巧用導數求最值

姚士長

（河北省滄州鹽山中學）

巧用導數求最值

姚士長

（河北省滄州鹽山中學）

導數是高中數學學習的重點內容，它的引入對函數的單調性、極值、最大（小）值的研究開辟了一條捷徑，也為數學的學習增添了色彩。它能使比較復雜的問題簡單化，使數學問題與實際應用更加緊密。導數的應用已成為高考的一個熱點，下面我們將探討導數在求最值方面的應用。

例題：已知函數f（x）=ax-lnx（a∈R）

（1）當a＝1時，求曲線y=f（x）在x＝2處切線的斜率；

（2）求f（x）的單調區間；

（3）當a＞0時，求f（x）在區間（0，e］上的最小值。

當a≤0時，由于x＞0，故ax-1＜0，f′（x）＜0。所以f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）。

綜上所述，當a≤0時，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；

（3）根據（2）得到的結論：

綜上所述，當0＜a＜e時，f（x）在區間（0，e］上的最小值為ae-1，

解析：本題主要考查了導數在研究函數中的應用。利用導數求最值的步驟。求函數f（x）的極值的步驟：（1）確定函數的定義區間，求導數f′（x）。（2）求方程f′（x）＝0的根。（3）用函數的導數為0的點，將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號。如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值。（4）將f（x）的各極值與區間端點值f（a）、f（b）比較得出函數f（x）在［a，b］上的最值。

·編輯 溫雪蓮