函數列的收斂與一致收斂

時杰

（江蘇省蘇州市南京師范大學強化培養學院）

函數列的收斂與一致收斂

時杰

（江蘇省蘇州市南京師范大學強化培養學院）

從收斂和一致收斂的概念出發，討論數學分析中函數列的收斂與一致收斂的關系，這為如何掌握并進一步研究函數列的收斂與一致收斂問題提供了方法。

函數列；收斂；一致收斂

函數列收斂與一致收斂理論是數學分析中的重要概念之一，同時也是教與學的難點。但是學生往往對定義理解不透徹，生搬硬套“ε-N”語言，加之各種版本的數學分析教科書將函數列的收斂問題與函數項級數的收斂問題放在一起，使得教與學更為困難。本文從實數數列的收斂問題中引出函數列的收斂，進而引出一致收斂，逐步推進，使得這部分內容更易學習并掌握。

實數序列的收斂問題是定義在實數集上的，其實函數序列的收斂性也是如此，函數序列的收斂性反映的是函數列在點集上的局部性質，也就是說，函數列在點集上的收斂性就是實數序列的收斂問題。下面就從這個角度討論函數列的收斂與一致收斂問題。

一、收斂的幾個定義

實數列的收斂性定義

幾何上，xn→a的意思是：數軸上跳動的點xn與定點a之間的距離，隨著n的無限變大而無限變小，無論ε是怎樣小的數，做點a的ε鄰域（a-ε，a+ε），跳動的點遲早有一次將跳進去，再也跳不出來，這個次數便可作為N。

那么是否能根據正數ε找到一個公共的N，使得N只與ε有關，不妨記為N（ε），對此我們引進比點點收斂更強一點的收斂概念，那就是一致收斂，定義如下：

注7和注8可以類比實數序列與子序列的收斂關系，其實注7和注8便是對實數序列與子序列收斂關系的推廣。

下面僅給出注2、注3的簡單證明：

證明注2：

證明注3：

二、一致收斂的幾個等價命題

命題1（一致收斂的柯西收斂準則）

命題1等價于如下命題：

用命題1和命題2進行判別的優勢在于不需要知道極限函數是什么，只是根據函數列本身的特點來判斷函數列是否一致收斂。

以上內容通過實數列的收斂引出函數列的收斂、一致收斂以及一致收斂的等價命題，據此我們可以研究數項級數的收斂和函數項級數的收斂與一致收斂問題。

在數學學習與研究過程中，函數列的收斂和一致收斂的證明是一個非常重要的內容，這些內容在初等數學和高等數學中都有很好的體現。這些內容更是函數項級數的收斂與一致收斂的基礎。以上討論，為學習者理清了思路，幫助學習者掌握其中規律，增強對函數列收斂與一致收斂的概念理解。

［1］張宗達.工科數學分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2008-01.

［2］鄭維行，王聲望.實變函數與泛函分析概要［M］.4版.北京：高等教育出版社，2010-07.

［3］吉米多維奇.數學分析習題集題解［M］.濟南:山東科學技術出版社，1981.

［4］穆勇.關于函數列一致收斂的一個判定定理［J］.宜春學院學報，2007，29（2）：48.

·編輯 薛直艷