基于數學理解性學習的概念教學設計研究*
——以“橢圓的定義”的教學為例

☉福建省連江第一中學 李 鋒

基于數學理解性學習的概念教學設計研究*
——以“橢圓的定義”的教學為例

☉福建省連江第一中學 李 鋒

一、引言

概念是思維的細胞，概念教學是數學教學的重要內容，理解概念是一切數學活動的基礎.然而，一些教師急功近利，概念教學走過場，往往采用“一個定義，幾項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學生提供充分概括本質特征的時間與機會，認為多做幾道題更實惠些.以解題教學代替概念教學的做法嚴重偏離了數學的正軌，必須糾正.否則，學生在數學上耗費了大量的時間、精力，結果可能是對數學的內容、方法和意義知之甚少，“數學育人”終將落空.

近年來，各種數學教學理論研究上的突破與發展，為揭示概念教學的深層機制提供了科學依據；有針對性、可操作性強的數學教學研究方法，也為概念教學研究提供了科學指導.其中，“為理解而教”作為一種重要的教學思想逐漸被廣大教師所認同，關注學生數學理解性學習的教學研究也備受重視.數學理解是指學生在已有數學知識和經驗的基礎上，建立新知識的個人心理表征，并不斷完善和發展頭腦中的知識網絡，同時能將納入知識網絡中的新知識靈活地加以提取和應用.數學理解性學習是指學生在理解基礎上的數學學習，它不僅能將新知識與已有知識聯系起來，并在原有知識網絡基礎上積極有效納入新知識從而構建一個更為完整、豐富的知識網絡，而且能將新知識網絡中的知識、方法、思想等進行靈活遷移與應用.

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，教學中應加強對基本概念的理解與掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿于高中教學的始終，幫助學生逐步加深理解.筆者主持“基于數學理解性學習的概念教學研究”的課題研究，正是針對目前概念教學的缺失，依據數學理解、數學理解性學習等理論，探尋有效的概念教學方式.最近一項成果《橢圓的定義》在市微課大賽中獲獎，現整理出來與大家交流.

二、基于數學理解性學習的教學設計案例

（一）創設情景，引入課題

教師：多媒體演示平面截圓錐、生活中橢圓實例（見課件）以及天體運動軌跡（如圖1）；介紹歷史故事——刁尼秀斯之耳：1943年7月9日，在西西里島實施空降作戰的盟軍部分官兵不幸被俘獲，德軍將他們關押在一座巖洞監獄里.晚上，被俘的盟軍官兵們偷偷聚集在巖洞最里面，小聲議論越獄方案.奇怪的是他們周密的出逃計劃竟被德軍知曉，難道有人告密？被俘的盟軍官兵們開始互相猜忌，這是怎么回事？原來，這個作為監獄的巖洞是古希臘西西里島統治者請一位名叫刁尼秀斯的官員專門設計的，巖洞監獄采用橢圓形結構，這種特殊結構可以使犯人在里面小聲議論的聲音，經過橢圓反射清楚地傳到洞口看守人的耳朵里.后來，人們把這種設計叫做“刁尼秀斯之耳”.故事反映了橢圓一個重要的光學性質（如圖2），從橢圓一個焦點發出的聲音、光或熱，通過橢圓反射，可以全部匯聚到另一焦點處.利用這個性質，人們研制出許多重要的東西.可見，橢圓不僅在生活中普遍存在，而且應用廣泛，下面一起來探索橢圓的相關知識（引入課題）.

圖1

圖2

設計意圖：借助實例及動畫演示，學生直觀感知橢圓來源于現實生活；歷史故事極大引發學生探究新知的興趣，感悟數學與生活的聯系.情境的創設，既自然滲透數學文化，揭示學習橢圓的必要性，又有效激活學生思維，對現象達到理解性認識，為下面探究奠定良好的認知基礎.

（二）實驗探究，反思建構

教師：圓的定義是什么？我們是怎么畫圓的？（學生答略）那么，橢圓又是怎樣的點的集合？如何畫出一個橢圓？請同學們拿出事先準備好的工具（細繩、紙板、圖釘、鉛筆）來做一個實驗：取一條定長L的細繩，把它兩端固定在紙板同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形？如果把細繩的兩端拉開一段距離分別固定在紙板的兩點處，畫出的又是什么圖形？

（學生動手實驗，稍后請代表發言并展示自己的作品.及時捕捉學生思維的亮點并表揚，同時借助幾何畫板演示實驗，如圖3.

圖3

設計意圖：學生動手實驗，操作簡單，體會深刻，帶來的收獲絕非僅僅是一個“好玩”的“游戲”，更有意義的是學生追尋數學知識發生發展的探索之路，感悟“數學源于生活”.信息技術為學生提供一個理想的“數學實驗”模擬情境，進一步加強對橢圓的直觀感知.通過實驗，學生直觀感悟橢圓概念形成之中隱藏的數學思想，有利于全面、深刻地理解橢圓概念的本質.

教師：請思考，在畫出一個橢圓過程中，細繩兩端位置是固定的還是運動的？筆尖到兩端點的距離之和是什么？繩子長度與兩定點間距離有什么關系？怎樣才能畫出一個橢圓？

（學生歸納，略）

設計意圖：概念的形成是一個直觀感知，提煉加工并抽象概括的過程，在橢圓概念生成的關節點處及時追問，促使學生進行深入反思與建構，經歷由具體實例觀察發現、抽象概括出橢圓定義的思維過程.提問有利于對學生思維實施監控，準確把握學生理解的程度，以便及時對教學作出更有利于學生理解的調整.

（三）抽象概括，形成概念

教師：請歸納橢圓的定義并解釋其中的要點.

（學生嘗試歸納，教師適當補充）

教師（追問）：橢圓上任意一點滿足的幾何條件是什么？

設計意圖：學生嘗試用語言表達對橢圓概念的直觀認識與理解，并對所敘述的內容作出解釋.在這種師生互相交流、對話合作的數學活動中，學生積極思考、主動理解，同時充分暴露他們理解上的缺限，教師的適時點撥，又可以引導學生重新思考一些理解不夠到位的知識，使教學過程以動態生成的方式有效推進，學生在不斷理解的基礎上學習，加深對概念的認識.

（四）變式探究，深化理解

問題1 已知平面內兩點A（-3，0），B（3，0），若動點M滿足|MA|+|MB|=10，則點M的軌跡是什么？

變式：若動點M滿足|MA|+|MB|=6，則點M的軌跡又是什么？

問題2 如圖4，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么，為什么？

圖4

圖5

變式：如果將點A移到圓上、圓外，則點Q的軌跡還是橢圓嗎？

（學生分析并交流討論，教師借助幾何畫板演示）

設計意圖：對橢圓概念的理解是一個循序漸進的過程，學生要經過一系列練習與拓展才能真正領悟.問題2需要學生具有較強的分析問題與解決問題的能力，能夠從題設背景中挖掘出構成橢圓的幾何條件，考查學生是否真正理解了橢圓概念.變更題設中“點A在圓內”條件的限制，激勵學生開放探究以挖掘背景的豐富內涵.借助變式探究，使學生不斷領悟橢圓概念的本質，體驗數形結合等主要思想，崇尚數學的理性思維，體會數學的美學意義，達到對概念的深刻理解.

問題3 準備一張圓形紙片，如圖5，在圓內任取不同于圓心O的一點A，將紙片折起，使圓周過點A，然后將紙片展開，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線l畫出來），這樣繼續折下去，得到若干折痕.觀察這些折痕圍成的輪廓，它是什么曲線？

圖6

圖7

（學生拿出事先準備好的圓形紙片進行折紙試驗，發現折痕圍成的輪廓是個橢圓，如圖6）

教師：感覺折痕上某一點的軌跡是橢圓，能確定是哪一點并證明嗎？

（學生經過觀察、分析、抽象與判斷，發現折紙試驗與問題2背景相同.如圖5，設點P為圓周上任意一點，折起后與點A重合，則折痕所在的直線即為線段AP的垂直平分線l，設直線l與線段OP相交于點Q，借助幾何畫板演示點Q的軌跡）

教師（追問）：若平面內動點Q到兩定點O、A的距離之和等于常數r（大于|OA|），你能否由問題2得到啟發，利用幾何方法確定點Q的位置？

（學生可能有別的想法，教師引導學生利用問題2結論分析：因為|QO|+|QA|為定值r，不妨將兩條線段的長度和轉化為一條線段，即在線段OQ的延長線上取點P，使|QP|=|QA|，則|QO|+|QA|為定值r可轉化為|OP|為定值r，于是點P的軌跡就是以O為圓心，|OP|為半徑的圓.由此得出確定點Q的方法：如圖7，作以點O為圓心，r為半徑的圓O，在圓O上任取點P，作線段AP的垂直平分線與線段OP的交點，即為符合條件的點Q）

設計意圖：“折紙小世界，思維大舞臺”，折紙活動引入課堂，是數學回歸生活的載體之一，同時數學不僅要回歸生活，更要高于生活.通過追問橢圓上點的幾何形成思路來揭示橢圓的形成過程，感知問題2的背景內涵，體會橢圓與圓之間的聯系（背景實質上提供了一種由圓生成橢圓的幾何作法，這正是折紙試驗所蘊涵的道理），培養逆向思維能力，提高幾何作圖能力，體會運動與變化、變與不變對立統一的辯證觀念.通過折紙實驗，學生從一個新的角度重新分析和反思建構，深化對新知的理解.學生理解知識不應只局限于知識自身，還要理解與其他知識之間的聯系，才能不斷加強學生所理解數學知識的結構化與系統化，提高學生對數學的認知水平并不斷建構新的認知結構，這樣的理解才更深刻、靈活而具有遷移的特性.

三、對基于數學理解性學習的概念教學設計的體會

“基于數學理解性學習的概念教學”要求將課堂教學扎根于學生的已有經驗之中，關注學生在經驗世界中表現出來的對概念理解的最本真的狀態，并把它作為促使學生概念轉變的重要基點；根據學生思維和認知發展的變化，及時地、有目的地、有重點地設置動態變化的外部情境，既讓學生暴露自己知識理解的真實狀態，也促使學生連貫地反思自己理解上的特征與不足，從而推動理解不斷地深入發展；通過教學活動，讓學生自然地吸收、內化、生成一個良好的知識結構組塊，經歷從經驗—數學本質—再回到經驗—再上升到數學本質這樣一個巡回往復、不斷上升的過程.

（一）教學要為促進學生的數學理解而設計

教學首先需要精心設計，教學設計是運用系統方法對各種課程資源進行有機整合，對教學過程中相互聯系的各個部分作出整體安排的一種構想，即為達到教學目標，對教什么、怎樣教以及達到什么結果所進行的策劃.新課程倡導要密切關注學生的發展，要在教學中真正確過程立學生的主體地位并將學生的理解視為重要的關注點.同時，教師不只是在理念上確立關注學生的理解，在實踐上也要相應具有真正面向學生的靈活的、被教師深刻理解的教學方法論，使課堂教學真正成為支撐學生的數學理解不斷發展的支點.因此教師不僅要在宏觀上有機整合各種課程資源，系統考慮教學過程，而且在知識的關節點處也要進行細微設計，幫助學生全面理解和認識數學，有效突出重點、破解難點.要注重創設適當的教學情境，選取有助于反映相應數學內容本質特征、有助于學生對數學的理解和認識、符合學生心理特征和認知水平的素材，在學生思維的最近發展區開展探究，使學生經歷數學知識的發生、發展及形成的過程，為促進學生的數學理解而精雕細琢.

（二）教學設計要體現概念自然的、水到渠成的形成

《普通高中數學課程標準（實驗）》提出：概念教學要返璞歸真，努力揭示概念的發生發展過程及其本質.“人教A版”主編也曾寄語：“數學概念、數學方法和數學思想的起源和發展都是自然的.”概念教學的核心就是“概括”，即以一些典型的事例為載體，引導學生進行分析、歸納、抽象、概括等一系列思維活動，從而獲得概念.學生親身經歷概念的自然形成過程是概念教學的必由之路.概念教學要體現其自然的、水到渠成的形成過程，首先要讓學生感覺到引入概念的必要性、合理性.那種不經任何鋪墊就直接給出概念，不經歷概念的形成過程，搞“一個定義三項注意”的概念教學是不行的.概念教學的自然和水到渠成包含兩方面：一是知識的邏輯順序自然；二是學生心理邏輯主要是思維過程的自然.本案例通過歷史故事、學生動手實驗以及幾何畫板動畫演示等數學活動，不僅為學生探究創設有利于數學理解的教學情境，而且學生經歷實驗探究、變式拓展等一系列直觀感知、抽象概括、反思建構等數學理解性學習的思維歷程，最終促使學生深刻理解所學知識，實現概念自然的、水到渠成的形成過程.

1.李鋒.回歸概念本質 發展雙基教育——一道教科書習題的探究性教學與反思 ［J］.中學數學教學參考（上），2010（4）.

2.李鋒.自然的、水到渠成的概念教學——“拋物線及其標準方程”課堂引入案例分析及思考［J］.中學數學教學參考（上），2011（6）.

3.李俊.基于數學理解性學習的教學設計探究——以“數列的概念及其表示”的教學為例［J］.中學數學教學參考（上），2014（3）.

4.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

5.毛良忠.為理解而教——“懂而不會”現象的再透析［J］.中學數學教學參考（上），2013（1-2）.

6.李鋒.有機融入數學文化 大力倡導數學精神——對《不等關系與不等式》一課的感悟與思考［J］.中學數學（上），2013（2）.

7.李鋒，林富春，林友枝.基于數學理解性學習的定理教學研究——關于“平面向量基本定理”的教學及思考［J］.中學數學（上），2016（6）.

*本文系福建省連江縣2015年度教育科研課題“基于數學理解性學習的概念教學研究”（立項編號：LJJKXB15–002）的研究成果.