構造斜率求恒成立問題中參數的取值范圍

何方璇

（遼寧省大連市經濟技術開發區第一中學）

構造斜率求恒成立問題中參數的取值范圍

何方璇

（遼寧省大連市經濟技術開發區第一中學）

在各省市的高考題中，常將導數作為壓軸題的考查對象，而導數中多涉及不等式的恒成立的證明或求解問題，本文以解決不等式恒成立問題的兩種方法比較為突破點，發現一類恒成立問題，采用構造動函數分類討論往往很困難，但若巧妙地構造斜率可以有效地降低題目的思維量和運算量，達到事半功倍的效果。

一、一道高考題的兩種解法

【2012全國大綱卷理科第20題】設函數f（x）=ax+cosx，

x∈［0，π］

（1）討論f（x）的單調性；（2）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍。

解：（1）略

解法1：ax+cosx≤1+sinx，x∈［0，π］等價轉換為ax+cosx-1-sinx≤0，

令g（x）=ax+cosx-1-sinx，要使g（x）≤0成立，只需使gmax（x）≤0

gmax（x）=g（π）=aπ-2≤0

②當a≤-1時，g′（x）≤0，g（x）在x∈［0，π］上單調遞減，gmax（x）=g（0）=0≤0

即a∈R，所以a≤-1

當x∈［0，x1），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，因為g（0）=0，?x3∈［0，x1）使g（x3）≥g（0）=0

解法2：ax+cosx≤1+sinx

①當x=0時，a∈R

解法1構造含參數的動函數，此法的難點在于就參數a進行分類討論。若采用分離常數構造定函數利用導數求最值的辦法，需要二階求導和洛必達法則，超出了高中生的理解范圍。

解法2采用了分離常數構造割線和切線斜率的辦法，有效地規避了分類討論，也降低了求導的繁瑣程度。

二、高考中的應用舉例

例1.【2008全國Ⅱ】

（1）求f（x）的單調區間；

（2）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍。

（2）因為對任何x≥0，都有f（x）≤ax，于是a＞0

且函數y=ax是增函數，因此只需研究x∈［0，2π）情形。又當x∈［π，2π］時，f（x）≤0，即只需研究x∈［0，π）情形。①當x=0時，a∈R

其中k為函數圖象上點（x，g（x））與點（0，g（0））連線的斜率。

在

故k為單調遞減的函數。

例2.已知函數f（x）=（1+x）lnx；

（1）求f（x）=1處的切線方程。

解：（1）切線方程為y=2x-2

（2）當x∈（0，1）時，f（x）＜0，x-1＜0，g（x）＜-2故a＜0；

下面考查h（x）=（1+x）lnx的函數性質。

h′（x）＞h′（1）=2＞0

所以h（x）在（0，1）上是上凸的單調遞增函數，故k為單調遞減的函數。

綜上所述a的取值范圍是a∈［-1，0）。

例3.【2011年高考全國新課標卷理科21】

（1）求a、b的值；

解：（1）a=b=1

其中m為函數圖象上點（t，p（t））與點（1，p（1））連線的斜率。

p（t），p′（t），p′′（t）在區間（0，+∞）上的情況如下：

?

綜上所述a的取值范圍是k≤0。

三、教學反思

在高中數學中，有關函數和不等式的問題，學生大多數想到就是構造函數，通過求導證明單調性來研究問題。經過多年的訓練，學生已經形成了思維定勢，很難有新的突破。其實跳出固有思維，利用函數圖象直觀地理解問題，抓住問題的本質，往往可達到柳暗花明的效果。導數的本質是斜率的極限，從這個意義上來說，斜率更是至關重要。

熊欣，徐章韜.拉格朗日中值定理的初等化應用［J］.數學通訊，2012（07）.

·編輯 溫雪蓮