向家壩下長江干流長河段河道橫剖面分形特征

倪志輝,周 舟,吳立春,鐘 亮,趙 健

(1.重慶交通大學水利水運工程教育部重點實驗室,重慶 400074;2.重慶交通大學國家內河航道整治工程技術研究中心,重慶 400074;3.重慶交通大學西南水運工程科學研究所,重慶 400016; 4重慶第二師范學院,重慶 400067)

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向家壩下長江干流長河段河道橫剖面分形特征

倪志輝1,2,3,周 舟1,吳立春4,鐘 亮2,趙 健3

(1.重慶交通大學水利水運工程教育部重點實驗室,重慶 400074;2.重慶交通大學國家內河航道整治工程技術研究中心,重慶 400074;3.重慶交通大學西南水運工程科學研究所,重慶 400016; 4重慶第二師范學院,重慶 400067)

以長江干流向家壩—朱沱河段內局部礙航灘段為研究對象,建立二維非恒定-分形數學模型,統計滿足最低維護水深的航道寬度,計算河道橫剖面分維數,顯示其呈1階分維特性。河流寬度分維數和水深以及與所在河段、所在斷面的形狀有很大關系,一般淺灘呈現寬度分維數隨水深增大而增大的趨勢，橫剖面分維數隨流速增大整體上呈逐漸減小的趨勢。對比同一河段內各灘分維數的大小,在上游流量相同時,河道橫斷面地形越平順橫剖面分維數越小。

分形維數;橫剖面分形;數值模擬;非恒定流;通航水力要素；向家壩；長江

分形理論(fractal theory)是由Mandelbrot[1]于20世紀70年代率先提出并創立的一種探索自然界復雜形態的數學分支。Mandelbrot試圖用這種方法描述自然界中的一些傳統歐氏幾何無法描述的復雜對象,例如彎曲的河流、復雜的海岸線等。分形維數是描述分形集幾何特征的定量參數,能夠反映分形的基本特征。流域水系、水網等地貌形態也具有分形特征。Nikora[2]對蘇聯境內多條河流平面形態的分形結構進行了研究,得出河道平面形態在一定尺度內具有分形特征的結論；Rego等[3]用多重分形去趨勢波動法研究了巴西一些河流的主要的復雜水波動,認為巴西河流水位可以從多重分形的角度得出規律；Movahed等[4]采用分形方法研究了河流的流量波動；Sapozhnikov等[5-6]提出了分析河道自相似性的新方法。地表水系是一種典型的分枝現象,這種分枝圖像具有自相似性。Balkhanov等[7-8]從分形的角度對一些河流水系進行了研究;Horton[9]在對水系進行諸多研究的基礎上,提出著名的Horton定律,目前研究表明世界上大多數河流滿足Horton定律,也即他們都有自相似性；沈中原等[10]建立了多重分形計算模型,并將其用于流域地貌形態的分形量化研究；馬宗偉等[11]提出河流水系形態可通過其分形特征來反映；白玉川等[12]對蜿蜒河流分維數做了一定研究；陳康寧等[13]基于分形理論構建了區域水資源系統脆弱性評價指標體系,并對河北省水資源系統的脆弱性進行了評價；武國正等[14]以烏梁素海實測資料為例,分析了分形理論在水體營養狀況評價中的適用性；倪志輝等[15-19]將分形理論應用于河流垂線流速分布及水流摻混長度的研究上,并討論了長江重慶主城河段河流長度的分維數與洪水的關系,得出同一河段,河流長度分維值越大,河流的泄洪能力越差,所對應洪水發生的可能性以及洪水的強度越大。此外Micheal等[20-23]近年來也在河流分形方面做了許多研究；假冬冬等[24]對彎曲河道數值模擬的研究進展進行了總結,并分析了優劣。

本文以長江干流向家壩以下至重慶朱沱水文站共長約270 km的河段為研究對象,在搜集大量實測地形資料的基礎上,利用一維及二維數學模型計算河段的水流條件,并采用大量實測資料對進行驗證,表明數模計算結果可以作為變維分形的數據,結合累計和變維分形的結果即縱、橫剖面分形維數,確定研究河段航道通航的指標。針對局部重點灘險河段,通過建立二維非恒定-分形數學模型,統計不同水深條件下的河道寬度,采用累計和變維分形求解河道橫剖面的分形維數。同時,分析橫剖面分維數與通航水流條件之間的關系。

1 二維非恒定-分形數學模型

1.1 模型控制方程

連續性方程及ξ、η方向的動量方程分別為

(1)

(2)

(3)

式中:h為水深;H為水位;g為重力加速度;Cξ、Cη為正交曲線坐標系中的拉梅系數;ξ、η為正交曲線坐標系中的兩個正交曲線坐標;u、v分別為沿ξ、η方向的流速;n為曼寧系數;σ為各個方向上的應力張量。

1.2 定解條件

初始條件為各節點上的初始水位、流速:

(4)

(5)

(6)

開邊界給定水位或流量過程:

(7)

(8)

動邊界采用凍結法處理,即在程序中設置干水深、淹沒水深和濕水深3個特征水深,當某一單元的水深小于濕水深而大于干水深時,該單元只考慮質量守恒,不考慮動量守恒;當水深小于干水深時,單元被凍結,不參與計算;淹沒水深用來檢測單元是不是已經被淹沒。

1.3 變維分形

Mandelbrot[1]將部分以某種方式與整體相似的形體定義為分形。分形分布滿足如下關系式:

(9)

式中:s為歐氏長度;y為度量尺碼;D′為分形維數;A′為比例常數。

對式(9)兩端取自然對數得:

lns=lnA′-D′lny

(10)

在直角坐標系中lns-lny的圖像為直線,用最小二乘法擬合該直線,它的斜率即為-D′,從而得到分形維數D′。

河道橫剖面分維的物理意義是流量在河流橫向長度方向的維數。因此,流量與河流寬度間也存在統一的自相似性:

(11)

式中:Q為流量;r為灘段最窄處河道寬度;D為河流橫剖面分形維數,主要與流速、地形、水深等方面有關;A為比例常數。

D為常數的分形稱為常維分形;若D與特征線度(這里的特征線度為河寬r)呈函數關系,則稱之為變維分形。事實上,自然界中大量的復雜現象都需要用變維分形來描述,嚴格滿足常維分形形式的現象是不存在的。維數是尺度變換下的不變量。許多學者對變維分形進行了研究,并提出了多種方法,如采用累積和系列變換分形的方法[18]、一維動態豪斯道夫分維數法[25]。本文采用由累計和序列獲得的分維模型,稱為“累計和分形”[18]。該方法的具體步驟如下:

步驟1 根據二維非恒定數學模型計算結果,統計各特征流量下滿足一定河道水深的水面寬度,確定流量、河寬的原始數據對(Ni,ri),按N從小到大排列,i=1, 2, …,n(n為正整數)。

步驟2 以(N1,N2,N3,…)為基本序列,按下面的規則構造1階累計和序列:

(12)

步驟3 建立1階累計和的分段變維分形模型。雙對數坐標中數據點(S1i,ri)和(S1i+1,ri+1)連線斜率的相反數D1i,i+1即為1階累計和的分段變維分形的分維數。根據n個數據對,可以得到n-1條線段的分段變維分形的分維數,稱之為分維數序列。

步驟4 將(S1i,ri)繪于雙對數坐標中,并對該數據序列做線性擬合,所得直線斜率即相應河段的河流寬度分維數。

圖1 棧橋灘計算網格

1.4 模型計算網格及驗證

二維水流計算主要是在一維水流計算的基礎上,模擬重點灘段在日調節非恒定流影響下河道的水流條件。在長約270 km的研究河段上,選取8個灘險河段,其中,水富—宜賓段2個,即棧橋灘和黃蔥咀灘;宜賓—朱沱段取6個灘段:楊柳磧灘、過兵灘、金魚磧灘、兩條牛灘、白龍灘及磨盤石灘。

對選取的8個灘段分別建立模型,模擬河段平均長度在5 km左右,計算灘段范圍、網格灘頭概況以棧橋灘為例簡要說明。

棧橋灘位于長江干流向家壩至宜賓航段內,下距宜賓合江門18.3 km,航道里程1 062 km。灘段左岸溝口為沖積灘,左岸土神沱等石盤與右岸周家磧、桐梓林邊灘相對,致航槽彎、窄、險,故河段在枯中水期時,河道流態紊亂以致礙航。棧橋灘進口取在灘段上游二郎灘附近,出口取在灘段下游碎米灘附近,模擬河段約長5 km,計算網格采用三角形非結構網格,網格間距約30 m,共布置8 352個網格單元,3 009個網格節點,糙率根據流量的不同取0.033～0.035。計算網格如圖1所示。

結合河段實測資料及一維非恒定數學模型計算值,根據所建立的二維水流數學模型對所選河段進行模型驗證,通過水面線、斷面流速分布等驗證模型的合理性及其可靠性。

a. 水面線驗證。流量為1 780 m3/s時棧橋灘及黃蔥咀灘段水面線計算值與實測值的對比如表1和表2所示。

棧橋灘及黃蔥咀灘的水面線計算值與實測值吻合較好,誤差全部小于0.10 m,符合相關規范的計算精度要求。

表1 棧橋灘二維數模水面線驗證

表2 黃蔥咀灘二維數模水面線驗證

其余灘段受實測資料缺少的限制,采用一維非恒定數學模型計算值對二維數學模型進行驗證,驗證結果與棧橋灘和黃蔥咀灘的水面線驗證結果相似,水位誤差控制在規范要求的范圍內，表明各計算河段均能滿足與原型河道阻力相似的要求。

b. 流速驗證。采用3個斷面(棧橋灘段2個實測斷面(圖1中C1和C2)和黃蔥咀灘段1個實測斷面C3)的實測流速進行驗證,驗證結果見圖2和圖3。各測點流速計算值與實測值吻合較好,誤差未超過15%,達到計算精度要求。

圖2 棧橋灘河段斷面流速分布驗證(流量1 780 m3/s)

圖3 黃蔥咀河段C3斷面流速分布驗證

其余灘段結合一維計算所得左右岸流速值,對比驗證相應流量下的二維數模岸邊流速,驗證結果與棧橋灘和黃蔥咀灘的驗證結果相似,流速誤差控制在規范要求的范圍內。

2 河道橫剖面分維數

由于八個灘段分布在兩個通航條件不同的航段上,其中棧橋灘和黃蔥咀灘位于長江干流水富—宜賓航段,其余6個灘段位于長江干流宜賓—朱沱段。在現行航道尺度下,水富—宜賓航段與宜賓—朱沱航段最低維護水深不同,故按航道現狀對8個灘險河段分兩個航段探討。

2.1 水富—宜賓航段

按航道現狀統計滿足最低維護水深要求的各特征流量的河寬,即統計棧橋灘和黃蔥咀灘滿足1.8 m最低通航水深時灘段最窄處河道寬度。為計算兩個灘段橫剖面分形維數,以棧橋灘為例,首先進行簡單分形計算,結果見圖4。從圖4可以看出,各數據點明顯不呈直線分布,說明棧橋灘河段河流寬度亦呈變維分形關系,需要采用變維分形模型對其進行處理。采用累計和變維分形的方法對該河段的河流寬度分形進行計算,計算過程見表3(在此只列出4級流量的計算過程,不過多贅述)。

圖4 棧橋灘河段河流寬度分維序列

流量Qi/(m3·s-1)寬度ri/mDi，i+1S1iD1i，i+1S2i13008648313001300150091996-23155752800-105897841001835106754-13548954635-10750428735185010569108135936485-106550915220

對黃蔥咀灘進行同樣的過程計算,最終計算匯總結果見表4及圖5,可以看出,數據點與所擬合的直線吻合的很好,相關系數均大于0.99,說明各灘段的河流寬度具有一階分維特性。

表4 水富—宜賓段各灘段河流寬度分維值計算結果

圖5 水富—宜賓段河流寬度1階累計和分維序列

2.2 宜賓—朱沱段

統計包括楊柳磧灘在內的6個灘段滿足2.7 m最低通航水深要求時灘段最窄處河道寬度,計算6個灘段橫剖面分形維數。以楊柳磧灘為例,由前述棧橋灘計算過程可知,橫剖面分維數呈1階分維特性,因此采用累計和變維分形的方法對楊柳磧灘的河流寬度分形進行計算,計算過程同表3。對其余5個灘段進行同樣的計算,最終計算結果見表5及圖6。可以看出,數據點與所擬合的直線吻合得很好,相關系數均大于0.99,說明宜賓—朱沱段內各灘段橫剖面分維數具有1階分維特性。

表5 宜賓—朱沱段各灘段河流寬度分維值計算結果

圖6 宜賓—朱沱段河流寬度1階累計和分維序列

2.3 不同水深下橫剖面分維數

上述計算橫剖面分維數的過程中,河道寬度取值為水富—宜賓段滿足1.8 m水深的河寬及宜賓—朱沱段滿足2.7 m水深的河寬。為討論同河段下橫剖面分維數與水深的關系,現對兩個航段內的灘段不同水深下河道寬度分形維數進行計算,其中,水富—宜賓段統計滿足2.7 m及3.5 m水深的河道寬度;宜賓—朱沱段統計滿足3.2 m及3.5 m水深的河道寬度,計算結果見表6及表7。

表6 水富—宜賓段各灘段分維值計算結果

表7 宜賓—朱沱段各灘段分維值計算結果

3 分析與討論

上述各灘險河段橫剖面分形維數反映了滿足一定水深的河道寬度與相應上游流量大小的相關程度。而滿足特定水深的河道寬度受所在河段的橫斷面形狀影響很大,因此從某種角度來說河道橫剖面分維數反映的也是河道橫斷面形狀與河道來流量的相關程度。而流量相同的情況下水深、流速的大小取決于所在河道橫斷面形狀。

3.1 橫剖面分維值

從表6、表7可以看出,天然河道的橫剖面分維數存在著變維分形現象,同時可以發現,各灘段分維值都小于零,即為負分維數。分形理論的創始人Mandelbrot為描述多重分形系統的復雜性而引入了負分維。從數學上理解,它刻畫空集“空”的程度,實質上是由系統的隨機性產生的。負分維從一個側面描述了系統的隨機特性,反映了必然性與偶然性的內在聯系,更具有普遍意義。負分維數的絕對值越大,表明自相似性越好。計算結果顯示,長江干流水富—朱沱段各水深下的橫剖面分維值在-0.928 2～-1.277 6之間,最大值出現在水深3.5 m時的棧橋灘(-0.928 2),最小值出現在水深3.5 m時的兩條牛灘(-1.277 6)。水富—宜賓段較宜賓—朱沱段分維數要稍大,但并不明顯。計算所得的相關系數均在0.99以上,表明河道橫剖面河流寬度具有顯著的1階分維特性。

3.2 橫剖面分維數與水深的關系

根據所得河流寬度分維數,同一河段不同水深河道橫剖面分維數不同,同一水深不同河段的分維數也不一樣,因此將統計的不同水深的灘險段河流寬度分維數及所在灘險河段類別及礙航成因列于表8及表9。由表可知,對灘險類別為淺灘的灘段,除白龍灘外,其余河段橫剖面分維數均呈隨水深增大逐漸增大的趨勢;橫剖面分維數隨水深減小的灘段為兩條牛灘和白龍灘,橫剖面分維數隨水深變化無規律的為黃蔥咀灘和過兵灘,橫剖面分維數隨水深呈增大趨勢的灘段為棧橋灘、楊柳磧灘、金魚磧灘及磨盤石灘。棧橋灘、楊柳磧灘、金魚磧灘及磨盤石灘4個灘段的地形具有一定的共性,其左岸或右岸均有一較大的淺灘,且河道深槽呈“V”形,相對較寬,例如圖7中的楊柳磧斷面及磨盤石斷面。因此可推測得知,河道橫剖面分維數大小和水深變化的關系與所在河段的地形有很大關聯。

表8 水富—宜賓段灘險類別及相應 水深下河流寬度分維數

表9 宜賓—朱沱段灘險類別及相應 水深下河流寬度分維數

圖7 楊柳磧灘及磨盤石灘河道橫斷面地形

河道橫剖面分維數從某種角度來講反映的也是河道橫斷面形狀與河道來流量的相關程度,橫斷面形狀越平滑,則相關程度越低,分維數越小。因此可以認為在上游流量相同時,橫斷面越平順分維數越小。在水富—宜賓河段內,黃蔥咀灘橫斷面形狀相對棧橋灘要平滑,反映在圖中,黃蔥咀灘橫剖面分維數在統一水深下平均比棧橋灘小20%左右。宜賓—瀘州河段及瀘州—朱沱河段等橫斷面相對平順的灘段,其橫剖面分維數也都相對較小。

3.3 橫剖面分維數與流速的關系

各灘段平均流速基本隨流量的增大呈線性增大的趨勢。將各灘段平均流速與對應流量下的橫剖面分維數一起繪于直角坐標系,如圖8所示。圖中橫剖面分維數均為各航段內滿足現行航道最小維護水深下的河流寬度分維數。

由圖8可知,隨著各灘段平均流速的增大(即流量的增大),除過兵灘外,其余灘段河道橫剖面分維數雖有起伏變化但整體上呈逐漸減小的趨勢。這種現象在黃蔥咀和兩條牛灘表現得極為明顯,在流速均增大1倍的情況下(黃蔥咀1.0 ～2.0 m/s,兩條牛0.6～1.2 m/s),分維數都有60%～70%的增大。這是因為橫剖面分維數表示的是河道流量與一定水深下河道寬度的相關程度。隨流速減小,橫剖面分維數逐漸變小意味著隨流速減小(河道流量減小),河寬變化程度與流量變化程度之間的相關度逐漸下降。

4 結 論

圖8 水富—朱沱段各灘險段橫剖面分維數與平均流速關系

a. 分維數擬合的相關系數均在0.99以上,說明河道橫剖面河流寬度具有1階分維特性。從某種角度來說河道橫剖面分維數反應的是河道橫斷面形狀與河道來流量的相關程度,發現河道橫剖面分維數和水深的關系與所在河段、所在斷面的形狀有很大關系,一般淺灘呈現分維數隨水深增大的趨勢。

b. 除特殊地形外,一般橫剖面分維數整體上隨流速的增大呈逐漸減小的趨勢。

c. 對比同一河流各灘段分維數的大小,上游流量相同時,河道橫斷面地形越簡單平順橫剖面分維數越小。

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Fractal research of long river channel’s transverse section downstream Xiangjiaba Dam of Changjiang River//

NI Zhihui1, 2, 3, ZHOU Zhou1, WU Lichun4, ZHONG Liang2, ZHAO Jian3

(1.KeyLaboratoryofHydraulicandWaterwayEngineeringoftheMinistryofEducation,ChongqingJiaotongUniversity,Chongqing400074,China; 2.NationalEngineeringResearchCenterforInlandWaterwayRegulation,ChongqingJiaotongUniversity,Chongqing400074,China; 3.SouthwesternResearchInstituteofWaterTransportationEngineering,ChongqingJiaotongUniversity,Chongqing400016,China; 4.ChongqingUniversityofEducation,Chongqing400067,China)

Using a navigation-obstructing section downstream the Xiangjiaba Dam of Changjiang River as a research object, a two-dimensional unsteady fractal mathematical model that can meet the requirement for maintaining a minimum water depth was established for statistical analysis of the channel width, and the fractal dimension of the river channel’s transverse section was calculated, demonstrating one-order fractal dimension characteristics. The results show that the fractal dimension of the channel width has a close relationship with the water depth, the topography of river reach, and the shape of transverse section, demonstrating a general increasing trend of the fractal dimension of the channel width with the increasing water depth for a shoal and a general decreasing trend of the fractal dimension of the transverse section with the increasing flow velocity. Comparison of the fractal dimension of different shoals in the same river reach shows that the fractal dimension is relatively small for a transverse section with smooth topography under the same flow rate from upstream.

fractal dimension; fractal analysis of transverse section; numerical simulation; unsteady flow; navigable hydraulic elements; Xiangjiaba Dam; Changjiang River

國家重點基礎研究發展計劃(2016YFC0402104);重慶市基礎與前沿研究計劃(cstc2016jcyjA0380);內河航道整治技術交通行業重點實驗室開放基金(NHHD-201514)

倪志輝(1980—),男,副研究員,博士,主要從事河流海岸水動力學研究。E-mail:benny251@163.com

10.3880/j.issn.1006-7647.2017.01.011

TU612.3

A

1006-7647(2017)01-0060-08

2015-12-04 編輯：鄭孝宇)