2016年高考數學四川卷理科第10題探究*

☉四川師范大學數學與軟件科學學院 李雪梅☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

2016年高考數學四川卷理科第10題探究*

☉四川師范大學數學與軟件科學學院 李雪梅☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

2016年高考數學四川卷理科第10題：在平面內，定點A，B，C，D滿足動點P，M滿足則的最大值是（ ）.

此題立意鮮明，含有教材背景，思路寬解法多，極富思維價值，許多一線教師對此題給予較高評價.下面擬從試題的立意分析、教材背景、思路與解法探究、試題的推廣、解題后的回顧與教學啟示等方面作一番研究.

一、試題的立意分析

立意是試題的考查目的.高考數學命題以能力立意為價值取向，一般從數學語言、數學知識、數學思想方法、數學能力素養等方面確定試題的考查目的.本題重視對數學能力和數學素養的考查［1］.下面從考查數學語言、數學思想方法、數學能力素養等方面分析該題的立意.

以數學語言立意：數學語言主要包括抽象的符號語言、直觀的圖表語言、量化的代數語言和普通的自然語言，這里的自然語言是指母語，在中國母語指漢語.本題以6個點（4個定點和2個動點）、向量的模、向量的數量積、向量的線性關系、向量的模的平方、多個方程等符號的形式呈現，考生普遍感到字母多、符號多、關系多，頗有無從下手、力不從心的心境.面對比較多的向量符號，一種自然的考慮是用向量自身的知識和方法解決問題，這對向量掌握得不好的考生來說是困難的.因此，更多的考生是選擇將抽象的向量符號語言轉化為直觀的圖形語言或代數語言（如坐標語言）.這顯然有考查數學語言的相互表征與互譯互化的意圖.

以數學思想方法立意：本題若只用向量自身的知識和方法解決，則需用向量法；本題若不用向量法，則可考慮先建立直角坐標系（坐標法），然后用三角法或解析法解決問題.如果從條件和問題的幾何意義來思考和處理問題，運用數形結合思想，則可用平面幾何知識和方法直接簡潔解答.因此，本題的解答可以涉及4大基本方法：向量法，坐標法，三角法，解析法；也必涉及求最值的一些方法.本題考查了數形結合、化歸與轉化等思想.

以數學能力素養立意：該題考查了考生的思維能力、運算能力、實踐能力（動手畫圖）和創新意識.數學能力素養的核心是思維.本題對思維能力進行了全面考查，對眾多數學符號的觀察與聯想，對解題思路的預估與頓悟，對解題方法的嘗試與選擇等，都需要直覺思維；對正三角形的判定、正三角形邊長的計算的線性表示、最值的計算等，則需邏輯思維；對隱藏在題目中的幾何本質的深邃洞察與靈活運用，則需靈感思維和創新思維.本題還考查了思維的廣闊性、深刻性、靈活性、獨創性等品質.

二、試題的教材背景

從歷年高考試題的題源來看，教材是試題的主要來源，是高考命題的重要依據和出發點，很多優秀的高考試題都有“源于教材、高于教材”的特點.本題源于教材、高于教材.如題干中的是以人教A版《普通高中課程標準實驗教科書》必修4第二章總復習題B組的第5題和第8題為背景改編的.題干中動點P，M滿足含有人教A版必修2第4.1.2節的例5的背景，這個例5可以推廣成一個命題：平面內，圓上任意點與一個定點連線的中點的軌跡仍是一個圓.像這樣立足于教材設計的試題，既可保證試題背景的公平性，又對抑制題海戰術有好處，還對中學數學教學有良好的導向作用.因此，應大力提倡立足于教材編擬高考試題.

三、思路與解法探究

喬治·波利亞在《數學的發現》序言中說：“掌握數學就意味著善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題.”思維心理學認為，發散思維是創造性思維的核心.本題具有思路寬闊、解法多樣等特點.本題可以從多種不同角度進行分析與探究，可以得到多種解法，這可培養學生的發散思維，從而可以培養學生的創造性思維.

思路（一）：三角法

同理可得，DA⊥BC，DC⊥AB，從而D是△ABC的垂心.

所以△ABC的外心與垂心重合，因此△ABC是正三角形，且D是△ABC的中心.即

如圖1，以A為原點、直線SA為x軸建立直角坐標系.

圖1

思路（二）：解析法

設點P（x，y），則點P的軌跡方程為x2+y2=1，因為點M是PC的中點，則M的坐標為

又設M（x1，y1），則可得代入可得：即這表明，點M在圓

思路（三）：向量法

方法6：取AC的中點K，連接KM，BM，BP，BK.

因為點M是PC的中點，因此有

點評：此解法充分發揮了向量的工具性作用，解過程體現了思維量大、運算量小的特點.

思路（四）：平面幾何法

方法7：設AC的中點K，連接KM，BK.KM是△ACP中位線，則即其中K為定點，M為動點，動點M到定點K的距離恒等于這表明動點M的軌跡是以K為圓心為半徑的圓當且僅當B，K，M三點共線且K在B、M之間時取等號.故

點評：此解法深刻洞察并發掘了隱藏在題目中的幾何本質（動點M的軌跡是圓），顯示出幾何直觀在數學解題中的巨大價值，值得欣賞和提倡.

四、試題的推廣

試題的推廣是指對試題進行引申、加強與深化.對試題的推廣，有利于促進學生認知的深化，開拓思維的視野，并能培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，以及培養學生的數學探究意識和創新意識［2］.數學問題的推廣，對培養學生的觀察洞察能力、類比聯想能力、歸納猜想能力、問題探究能力是有益的.

下面我們對該題進行推廣.

推廣1平面內的定點A，B，C，D滿足空間中的動點P，M滿足則的最大值是（ ）.

推廣1將平面內的動點P，M推廣到空間中的動點，仍可用前面的一些解法得出答案，且的最大值不變.

推廣2平面內，定點A，B，C，D滿足動點P，M滿足則的最小值是（ ）.

推廣3平面內的定點A，B，C，D滿足動點P滿足0），動點M滿足則的最大值是（ ）.

五、解題后的回顧與教學啟示

上面的思路探究與解法運用了數形結合、化歸與轉化等重要的數學思想，并運用了三角法、解析法、向量法、平面幾何法等多種數學基本方法，有效訓練了數學思維的靈活性、發散性、選擇性和創造性.此外，解答本題有以下幾個關鍵點：一是數學語言間的轉換，即要準確的將符號化的向量語言轉化為直觀的圖形語言或代數語言（如坐標語言）等；二是運用教材習題的解題經驗，準確并快速地判斷△ABC為正三角形；三是本題以A，B，C，D等點為原點建立直角坐標系都是可行的，因此建系具有靈活性，但建立不同的坐標系，其運算量的大小不同，本題以點A為原點建立坐標系較為理想，可以減少運算量，簡化求解過程；四是靈活運用數學思想方法，可以達到多想少算的效果，比如用向量法，或者用數形結合思想（平面幾何方法），就能回避或減少煩瑣運算.

此題對教學的啟示是多方面的：（1）不管是新課教學還是高三復習，都應重視教材中的例題、習題、復習題的研究，這里主要是指對教材中部分富含思維價值的題目進行研究；（2）教學中應重視抽象的符號語言、直觀的圖表語言、量化的代數語言、熟悉的自然語言之間的相互表征與互譯互化；（3）應重視數學思想方法的教學；（4）數學解題教學要突出“想”的訓練，包括多角度地聯想、大膽地猜想、直覺地想象等；（5）大力提倡立足于教材編擬高考題，唯有如此，才能真正使高中數學教學重視教材、回歸教材、研究教材［3］.

1.張進華.既要夯實“通性通法”，又要學會“靈活變通”——從兩道高考試題的解法談起［J］.中學數學（上），2016（5）.

2.趙思林.高考數學解題分析［M］.成都：四川大學出版社，2011.

3.趙思林，李建軍.一個高考最小值問題的研究［J］.中學數學研究，2012（5）.

*項目來源：教育部“本科教學工程”四川省地方屬高校本科專業綜合改革試點項目——內江師范學院數學與應用數學“專業綜合改革試點”項目（ZG0464）；四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目.趙思林系碩士研究生李雪梅的指導教師.趙思林系本文通訊作者.

1.李雪梅，女（1994-），四川師范大學數學與軟件科學學院，學科教學（數學）專業碩士研究生.

2.趙思林，男，（1962-），教授，碩士生導師，主要從事數學教育、高考數學和思維心理學研究.