基于Boussinesq方程的陡峭礁坪上波浪傳播變形數值模擬

黃英麗,王國玉,房克照,陳 戈

(大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室,遼寧 大連 116024)

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基于Boussinesq方程的陡峭礁坪上波浪傳播變形數值模擬

黃英麗,王國玉,房克照,陳 戈

(大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室,遼寧 大連 116024)

為了探究應用基于二階完全非線性Boussinesq方程開發的Funwave-TVD波浪模型模擬波浪在陡峭礁坪上傳播變形的可行性,在采用試驗及已有文獻成果進行可行性驗證的基礎上,利用該模型模擬了波浪在陡峭礁坪上的傳播變形過程,分析了不同波浪要素及不同水深情況下波浪在陡峭礁坪上的傳播規律。結果表明:當波高與水深的比值超過一定值時,波浪發生破碎,波高迅速減小;對于深水情況下的陡峭礁坪地形,當波浪離開礁坪坡腳的水平距離為4倍入射波長及更遠時,礁坪上的平均波高可降低為穩定值。

波浪傳播;傳播變形;陡峭礁坪;Boussinesq方程;Funwave-TVD

我國擁有眾多珊瑚礁,主要分布在海南島和臺灣島的沿岸以及南海諸島。珊瑚礁作為珍貴的資源,對國防事業、交通運輸業和旅游業等都具有非常重要的價值。近年來,我國在珊瑚礁上建設了一定數量的工程,隨著礁坪上建設工程的增多,對波浪在珊瑚礁上傳播規律的研究日顯重要,同時也能為珊瑚礁上工程的規劃、設計和施工建設等提供理論支撐。

國內外學者大多采用物理模型試驗研究波浪在珊瑚礁上的傳播變形,且主要集中在緩坡上。趙子丹等[1]對波浪在珊瑚礁及臺階地形上傳播的研究現狀進行了綜述,指出由于珊瑚礁水深劇變,可將珊瑚礁地形簡化成無限長臺階地形進行探討,并提出發展高階非線性理論以用于解釋高階諧波分量。黎滿球等[2]根據實際測得的海浪數據資料,在考慮風對海浪的影響情況下,分析了波浪在礁坪上傳播時的衰減特點和波浪能量轉移特性。Roeber等[3]利用試驗模型探究了珊瑚礁上的波浪傳播過程,并擴展了Boussinesq方程。梅弢等[4]利用水槽試驗研究了波浪在珊瑚礁坪上的傳播規律,結果發現當入射波浪較大時,傳播過程中波浪會在礁緣處破碎,并繼續向坪內傳播,并達到波面穩定狀態,礁坪上的波浪衰減迅速。柳淑學等[5]采用斷面物理模型試驗研究了珊瑚礁地形,發現對于規則波,入射波高較小時,波浪受非線性作用比較小,波形比較穩定;當入射波高增大時,波浪發生破碎,但破碎位置出現在同一位置。鄭金海等[6]認為可以基于布拉格共振的基本思想,通過設計堤頂高程低于平均低潮位的防浪堤來達到消浪目的,而絕大多數珊瑚礁礁盤與平均低潮位水位相近,該想法為研究珊瑚礁地形提供了新思路。

數值模型方面,李炎保等[7]利用數值模擬和物理試驗分析了波浪在1∶1.5陡坡上的傳播變形,數值模擬采用標記單元法,并采用“臺階鏡像法”處理坡面對波浪的反射,得到了波浪傳播變形過程。劉海清等[8]采用N-S方程作為基本方程,利用二維數值波浪水槽模擬了波浪在臺階上的傳播過程。Douillet等[9]運用流體動力學耦合模型研究了新喀里多尼亞的西南潟湖里懸浮物質的移動情況,發展并驗證了懸浮物質移動的數值模型,這為研究潟湖里的波浪運動提供了新的思路。Yao等[10]基于一維完全非線性Boussinesq方程,對不同珊瑚礁上波浪產生的波面和波高變化進行了數值模擬研究。祁國軍等[11]通過源函數造波法研究了波浪爬高與波陡和坡比之間的關系,發現當波浪波陡較小時,在相同糙率條件下,地形坡度越緩,波浪爬高衰減系數越小;而波陡較大時,隨著地形坡度變緩,波浪爬高衰減系數先增后減。房克照等[12]建立了基于高階Boussinesq方程的波浪傳播數學模型,控制方程采用有限差分和有限體積法混合求解,并進一步模擬了孤立波在潛礁上的傳播變形。

目前,關于礁坪上波浪傳播變形的數值模擬工作大都局限于坡度較緩的情況,如Yao等[10]模擬的最大坡度為1∶6。實際上,陡峭礁坪在珊瑚礁群中占有相當大的比例,因此陡峭礁坪上波浪傳播變形規律的研究越來越受到學者的關注,而Boussinesq類方程都具備色散性和非線性的特點,可應用于模擬陡峭礁坪地形上的波浪傳播。本文將珊瑚礁簡化成陡坡,選取基于Boussinesq方程并具有TVD性質的完全非線性數值模型——Funwave模型對波浪在陡峭礁坪地形上的傳播變形規律進行了數值計算,并給出了波浪達到穩定安全波高時波浪離開珊瑚礁底的距離。

1 Funwave-TVD波浪模型簡介

Kirby等[13]基于完全非線性Boussinesq波浪模型在1998年創立了Funwave模型,此后很多學者對模型的改進進行了研究,本文采用的Funwave-TVD波浪模型是美國Delaware大學Shi等[14]在前人Funwave模型基礎上改進的版本,該模型基于Chen[15]建立的Boussinesq波浪方程,在求解和捕捉波浪破碎和干濕界面處理等方面進行了必要的改進和創新,能夠綜合考慮波浪的折射、繞射、反射和變淺效應等的影響,適用于模擬波浪在較為復雜地形上的傳播變形問題。

1.1 控制方程

Funwave-TVD波浪模型控制方程如下:

(1)

(2)

式中:η為波表面高度;ηt為η對時間的偏導數；h為靜水深;d為當地水深;uα為z=zα處的水質點的水平速度矢量，zα隨時間變化；ζ、β為常數[16];u2為平均水深下的垂直方向速度,色散性精確到o(μ2),其中μ=kh;)為水平梯度算子。該控制方程是Chen[15]在Wei等[17]建立的Boussinesq波浪模型的基礎上完善的。

1.2 波浪破碎和底部摩擦阻力項的處理

Funwave-TVD波浪模型中波浪破碎的處置方法采用Tonelli等[18]的研究成果。Tonelli等[18]利用帶有TVD格式的非線性淺水波浪方程模擬了移動水躍波,當弗勞德數超過一定數值時,就利用非線性淺水波浪方程取代完全非線性Boussinesq方程進行計算,破碎指標受坡度的影響很大,目前尚未找到嚴格的理論解,Tonelli等[18]建議破碎控制項為深水波高與水深(波浪行進到某點的靜水深)的比值為0.8。

考慮到水體在運動時與底部發生了摩擦,數值模擬中考慮底部摩阻項,具體方法是在動量方程中加入底部摩阻衰減項,表達式如下:

(3)

(4)

式中:FB、GB分別為作用在某水質點水平速度和垂直速度方向上的分力;fw為底部摩擦阻力系數;uα、vα分別為某水質點的水平速度分量和垂直速度分量。

2 模型驗證

2.1 已發表文獻成果驗證

Yao等[19]早在2009年利用試驗模型模擬了礁坪地形上波浪的傳播規律,給出了不同坡比、不同波浪要素下波浪的傳播規律。將他們的試驗結果和數值模擬結果作為驗證Funwave-TVD波浪模型(以下簡稱本文模型)模擬結果的數據資料,來驗證本文模型模擬結果的準確性。

Yao等[10]在新加坡南洋理工大學的水動力學實驗室開展了此次試驗。水槽長36 m,寬0.55 m,深0.60 m,試驗中考慮兩種情況,一種是理想礁坪,即礁坪頂部平滑;一種是帶有山脊模型的礁坪。本文與其理想礁坪地形狀態下的兩組試驗結果進行對比(試驗1和試驗2),如圖1和圖2所示(圖中x為相對礁坪坡腳的位置,x=0 m為礁坪起始點)。

由圖1可見,對于試驗1,離造波機較近和較遠處,本文模型模擬的平均波高曲線與文獻[10]試驗結果吻合較好,在礁頂附近略有偏差;而試驗2本文模型模擬結果與文獻[10]試驗結果吻合較好。由圖2可見,試驗1本文模型模擬的平均水面曲線與文獻[10]試驗結果吻合較好;對于試驗2,本文模型模擬結果在礁頂前與文獻[10]試驗結果基本吻合,在礁頂后稍有偏差,但是趨勢較符合。

圖1 平均波高對比

圖2 平均水位對比

圖3 驗證試驗礁坪模型剖面示意圖(單位：m)

總的來說,本文模型模擬結果和Yao等[10]的模擬結果還是比較吻合的,因此可以初步判斷本文模型可以用來模擬礁坪地形。

2.2 試驗驗證

為了進一步探究本文模型是否適用于陡峭礁坪,筆者在大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室里布置水槽進行了試驗研究。水槽地形如圖3所示,4個斜坡段的水平方向長度依次為0.48 m、0.15 m、0.15 m、0.48 m,坡度均為1∶1,礁坪上水深hr=0.02 m,共分布有15個浪高儀測點,浪高儀G1～G15相對礁底的距離分別為-0.58 m、-0.48 m、0.02 m、0.25 m、0.50 m、1.00 m、1.50 m、2.00 m、2.50 m、3.00 m、3.50 m、4.00 m、4.50 m、5.00 m和5.50 m。試驗主要波浪要素為:水深d=0.50 m,周期T=0.8 s,入射波高H0=0.02 m、0.03 m。因為實驗室的礁坪模型采用水泥制作,表面光滑,摩擦系數極小,為了和實驗室試驗情況進行對比,采用本文模型模擬時,只考慮理想情況下的礁坪,即不考慮海床底摩擦,底摩擦系數為0。

圖4 平均波高試驗結果和模擬結果對比

圖5 平均水位試驗結果和模擬結果對比

平均波高、平均水位的試驗結果與模擬結果對比見圖4和圖5。圖4和圖5中平均波高曲線的數值模擬結果與試驗結果基本吻合,平均水位曲線的數值模擬結果與試驗結果稍有偏差,但是趨勢符合。可見用本文模型研究陡峭礁坪地形上波浪的傳播規律是可行的。

3 波浪在陡峭礁坪上傳播變形的模擬

為了解陡峭礁坪地形對波浪傳播的影響情況,用本文模型對不同情況下波浪在礁坪上傳播特性進行了模擬和分析,包括不同入射波高H0、不同周期T、不同礁坪上水深hr情況下波浪的衰減情況。礁坪模型剖面示意圖如圖6所示,模型全長30 m,坡比i=1∶1。主要波浪要素:水深d=0.50 m、周期T=0.8 s、0.9 s、1.0 s,入射波高H0=0.02 m、0.04 m、0.06 m,礁坪上水深hr=0 m、0.02 m、0.04 m。破碎控制項H/h1=0.8(H為沿程平均波高,h1為波浪行進到某點的靜水深)。

圖6 礁坪上傳播特性試驗模型剖面示意圖(單位：m)

3.1 不同入射波高下的傳播特性

在坡比i=1∶1、水深d=0.50 m、周期T=0.8 s的情況下,不同入射波高的波浪在陡峭礁坪地形上傳播時,其相對平均波高H/H0沿程分布的模擬結果如圖7所示(圖中L0為入射波長)。

從圖7可見,當波浪傳播至礁坪位置時,由于水深急劇變淺,波浪發生反射和破碎等現象,從而礁坪上的波高迅速降低。當x=2L0時,礁坪上的平均波高約降低為入射波高的1/4;而當x=4L0時,礁坪上的平均波高可降低為入射波高的20%以下。

圖7 不同入射波高下相對平均波高沿程變化

3.2 不同礁坪上水深時的傳播特性

在坡比i=1∶1、水深d=0.50 m、入射波高H0=0.02 m、周期T=0.8 s的情況下,不同礁坪上水深時波浪傳播的相對平均波高H/H0沿程分布的模擬結果如圖8所示。

圖8 不同礁坪上水深時相對平均波高沿程變化

從圖8可見,當波浪傳播至礁坪位置時,波浪發生淺水變形現象,礁坪上的波高急劇降低,發生破碎。對于hr=0 m、0.02 m的情況,當x=2L0時,礁坪上的平均波高約降低為入射波高的1/4;而當x=4L0時,礁坪上的平均波高可降低為入射波高的20%以下。但對于hr=0.04 m的情況,礁坪上的平均波高僅僅降低為入射波高的1/2,但呈現逐漸下降的趨勢。

3.3 不同周期下的傳播特性

在入射波高H0=0.02 m、坡比i=1∶1、水深d=0.50 m、礁坪上水深hr=0.02 m的情況下,不同周期的波浪傳播相對平均波高H/H0沿程分布的模擬結果如圖9所示。

圖9 不同周期下相對平均波高沿程變化

從圖9可見,當波浪傳播至礁坪位置時,由于水深急劇變淺,波浪發生反射和破碎等現象,從而礁坪上的波高急劇降低。當x=2L0時,礁坪上的平均波高約降低為入射波高的30%;而當x=4L0時,礁坪上的平均波高可降低為入射波高的20%以下。

4 結 語

本文基于Funwave-TVD波浪數值模型,對波浪在陡峭礁坪上的傳播變形和破碎規律進行了數值模擬,結果表明,對于深水情況下的陡峭礁坪地形,波浪離開礁坪坡腳的水平距離為4L0及更遠時,礁坪上的平均波高可降低為入射波高的20%以下,在此位置及其以后設置建筑物較為理想。

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Numerical modeling of wave propagation and deformation on steep reef based on Boussinesq equation//

HUANG Yingli, WANG Guoyu, FANG Kezhao, CHEN Ge

(StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

In order to explore the feasibility of simulating wave propagation and deformation on a steep reef with the Funwave-TVD wave model based on the second-order fully nonlinear Boussinesq equation, using feasibility validation with the data form experiments and published papers, the wave propagation and deformation process on the steel reef was simulated with the model, and the wave propagation characteristics on the reef were analyzed with different wave elements and water depths. The numerical results show that when the ratio of the wave height to the water depth exceeds a certain value, the wave breaks and the wave height decreases quickly. In deep water conditions, the average wave height on the steep reef decreases to a stable value when the wave moves away from the slope toe of the reef to a distance four times the incident wavelength or further.

wave propagation; propagation and deformation; steep reef; Boussinesq equation; Funwave-TVD

黃英麗(1991—),女,碩士研究生,主要從事海岸動力學研究。E-mail:844632149@qq.com

10.3880/j.issn.1006-7647.2017.01.007

TV139.2

A

1006-7647(2017)01-0038-05

2015-12-25 編輯：熊水斌)