得到3條平面曲線, 以此來(lái)描述原曲線某些特性. 據(jù)此, 本文中添加了該功能, 求得曲線上某點(diǎn)處基本三面形的平面方程, 然后將原曲線向這3個(gè)平面投影. 本文采用離散化的投影機(jī)理, 即將該曲線離散成坐標(biāo)點(diǎn), 將所有坐標(biāo)點(diǎn)投影到平面上, 得到一系列相應(yīng)的投影點(diǎn), 最后將這一系列投影點(diǎn)光滑連接成曲線, 該曲線即為原曲線的正投影線. 離散化處理具有降維的優(yōu)點(diǎn), 能使問(wèn)題簡(jiǎn)單化, 且能處理一些原本比較復(fù)雜的問(wèn)題, 如本文中所提的曲線形式或方程未知及隱式曲線的曲率問(wèn)題等. 圖5為圓錐面測(cè)地線上9點(diǎn)分別向其基本三面形投影所得結(jié)果.

圖5 圓錐面上測(cè)地線基本三面形投影圖Fig.5 The basic three planes projection of the geodesic on conical surface

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出了一種完整的適用于平面、空間任意曲線曲率問(wèn)題的求解模型, 并利用離散方法進(jìn)行降維來(lái)處理曲線信息不確定的問(wèn)題， 提出了圖解方式解決圖形問(wèn)題, 避免求解復(fù)雜微分方程組的困境. 應(yīng)用所建的算法, 對(duì)壓力容器壁厚計(jì)算中涉及的曲面主曲率半徑、軋輥機(jī)輥?zhàn)悠趶?qiáng)度計(jì)算涉及的曲面主曲率半徑的求解都取得了直觀、快速、準(zhǔn)確的結(jié)果. 將曲線投影到Frenet標(biāo)架上, 為直觀地研究曲線特性提供了方法.

今后的研究工作將在以下幾方面開(kāi)展: 帶噪聲的離散曲線或隱性復(fù)雜曲線的Frenet標(biāo)架求解; Frenet標(biāo)架的機(jī)械工程領(lǐng)域的具體應(yīng)用; 利用曲線曲率或Frenet進(jìn)行給定條件的曲線、曲面設(shè)計(jì)等.

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A Graphical Algorithm for Computing the Center, Radius of Curvature and Frenet Frame on Any Curves

ZHENGPeng-fei1, 2,LIUQing2,ZHAOJu-di1,LINDa-jun1,AnQi1

(1. School of Mechanical and Power Engineering, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China; 2. Yiwu Industrial & Commercial College, Yiwu 322000, China)

A method of approximating space curve based on planar curves constructed by discrete points is proposed through analyzing the existing methods of computing the curvature center and curvature radius of curves and the definition and solving method of Frenet frame in differential geometry. A graphical model and mathematical model for computing the curvature center of the curve and Frenet frame are constructed by computing the intersection of two vertical planes and osculating plane. The graphical computing algorithm for computing the curvature center of curves and Frenet frame presented is simple and feasible. It is proved that this algorithm is stable and reliable, and the adaptability of this algorithm is extensive.

curvature center; curvature radius; Frenet frame; graphics

2015-12-20

浙江省教育廳科研資助項(xiàng)目(Y201432394)

鄭鵬飛(1984—)，男，浙江蘭溪人，講師，博士研究生，研究方向?yàn)镃AD&CAGD、反求工程.E-mail：pfzheng@126.com

TP 391

A