激勵頻段對航天器隨機振動載荷的影響

楊新峰，辛 強，單悌磊，鄒軼群，扈勇強

（航天東方紅衛星有限公司，北京 100094）

激勵頻段對航天器隨機振動載荷的影響

楊新峰，辛 強，單悌磊，鄒軼群，扈勇強

（航天東方紅衛星有限公司，北京 100094）

在航天器隨機振動等效準靜態載荷計算中，高頻因對隨機振動載荷的貢獻較小而可以被截去，但目前截止頻率的選擇還未有完全確定。為確定隨機振動環境下的計算頻段，文章設計了不同動態特性的組件進行不同截止頻率的隨機振動試驗，并根據試驗數據分析研究了不同特性組件在不同振動頻段下應變的變化規律。研究結果認為，對于一般組件，隨機振動的計算截止頻率可取為組件主頻率的 1.5倍。針對非均勻輸入加速度譜的隨機振動載荷計算問題，文章提出分頻段的分析方法。按3個基本頻段計算隨機振動載荷，分析得到了不同頻段對總隨機振動載荷貢獻大小和規律，以及截止頻率誤差的影響因素和影響大小。算例表明，分頻段法可以用于不同狀態輸入加速度譜的隨機振動載荷計算。

隨機振動；準靜態加速度；主頻率；截止頻率

0 引言

隨機振動是航天器經歷的一種重要的力學環境，主要產生自火箭整流罩外的氣動噪聲和發動機燃燒不穩定產生的推力脈動。在隨機振動環境下，航天器及其設備的結構強度載荷設計依據主要是由隨機振動環境等效轉化而來的準靜態加速度載荷。

Miles[1]最早就隨機振動環境等效為準靜態加速度載荷進行研究，并提出把隨機振動動態載荷轉化為準靜態加速度載荷的 Miles公式：，其中為最大隨機振動準靜態加速度，fi為系統主頻率，S(fi)為加速度輸入譜在fi處的值，Qi為動態放大因子（Qi=1/(2ξ)，ξ為模態阻尼比）。Miles方法主要針對單一主模態結構，基于加速度輸入譜（假定全頻段均勻譜）計算隨機振動加速度載荷。對一般多模態結構來說，它計算得到的載荷較為保守[2]。因此，對多模態結構，在Miles方法的基礎上提出了模態質量參與法[3]，即把每個模態的Miles算法的結果按模態質量參與的比例求和，實際上是Miles方法的推廣。Miles方法以及基于Miles的推廣方法都是假定輸入譜為全頻段均勻譜（或白噪聲譜），而實際上航天器隨機振動環境一般為非均勻譜，如大多數航天器隨機振動試驗都是采取下凹的隨機振動激勵或者窄帶的隨機振動激勵，這些還不能直接采用基于Miles的方法進行隨機振動載荷計算。

為分析振動頻率對隨機振動環境下總體載荷大小的影響，并確定計算的截止頻率，本文利用試驗數據開展激勵頻率對隨機振動載荷的影響規律研究。為適應非均勻加速度輸入譜下的隨機振動載荷計算，采用分頻段的方法對不同頻段的隨機振動載荷進行分析和研究。

1 研究方法

為了研究隨機振動響應與激勵載荷頻段以及結構模態特性的關系，本文參考衛星常見的星上設備形式，設計了幾種不同模態頻率的鋁合金結構組件，正弦掃描測試得到這些結構組件的主頻率見表1。

表1 不同組件實測結構主頻率Table 1 Measured main frequencies for different assemblies

對上述組件，按照相同功率譜大小、不同截止頻段（20～200 Hz、20～300 Hz、20～400 Hz、20～500 Hz、20～600 Hz、20～2000 Hz）的隨機譜激勵條件分別進行隨機振動試驗，每個頻點的輸入加速度功率譜見表2，其中20～2000 Hz頻段定義為全頻段。

表2 隨機振動試驗輸入加速度功率譜密度Table 2 Acceleration power spectrum density (PSD) input for random vibration test

試驗過程中采集組件的加速度和應變的響應數據。應變測點和加速度傳感器測點在組件根部。根據測試得到的不同頻段的響應數據，分析各頻段對隨機振動載荷大小的影響，從而確定隨機振動載荷計算截止頻率。

2 激勵頻段的影響分析以及截止頻率的確定

隨機振動時引起組件縱向（定義為z向）應變最大，不同激勵頻段試驗中測試得到的各組件z向應變大小見表3，其中應變響應方均根的量綱為1?？梢钥吹诫S著激勵頻率頻段的提高，應變響應總方均根的大小越發接近全頻段的應變響應方均根大小，但趨近全頻段總方均根的規律不一樣：主頻率較低的組件如組件A，在低頻段已經有較大的應變方均根值（20～200 Hz頻段已達到32.70）；而主頻率較高的組件如組件E，低頻段應變方均根較小，到一定的高頻后（即20～500 Hz）才接近全頻段總方均根?？梢娊M件的主頻率越低，其應變方均根越快趨近于全頻段總方均根。

每一頻段的應變方均根占全頻段應變總方均根的百分比見表4。表中數據表明：主頻率較高的組件如組件E，需要較寬頻段才能達到較高的百分比，比波音公司研究人員提出的20～300 Hz頻段要寬。若統一按波音公司的300 Hz作為結構設計載荷的計算截止頻率，那么計算得到的等效加速度載荷偏小（如組件E在300 Hz以內只有9.62%），對于組件結構并不完全適用。

表3 各組件在不同頻段激勵下的應變響應方均根Table 3 Strain response RMS for different assemblies under different excitation bands ×10-6

表4 各組件在不同頻段激勵下的應變響應方均根占全頻段的百分比Table 4 Percentage of strain response RMS of different excitation bands over that of full frequency band for different assemblies %

對一個組件，不同頻段的應變功率譜對總方均根貢獻不同。以組件A和組件E為例，其應變功率譜密度見圖1和圖2?？梢钥吹焦β首V的貢獻主要集中在共振頻率及附近。

圖1 組件A應變功率譜密度Fig.1 Strain PSD for assembly A

圖2 組件E應變功率譜密度Fig.2 Strain PSD for assembly E

對于組件 A，最大應變功率譜發生在 137 Hz附近，對應于其一階主頻率（正弦低量級掃頻得到的主頻為 141.45 Hz，而隨機大量級試驗測試的峰值頻率一般低于正弦低量級掃頻得到的結果）。對于組件E，最大應變功率譜發生在459 Hz附近，也對應于其一階主頻率?？梢?，頻段對應變方均根的影響與組件的主頻率相關，產生影響的頻段為包含主頻率的一定范圍的頻段。這個頻段隨組件的主頻率的變化而變化：當組件主頻率提高，對隨機振動產生主要作用的頻段的高頻端相應提高。

以主頻率的1.5倍作為截止頻率統計的應變方均根見表5，可以看到不同組件的方均根與全頻段總方均根的占比在90%以上，基本上可以代表全頻段的隨機振動作用力。因此，產生主要作用力的頻段不是一個固定的頻段，是隨組件的主頻率而變化，大約至1.5倍主頻率的一個頻段。

表5 主頻率1.5倍為截止頻率的應變方均根及其占全頻段總方均根的比例Table 5 Percentage of strain response RMS of frequency band with cut-off frequency being 1.5 times of the main frequency over that of full frequency band for different assemblies

定義fn為組件的主頻率或共振頻率，基于上述分析，本文認為取20 Hz～1.5fn為隨機振動力的計算頻段較為合適。而目前文獻中建議的截止頻率300 Hz可能只適用于主頻率不大于200 Hz的組件，并不適于所有組件。

對于多數組件，主頻率就是其一階主頻即基頻，如本文的組件A、組件C、組件D與組件E，因此組件截止頻率考慮到一階主頻的1.5倍即可。如果組件主頻率不是一階主頻，那一般將其二階主頻作為組件主頻率，因此只需考慮到二階頻率的1.5倍，如組件B的主頻率為二階頻率589 Hz，則截止頻率為870 Hz。

3 不同頻段的理論分析

當不能測試得到或不能精確仿真分析得到隨機振動響應譜時，航天器及其設備的隨機振動準靜態載荷計算還是使用加速度輸入譜。但當前的基于加速度輸入譜方法（即Miles方法及其推廣方法）是假定輸入譜為均勻平直譜，為適應航天器中經常見到的非均勻輸入譜，本節按分頻段的方法進行分析。

單自由度系統（或單一主模態結構）由于相對簡單，故作為分析的對象。對單自由度系統，先分析隨機振動的加速度輸入譜在不同頻段的隨機振動系統上應變的主要規律。

根據系統動態特性，可以把分析頻段劃分為共振頻段、共振前頻段和共振后頻段。

3.1 共振頻段

對于受基礎激勵振動的系統，假設S為基礎激勵的輸入加速度功率譜密度，R為加速度響應功率譜密度，ω為振動頻率（ω=2πf），ξ為阻尼比，ωn為系統主頻率（ωn=2πfn）。則有[5]

共振區域的隨機振動加速度方均根計算需要確定2個參數：放大倍數（即加速度響應曲線在共振頻率處的高度）和共振區域帶寬。確定了這2個參數后，可以近似用三角面積公式表示共振區域的加速度載荷。

Sn為共振處輸入加速度功率譜密度，根據式(1)，共振處（ω=ωn）的隨機振動加速度響應為

其中Q=1/(2ξ)?？梢姽舱耦l率處隨機振動加速度響應譜密度放大倍數為1+Q2。

共振區域的帶寬可根據組件的實測應變響應數據來確定。組件D在均勻隨機振動譜（0.04g2/Hz）輸入下的實測應變曲線見圖3所示。用三角面積公式Sa= (Δf×h/2)0.5近似計算共振區域的應變方均根，其中，h為峰值，Δf為帶寬，圖中應變曲線峰值h=126.67。同時，對應Δf帶寬內的應變方均根可以從測量曲線積分獲得。一定帶寬的應變響應方均根測量值和近似三角公式計算值比較見表6。

圖3 組件D應變曲線Fig.3 Strain response curve for assembly D

表6 組件D主模態的應變方均根比較Table 6 Comparisons between measured strain RMS and calculated strain RMS for assembly D

根據表6，帶寬Δf大約取一階頻率的±8%作為計算值，這與測量值接近，因此取共振區域的計算帶寬為Δf= 0.16fn。

基于共振處放大倍數和帶寬，共振區域的等效振動加速度載荷可用近似公式表示為

3.2 共振頻率之前頻段

在確定0.16fn帶寬作為共振頻段之后，共振頻率之前頻段即為0.92fn之前的頻段。在共振頻率之前，阻尼影響可以忽略，則有

因此，在共振頻率之前的總隨機振動加速度方均根為

其中：fn為系統共振頻率；f取值范圍為f0～0.92fn。f0為最低輸入激勵頻率，一般衛星隨機振動試驗中，f0為20 Hz。

3.3 共振頻率之后頻段

由于一般隨機振動加速度試驗的最高頻率為2000 Hz，所以共振頻率之后的頻段f定義為1.08fn～2000 Hz。與共振之前頻段類似，共振之后的頻段總隨機振動加速度為

根據前述結論，1.5fn的截止頻率之后的頻率影響可以忽略，因此，f取值范圍可為1.08fn～1.5fn。

3.4 全頻段的加速度計算公式

根據上述劃分的3個頻段的加速度計算公式，可以得到總的全頻段隨機振動加速度載荷方均根為

本文把式(7)簡稱為三頻段計算公式。以100、200、300、400、500 Hz的5個不同主頻率的系統分別在0.04g2/Hz加速度輸入譜下進行振動為例，使用三頻段公式計算隨機振動加速度載荷，其結果與Miles公式計算結果（只取方均根即不乘3）的比較見表7。為與Miles公式計算結果比較，這里三頻段計算公式中最低頻率取為1 Hz，最高為2000 Hz，放大因子Q=10。

表7 三頻段公式計算結果與Miles公式計算結果比較Table 7 Comparisons between tri-band formula results and Miles formula results

由表 7可以看到，三頻段公式的計算結果與Miles公式的相比偏差較小，而且結果的變化規律接近，這驗證了三頻段公式計算的可信性。三頻段公式不僅可以計算單自由度系統（或單一主模態結構）的加速度載荷，而且可以分析不同頻段的影響、計算窄帶隨機振動載荷以及進一步用于多模態結構的加速度載荷分解計算。

當最高頻率分別取2000 Hz和1.5fn時，三頻段公式計算結果對比見表8，表中的加速度載荷為方均根值。

表8 兩種頻段的加速度載荷比較Table 8 Acceleration load comparisons for two different frequency bands

由表8可以看到：二者計算結果比較接近，相對偏差不超過0.8%，這也驗證了隨機振動截止頻率取至1.5fn的合理性。

3.5 不同頻段的對比分析

根據三頻段公式，可以用上述分頻段方法研究單自由度系統的共振區域和非共振段的加速度載荷大小。仍以系統固有頻率分別為100、200、300、400、500 Hz的振動系統為例，其輸入功率譜0.04g2/Hz，放大因子10，計算得到不同頻段的加速度載荷見表9。由表9可以看到：共振頻段的加速度載荷最大，其次為共振前頻段，最小為共振后頻段。3個頻段的加速度載荷與全頻段的占比見表10。表9和表10中加速度載荷為方均根值。

表9 不同頻段隨機振動加速度載荷Table 9 Random vibration acceleration loads for different frequency bands

表10 三個頻段加速度載荷所占百分比Table 10 Percentages of random vibration acceleration loads for three frequency bands

根據表10中數據，共振前頻段、共振頻段和共振后頻段的加速度載荷分別約占全頻段的52%、75%和40%。因為是方均根的關系，3個頻段的加速度方均根百分比的平方和大約為1。不論系統頻率高低，共振頻段的加速度載荷所占全頻段的比例基本不變，共振前頻段和共振后頻段也具有同樣的規律。

上述計算是基于 3個頻段的輸入量級相同，即0.04g2/Hz的均勻譜。而對于非均勻加速度輸入譜，即意味著從低頻到高頻可有不同量級的輸入譜值，因此，可以參照三頻段方法，即把非均勻加速度輸入譜分為若干頻段，把每個量級作為一個頻段，如此一來每個頻段內就是均勻輸入譜的問題，再對這些均勻輸入譜的頻段求出各自的加速度方均根值，最后求和得到總的準靜態加速度載荷。

3.6 多模態結構的頻段對比分析

航天器結構及其設備多為多模態結構，即有多個共振頻率，一般一階共振頻率（fn1）的模態質量比較大。對于多模態結構，共振前頻段則定義為一階共振之前，即小于0.92fn1的頻段。在此頻段，全部模態質量參與加速度載荷等效。共振前頻段的加速度載荷方均根為

共振頻段則包含多個共振峰，每個共振峰以及共振后頻段的加速度載荷計算方法與單自由度振動系統類似；但由于每個共振區域并非全部模態質量參與，故每階共振的加速度載荷按每階模態質量比參與計算。第i階共振與共振后的加速度載荷方均根分別為

其中M′effi為第i階模態質量比。因此，多模態結構的總隨機振動加速度載荷方均根為

以彈簧-質量所構成的三自由度模型的三階模態系統為例（取自文獻[5]）進行分析對比，系統的3個質量m1=200 kg，m2=250 kg，m3=300 kg；3個彈簧剛度k1=108N/m，k2=2×108N/m，k3=3× 108N/m。該系統受基礎激勵，激勵加速度輸入譜S= 0.01g2/Hz，放大因子Q=10。文中計算給出三階模態的頻率為fn1=69.6 Hz，fn2=153.8 Hz，fn3=238.3 Hz；三階模態質量比M′eff1=80.3%，M′eff2=14.9%，M′eff3=4.8%；系統加速度載荷力為20 377 N。根據三階模態頻率和模態質量比，使用三頻段法對系統進行計算得到加速度載荷總方均根為2.777g，乘以總質量750 kg換算得到加速度載荷力為20 411 N。2種加速度載荷力計算結果相差約0.17%，說明三頻段法計算多模態結構加速度載荷的正確性。

按照1.5fn1作為截止頻率，一般情況下有限頻段法中的積分頻段只包含一階共振頻段和一階共振后頻段，如對于上述彈簧-質量的三自由度系統，1.5fn1的截止頻率為105 Hz，相當于三頻段法只計算一階頻率。若該系統按一階模態（忽略其他兩階）并使用三頻段法計算隨機振動加速度載荷，得到加速度載荷力為19 860 N，與20 377 N相差2.5%，此誤差是忽略二階、三階模態質量引起的?？梢钥闯?，多模態結構的截止頻率計算誤差與模態質量相關。針對三階模態系統，保留一階模態質量比約80%（即忽略二階和三階的20%）進行計算，結果相差還是比較小的。若一階模態質量比取為70%，忽略其余30%模態質量，計算得到加速度載荷力為18 276 N，相差約為10%。因此，使用1.5fn1的截止頻率計算隨機振動加速度載荷時，還必須要求一階模態質量比大于 70%，否則計算結果的誤差較大。若一階模態質量比小于70%時，唯有提高截止頻率才能保證足夠的計算精度。由于常見航天器及設備的一階模態質量一般占主導地位，有些甚至接近單一主模態結構，所以，對一般航天器及設備使用加速度響應譜計算隨機振動載荷時，選取 1.5fn1的截止頻率進行計算可以滿足要求。

假設單自由度系統的主頻率與三自由度振動系統的一階共振頻率相同，均為 69.6 Hz，加速度輸入譜都為 0.01g2/Hz，以此進行對比研究。根據三頻段公式，共振前頻段的加速度載荷取決于一階主頻率、一階共振前頻段以及輸入譜，由于二者一階主頻率、一階共振前頻段和輸入譜相同，所以兩個系統的共振前頻段的加速度載荷相同，但全頻段的加速度載荷卻不一樣，分別為2.909g和2.777g。將單自由度系統的100%模態質量比與三自由度系統分散的模態質量比（三階分別 80.3%、14.9%、4.8%）對比發現，總隨機振動加速度載荷隨著模態質量分散而降低了。結果表明具有相同一階主頻率的三階模態結構與單一模態結構相比，共振前頻段貢獻相同，共振及共振后頻段貢獻減小了。同時也說明用針對單一模態結構的Miles方法計算多模態結構的隨機振動載荷會偏大、偏保守。

4 結束語

分析結果表明，當前隨機振動載荷計算中以300 Hz作為截止頻率只適用于部分結構組件。截止頻率的選取不僅應考慮結構主頻率，而且還要考慮模態質量比。對于一階模態質量比大于70%的航天器及設備組件，截止頻率可取為組件主頻率的1.5倍。

三頻段分析法不僅可以用于隨機振動加速度載荷的計算，而且還可以分頻段分析不同頻段的影響以及不同截止頻率的計算誤差。對于單模態結構，3個頻段對加速度總方均根的貢獻比例相對不變（52%，75%，40%）；而對于多模態結構，共振前頻段的加速度方均根占比與單模態結構的相同，但共振及共振后頻段的貢獻減小，貢獻比例隨模態質量比變化而變化。

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（編輯：肖福根）

The influence of frequency on the random vibration load of spacecraft

YANG Xinfeng, XIN Qiang, SHAN Tilei, ZOU Yiqun, HU Yongqiang
(DFH Satellite Co.Ltd., Beijing 100094, China)

For the quasi-static load computation of spacecraft under random vibration environment, the part of high frequencies contributes little to the random vibration load and could be cut off in computations.However, the selection of the cut-off frequency has to be determined.For that purpose, the assemblies with different dynamic characteristics are designed, and the random vibration tests are carried out on the assemblies with different cut-off frequencies.Based on the test data, the variations of the strain of the assemblies in different excitation frequency bands are analyzed.It is shown that, for general assemblies, the cut-off computation frequency is supposed to be 1.5 times of the main frequency of the assembly.For the uneven acceleration power spectrum input, we have no direct computation method, therefore, the frequency band method is proposed to calculate the random vibration load, and the contributions from different frequencies are analyzed, to determine the influencing factors of the cut-off frequency.The computation example indicates that the frequency band method could be used to correctly calculate the random vibration load.

random vibration; quasi-static acceleration; main frequency; cut-off frequency

0324

：A

：1673-1379(2016)06-0581-08

10.3969/j.issn.1673-1379.2016.06.002

楊新峰（1966—），男，博士學位，研究員，主要從事衛星動力學分析、大型試驗、衛星減振、微振動分析與控制等工作。E-mail: stephenyang66@hotmail.com。

2016-11-11；

：2016-11-23

總裝備部“十二五”星箭可靠性項目工程