切換系統的研究綜述

劉永慧

(上海電機學院 電氣學院，上海 201306)

切換系統的研究綜述

劉永慧

(上海電機學院 電氣學院，上海 201306)

對切換系統的研究進行了闡述。從系統建模、穩定性分析、鎮定、能控和能觀性4個方面介紹了切換系統的研究現狀，并重點介紹了公共Lyapunov函數、多Lyapunov函數等穩定性分析方法。最后，對目前的研究進行了展望。

混合動態系統; 切換系統; 穩定性; 公共Lyapunov函數; 多Lyapunov函數

混合動態系統是既包含離散事件動態系統，又包含連續變量動態系統，且兩者相互作用的系統。[1]。由于混合動態系統包含了離散事件和連續時間變量，在理論研究上面臨極大的挑戰。此外，實際工程系統中所有涉及邏輯決策和連續控制的系統，如機器人系統[2]、化工控制過程[3]等都可以轉化為混合動態系統，因此，混合動態系統一直是控制界研究的熱點。

切換系統是一類典型的混合動態系統，它由一族子系統(子模態)以及描述它們之間聯系的邏輯規則構成。其中，邏輯規則又稱為切換信號。切換系統的本質是切換，切換思想在日常生活中應用廣泛。繼電器在閉合、斷開兩種模式間變換以及齒輪變速器檔位的變化都是通過切換實現的[1]。實際上，多控制器系統本身就是一個典型的切換系統。

切換系統自被提出以來就一直是控制界的研究熱點。近年來，切換系統在穩定性分析、鎮定等方面得到了很多有益的結論[4-6]。由于切換系統的應用背景非常廣泛，故其備受關注；很多實際系統，如電動機系統[7]、航天控制系統[8]等，因環境變化會呈現出不同的模態。切換系統的動態性能也非常復雜，當所有子系統都穩定時，設計出的切換信號不一定能保證整個系統穩定，即整體性能不等于各個模態性能的簡單疊加，甚至會有截然不同的性能。

本文系統地總結了切換系統的發展并對其進行了評論。從系統建模、穩定性分析、鎮定、能控性和能觀性4個方面介紹了切換系統的發展，并對目前的研究進行了展望。

1 切換系統模型描述

切換系統中的連續子系統用微分方程給出，離散子系統用差分方程給出。一般情況下，連續非線性切換系統表示為

(1)

式中，fσ(t)(x(t))為任意非線性函數；x(t)為系統的狀態；σ(t):[0,∞)→Γ={1,2,…,s}為切換信號，當σ(t)在指標集Γ={1,2,…,s}中取定時，系統將運行相應的子系統。

切換信號主要包含以下幾類[9]:①σ(t)是任意的切換信號，通常是一個分段右連續常值函數；②σ(t)是受限的切換信號，即它是可設計的切換信號(通常依賴于狀態或時間)；③σ(t)是隨機的(通常滿足Markov過程)。

一般情況下，連續線性切換系統表示為

(2)

式中，Aσ(t)為系統的狀態矩陣。

離散切換系統的數學模型可根據連續時間的模型類似地給出。

本文給出2個切換系統及其應用的例子。

例1帶切換的簡單RC電路。

圖2為一個簡單的相移(Resistance-Capacitance,RC)電路的電路圖。電路中含有切換開關S，其作用是選擇電路中的電阻R1和R2；E1和E2是兩個恒壓源；iC為通過電容器C的電流。當開關S在1和2之間切換時，電路方程可以用如下的切換系統來描述:

(3)

圖1 帶切換的簡單RC電路Fig.1 Simple RC circuit with a switch

例2三罐系統[3]。

圖2為三罐系統的示意圖。液體由罐1流出，經過切換開關流向罐2或罐3。

假設罐1的流入速度為v，罐1、2、3的液面高度分別為x1、x2、x3，流出速度分別為k1、k2、k3，且液體高度與流速成線性關系。當開關打到罐2時，液面高度可描述為

(4)

當開關打到罐3時,液面高度變換為

(5)

由上述例子可見，系統進行切換使得系統的動態性能更加豐富，這為復雜系統的研究提供了很好的研究思路。

2 研究現狀

2.1 穩定性分析

由于子系統不斷地進行切換，故切換系統的穩定性分析與一般系統的穩定性分析方法有所不同。切換系統的穩定性分析更復雜，主要表現在以下方面:① 子系統均穩定的切換系統，在某些切換信號作用下也會失穩；② 子系統均不穩定的切換系統，通過設計合適的切換信號也可能實現系統穩定。

可見，切換系統的穩定性分析主要建立在切換信號的選取上。文獻[10]中將其穩定性分析歸結為以下問題:① 任意的切換信號下，切換系統的穩定性；② 受限的切換信號下，切換系統的穩定性；③ 構造一個切換信號，使得切換系統穩定。

對于第①個問題，研究的思路是將傳統的Lyapunov穩定性理論推廣到切換系統，得到的方法主要有變分法、公共Lyapunov方法等。

(1) 變分法。文獻[11]中采用變分法研究了含有2個子系統的線性切換系統在任意切換信號作用下系統的穩定性。變分法的核心思想是尋找切換系統中最不穩定的切換信號。若切換系統在最不穩定的切換信號下是穩定的，則對于任意的切換信號，該系統必然穩定，其中，求解最不穩定的切換信號實際上是一個優化問題求解過程。

(2) 公共Lyapunov函數方法。文獻[12]中提出了公共Lyapunov函數方法，給出切換系統全局一致漸近穩定(即對于任意的切換信號，系統均漸進穩定)的條件，即切換系統存在公共Lyapunov函數。

之后，學者們對于公共Lyapunov函數存在的代數條件進行了研究。文獻[13]中證明了如果系統矩陣Ai(i∈Γ)為一組可交換的穩定矩陣，則線性切換系統存在公共二次Lyapunov函數，并給出了該函數的構造方法。文獻[14]中證明了對于式(2)，若由Ai(i∈Γ)，生成的Lie代數可解，則該系統存在共同的二次Lyapunov函數。在此基礎上，文獻[15]中進一步將上述結論推廣到非線性切換系統。

顯然，上述給出的公共Lyapunov函數是切換系統穩定的充分條件。對于其必要性，文獻[16]中運用向量場的理論做了進一步研究，并證明了對于線性切換系統，上述條件是一個充要條件。

(3) 多Lyapunov函數方法。切換系統的公共Lyapunov函數不易構造，學者們將構造公共Lyapunov函數列為控制系統中未解決的問題之一。因此，運用設計受限的切換信號來研究切換系統的穩定性開始受到學者們的關注，并得到了多Lyapunov函數方法(主要有駐留時間方法、平均駐留時間方法等)。

從物理角度講，系統不穩定是由于系統能量沒有被完全吸收造成的，因此，如果子系統下次被激活時的Lyapunov函數值始終小于上次被激活時的Lyapunov函數值，此時系統能量衰減，則系統穩定。基于上述思想，文獻[17]中提出了多Lyapunov函數方法。多Lyapunov函數有連續和離散兩種情況(見圖3)。

圖3 多Lyapunov函數Fig.3 Multiple Lyapunov function

上述切換系統的穩定性是建立在子系統均穩定的條件下。文獻[18]中將上述結論作了進一步改善，提出了類似Lyapunov函數，只需要求子系統在其運行時間段內穩定即可(見圖4)。

圖4 類似Lyapunov函數Fig.4 Like multiple Lyapunov function

(4) 駐留時間方法。當系統切換到不穩定的子系統時，停留在該子系統的時間過長或切換到該系統過于頻繁，都會導致系統不穩定。因此，當停留在穩定子系統內的時間足夠長時，可抵消系統能量的增長，且當系統的切換不太頻繁(即慢切換)[19]時，即可保證切換系統穩定。

基于上述慢切換的思想和多Lyapunov函數穩定性理論，Morse[20]提出了駐留時間方法，證明了對于系統式(2)，若存在多Lyapunov函數Vi(x(t)):Rn→R，i∈Γ，兩個K∞函數α1、α2和參數λ0>0，其中，K∞函數是一類特殊函數，該類函數單調遞增，且函數的初始值為0。參數μ>0滿足:

(6)

且駐留時間(即系統連續兩次切換之間的間隔時間)τσ滿足:

τσ>lnμ/(2λ0)

(7)

則系統全局漸近穩定。

在此基礎上，文獻[19]中進一步提出了平均駐留時間方法。近年來，駐留時間方法得到了進一步推廣和應用:文獻[21]中證明了對于含有不穩定子系統的切換系統，駐留時間方法仍然適用，并且給出了系統指數穩定的條件。文獻[22]中進一步分析了當所有子系統均不穩定時系統的穩定性。平均駐留時間方法在非線性切換系統[23]以及時滯切換系統[24]的研究中也得到了廣泛應用。此外，文獻[25]中采用臨界駐留時間方法，分析了線性切換系統的穩定性。對于線性切換系統，文獻[26]中給出了最小駐留時間的估計方法。

(5) 依賴于狀態的切換信號。受限的切換信號可分為時間域限制和狀態空間限制。文獻[27]中首次提出了設計狀態受限的切換信號，通過將整個狀態空間分成不同的區域Ωi，i∈Γ，并在不同的區域內選取適當的Lyapunov函數，保證系統能量函數衰減。

文獻[28]中設計了基于投影變換的切換信號

(8)

式中，Qi為正定矩陣。

將切換系統式(3)的穩定性分析轉化為一個優化問題求解。文獻[29]中進一步提出了面向路徑的狀態反饋型切換信號，不再限制劃分的狀態區域和要求系統子模態的個數相同。文獻[30]中采用多面體類似Lyapunov函數方法，設計了依賴狀態的切換信號，分析了系統的穩定性，但是該方法在應用時不易驗證。

多Lyapunov函數方法是切換系統穩定性分析中常用的方法，但是需要實時地比較函數值，這給應用帶來了不便。文獻[31]中進一步定義了持續穩定性和逐點鎮定，討論了系統在固定切換信號和受限切換信號兩種情況下，初始值在一定范圍波動時系統的穩定性。

2.2 鎮定問題

設計切換信號使得切換系統穩定本質上屬于切換系統的鎮定問題。切換系統的鎮定控制可分為3類，即設計合適的切換信號、設計合適的切換控制器以及同時設計合適的切換信號和切換控制器。

(9)

顯然，與文獻[32]比較，文獻[33]中的結論更具一般性。

(2) 控制器的設計。當切換信號固定或是任意的切換信號時，只需設計切換控制器以確保系統穩定。對于任意的切換信號，文獻[34]中采用極點配置方法分析了系統的鎮定問題。文獻[35]中通過對系統進行變換，研究了一類單輸入平面切換系統在任意切換信號下的反饋控制。給定依賴狀態的切換信號，文獻[36]中設計了飽和控制器，研究了切換系統的鎮定控制。

(3) 同時設計切換信號和控制器。主要研究切換系統的鎮定問題。文獻[37]中基于系統的結構特點，構造了合適的切換律和控制器，分析了平面切換線性系統的鎮定問題。有些研究是在特殊的切換信號下(如最小投影方法和平均駐留時間方法等)，分析系統的鎮定問題。其中，文獻[38-39]中分別運用平均駐留時間方法和和最小投影方法設計切換信號，分析了系統的反饋鎮定問題。

2.3 能控性和能觀性

目前，關于切換系統的能控性、能觀性的研究大都針對線性切換系統展開的[40-43]。其中，文獻[40]中定義了線性周期切換系統的能觀性，并給出了能觀性的充要條件；由對偶原理進一步得到了系統能控性的充要條件。在此基礎上，文獻[41]中進一步給出了一般線性切換系統能控性的充要條件。對于離散時間線性周期切換系統，文獻[42]中進一步給出了其能控性和能觀性的充要條件。之后，文獻[44-45]中對于切換系統的能控能觀性進行了深入研究，給出了切換系統可控集的定義，得到了能控性的Gram判據，給出了線性切換系統可控性的充要條件，并證明了可控性與可觀性之間的對偶性。文獻[46]中進一步研究了線性切換系統可控的代數條件，證明了若Gram矩陣是行滿秩的，則線性切換可控。文獻[47]中分析了同時含有連續離散子系統的線性切換系統的可控、可觀性，并得到了其可控、可觀的充要條件。

綜上所述，國內外學者對于切換系統的穩定性分析及鎮定控制已經展開了較為深入的研究。值得注意的是，對于切換系統其他方面的研究，如魯棒控制[48-49]、容錯控制[50-52]、優化控制[53-55]等方面也得到了很多有意義的成果。

3 展 望

本文對切換系統的研究進行了闡述并進行了評論。切換系統應用廣泛，仍有許多問題尚未解決，現就今后的研究方向做簡單的論述。

(1) 切換系統穩定性分析中，如何構造公共Lyapunov函數，仍是尚待解決的問題。此外，如何給出新的穩定性定義以及便于驗證的方法有待進一步解決。

(2) 對于時間受限的切換信號，如何給出駐留時間的非保守估計是新的研究方向。

(3) 目前得到的穩定性分析方法大多是針對一般的切換系統，如何將上述結論推廣到復雜的切換系統，如隨機切換系統、Markovian跳變系統等有待進一步解決。

(4) 近年來，切換系統的研究中出現了很多優化問題，如雙線性不等式求解等問題，如何給出這些問題的算法將是一個新的研究方向。此外，對于實際切換系統，如何選擇最優的切換時刻以及切換信號，使系統的性能達到最優，這無疑是一個具有深遠應用前景的研究方向。

(5) 切換控制與智能控制方法相結合。目前，切換控制與模糊控制、神經網絡控制等智能控制方法相結合的成果并不多，將智能控制方法與切換控制相結合必定能取得很多有意義的成果。

(6) 切換系統在各領域的應用還值得深入研究。切換系統理論在飛行控制、網絡控制、電力電子系統等領域的應用還需要深入研究。引入了切換思想后，上述系統可看作一個切換系統，切換系統在穩定性分析方面的成果可以應用到系統的穩定性分析中。

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Review of Switched System Research

LIU Yonghui

(School of Electrical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

This paper studies switched systems. From modeling, stability analysis, stabilization and controllability, and observability of switched systems, the current status of switched system research is discussed. The stability analysis methods include common Lyapunov functions and multiple Lyapunov functions. Prospects for the research are given.

hybrid dynamic system; switched systems; stability; common Lyapunov functions; multiple Lyapunov functions

2016-05-06

上海市高校青年教師培養計劃項目資助(15U02)

劉永慧(1986-)，女，講師，博士，主要研究方向為切換系統、滑模變結構控制，E-mail:liuyh@sdju.edu.cn

2095-0020(2016)06-0330-08

TP 273； TP 13

A